Statystyka Wzory I. Analiza struktury

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyka Wzory I. Analiza struktury"

Feliks Grzelak
6 lat temu
Przeglądów:

1 Uiwersytet Ekooiczy w Katowicach Wzory I. Aaliza struktury 1. Miary tedecji cetralej (średie, przecięte Średia arytetycza Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej skokowej (przedziałowego x = 1 N x i x = 1 N x i i = x i w i x 1 N ˆx i i = ˆx i w i i liczebości, w i częstości, ˆx i środek przedziału, k liczba przedziałów (grup Doiata Dla sz. ważoego dla zieej skokowej Dla sz. ważoego dla z. ciągłej (przedziałowego D = x D g D g D 1 D x D + (g D g D 1 + (g D g D+1 D, dla której D = ax{ i } x D lewy koiec przedziału z D (tj. przedziału o ajwiększej gęstości, g D gęstość przedziału z D, g D = D D g D 1 gęstość przedziału poprzedzającego przedział D, g D+1 gęstość przedziału astępującego po przedziale D, D długość przedziału D. Jeśli szereg a przedziały o rówej długości, to oża korzystać ze wzoru: Kwatyl rzędu p Dla sz. ważoego dla zieej skokowej D D 1 D x D + ( D D 1 + ( D D+1 D, D liczebość przedziału z D, D 1 liczebość przedziału poprzedzającego przedział D, D+1 liczebość przedziału astępującego po przedziale D. Dla sz. ważoego dla z. ciągłej (przedziałowego Q p = x [N p]+1 p to rząd kwatyla Mediaa to Me = Q 0,5 jeśli N jest parzyste, to lub x Qp Q p x Qp + p N cu Q p 1 Qp Q p x Qp + p cu w Q p 1 w Qp Qp Qp lewy koiec przedziału z Q p (tj. przedziału, w który zajduje się obserwacja o uerze: [N p] + 1, cu Qp 1 skuulowaa liczebość do przedziału Me = x 0,5N + x 0,5N+1 poprzedzającego przedział z Q p, cu w Qp 1 skuulowaa częstość do przedziału jeśli N jest ieparzyste,to poprzedzającego przedział z Q p, Me = x 0,5(N+1 Qp liczebość przedziału z Q p, w Qp częstość przedziału z Q p, Qp długość przedziału z Q p. 1

2 . Miary zróżicowaia (rozproszeia, zieości, dyspersji Wariacja Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej skokowej (przedziałowego S (x = 1 N (x i x S (x = 1 N (x i x i S (x 1 N (ˆx i x i Odchyleie stadardowe s(x = S (x Odchyleie przecięte Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej skokowej (przedziałowego d(x = 1 N x i x d(x = 1 N x i x i d(x 1 N ˆx i x i Klasyczy współczyik zieości Rozstęp Odchyleie ćwiartkowe V (x = s(x x 100% R = x ax x i Q = Q 0,75 Q 0,5 Pozycyjy współczyik zieości V Q = Q Me 3. Miary asyetrii (skośości Moet cetraly trzeciego rzędu Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej skokowej (przedziałowego M 3 (x = 1 N (x i x 3 M 3 (x = 1 N (x i x 3 i M 3 (x 1 N (ˆx i x 3 i Zestadaryzoway oet cetraly trzeciego rzędu λ 3 (x = M 3(x (s(x 3 Współczyik asyetrii Pearsoa γ = x D s(x Pozycyjy współczyik asyetrii (Yule a-kedall a A = (Q 0,75 Me (Me Q 0,5 Q 0,75 Q 0,5

3 II. Aaliza zależości (współzależości zjawisk Kowariacja cov(x, y = 1 N (x i x (y i ȳ Współczyik korelacji liiowej Pearsoa cov(x, y r xy = s(x s(y s(x, s(y odchyleia stadardowe zieych x, y. r xy bada tylko liiową zależość iędzy zieyi, r xy 1, 1 i pozwala określić siłę i kieruek zależości liiowej jeśli r xy jest bliskie 0, to ay słabą zależość liiową iędzy zieyi, jeśli r xy jest bliskie 1, to ay silą zależość liiową iędzy zieyi, jeśli r xy > 0, to zależość iędzy zieyi jest dodatia, jeśli r xy < 0, to zależość iędzy zieyi jest ujea. Fukcja regresji (II rodzaju ŷ i = ax i + b cov(x, y a = S (x, b = ȳ a x ŷ i to wartości teoretycze z. Y, S (x wariacja z. X, zaś x, ȳ średie dla z. X i Y. Miary dopasowaia fukcji regresji odchyleie stadardowe reszt: N (y i ŷ i s u = N k k to liczba paraetrów fukcji regresji; współczyik zbieżości: N ϕ (y i ŷ i = N (y i ȳ współczyik deteriacji: R = 1 ϕ R 0, 1, i większe R ty lepsze dopasowaie fukcji regresji do daych, dla regresji prostoliiowej zachodzi: R = (r xy. Stadardowy błąd progozy D (x ew = s u N + (x ew x N (x i x x ew to owa obserwacja, dla której chcey obliczyć progozę ŷ(x ew Tablica korelacyja X \ Y y 1 y... y i x x x 1... j 1... N 3

4 Stosuki korelacyje (wskaźiki siły korelacyjej z. Y względe z. X e y/x = S (y xi S (y S (y xi = 1 (y xi ȳ i oraz S (y = 1 N N z. X względe z. Y e x/y = S (x yj S (x S (x yj = 1 ( x yj x j oraz S (x = 1 N N e y/x, e y/x 0, 1, x yj, y xi j=1 średie warukowe. (y j ȳ j j=1 (x i x i III. Aaliza dyaiki zjawisk Przyrosty absolute o stałej podstawie: t/c = y t y c łańcuchowe: t/t 1 = y t y t 1 Przyrosty względe o stałej podstawie: d t/c = y t y c łańcuchowe: d t/t 1 = y t y t 1 y c y t 1 Ideksy idywiduale o stałej podstawie: i t/c = y t łańcuchowe: i t/t 1 = y t y c y t 1 Średi ideks zia ī G = 1 y i t/t 1 = 1 t= y 1 Progoza a k okresów w przyszłość ŷ t+k = y t (ī G k Agregatowy ideks wartości p it q it I w = p i0 q i0 p i0, p it cey w okresie bazowy i baday, q i0, q it ilości w okresie bazowy i baday. Agregatowe ideksy ce foruła Laspeyresa I p/q0 = Agregatowe ideksy ilości foruła Laspeyresa I q/p0 = p it q i0 foruła Paaschego: I p/qt = p i0 q i0 p i0 q it foruła Paaschego: I q/pt = p i0 q i0 p it q it p i0 q it p it q it p it q i0 4

5 IV. Eleety rachuku prawdopodobieństwa Dystrybuata ziea skokowa ziea ciągła F (x = P (X < x = p i F (x = P (X < x = x f(t dt x i <x p i = P (X = xi f to fukcja gęstości prawdopodobieństwa Wartość oczekiwaa ziea skokowa ziea ciągła E(X = x i p i E(X = xf(x dx Wariacja ziea skokowa ziea ciągła D (X = (x i E(X p i D (X = (x E(X f(x dx lub rówoważie lub rówoważie ( D (X = x i p i x i p i D (X = x f(x dx xf(x dx Rozkład dwuiaowy (Beroulliego x i = k {0, 1,..., }, stałe p, q 0, p + q = 1 wtedy E(X = p, D (X = pq Rozkład oraly Fukcja gęstości X N (, σ wtedy E(X =, D (X = σ P (X = k = ( p k q k k f(x = 1 σ (x π e σ Stadaryzacja rozkładu Jeśli X N (, σ, to U = X N (0, 1 σ Rozkład χ (chi-kwadrat Jeśli U 1,..., U k są iezależyi zieyi o rozkładzie N (0, 1, to ziea χ = Ui a rozkład χ o k stopiach swobody (χ χ k. Wtedy E(χ = k, Rozkład t Studeta Jeśli U N (0, 1 a V χ k, to ziea t = U V k a rozkład t Studeta o k stopiach swobody (t t k. Wtedy E(t = 0, D (t = k, k > k Rozkład Fishera Jeśli U χ k 1 i V χ k, to ziea F = U k 1 V k D (χ = k a rozkład Fishera o k 1 i k stopiach swobody (F F k1,k. Wtedy E(F = k, k k >, D (F = k (k 1+k, k k 1 (k (k 4 > 4 5

6 V. Estyacja puktowa i przedziałowa Nieobciążoe estyatory puktowe Paraetr Estyator Średi błąd szacuku wartość oczekiwaa X średia z próby D(X = σ σ wariacja z populacji Ŝ = 1 (x i x 1 p wskaźik struktury ρ wsp. korelacji w populacji Wybrae przedziały ufości dla w rozkładzie N (, σ, gdy σ zae P częstość względa z próby D r wsp. korelacji z próby (X u α σ < < X + u α σ = 1 α ( ( 1 u α wartość krytycza odczytaa z rozkładu N (0, 1 taka, że P ( U < u α = 1 α dla w rozkładzie N (, σ, gdy σ iezae, 30 ( P X t α, 1 < < X + t α, 1 = 1 α t α, 1 wartość krytycza odczytaa z rozkładu t Studeta z 1 stopiai swobody taka, że P ( t < t α, 1 = 1 α dla w populacji o iezay rozkładzie, > 10 ( P X u α < < X + u α 1 α dla σ w rozkładzie N (, σ, 30 ( 1Ŝ P < σ < χ α, 1 ( 1Ŝ = 1 α χ 1 α, 1 χ α, 1 wartość krytycza odczytaa z rozkładu χ z 1 stopiai swobody taka, że P (χ > χ α, 1 = α, zaś χ 1 α, 1 wartość krytycza odczytaa z rozkładu χ z 1 stopiai swobody taka, że P (χ > χ 1 α, 1 = 1 α dla σ w rozkładzie N (, σ, > 30 Ŝ P 1 + uα ( 1 < σ < Ŝ 1 uα ( 1 = 1 α dla p, gdy > 100 (koiecza duża próba P u α ( 1 < p < + u α ( 1 = 1 α 6

7 Miiala liczebość próby przy szacowaiu wartości przeciętej u ασ przy szacowaiu frakcji p u α ( 1 d d u α wartość krytycza odczytaa z rozkładu N (0, 1, d aksyaly błąd szacuku VI. Weryfikacja hipotez statystyczych Wybrae testy istotości dla w rozkładzie N (, σ, gdy σ iezae, > 30 H 0 : = 0 U = X 0 Przy przyjętych założeiach U N (0, 1 dla w rozkładzie N (, σ, gdy σ iezae, 30 H 0 : = 0 t = X 0 Przy przyjętych założeiach t a rozkład t Studeta z ( 1 stopiai swobody dla w dowoly rozkładzie, gdy > 10 H 0 : = 0 U = X 0 Przy przyjętych założeiach U N (0, 1 test istotości różic średich w dwóch populacjach oralych N ( 1, σ 1 i N (, σ, σ 1 = σ jest iezae H 0 : 1 = t = X 1 X ( p p = ( 1 1Ŝ 1 + ( 1Ŝ 1 + Przy przyjętych założeiach t a rozkład t Studeta z ( 1 + stopiai swobody test istotości różic średich w dwóch populacjach oralych N ( 1, σ 1 i N (, σ, σ 1 σ jest iezae H 0 : 1 = t = X 1 X Przy przyjętych założeiach t a rozkład t Studeta z ν stopiai swobody, ( ν ( ( 1 7

8 Wybrae testy istotości dla p gdy > 100 (koiecza duża próba H 0 : p = p 0 Przy przyjętych założeiach U N (0, 1 U = p 0 p0 (1 p 0 test istotości a rówość dwóch frakcji (koiecze duże próby H 0 : p 1 = p Przy przyjętych założeiach U N (0, U = ( ˆp(1 ˆp ˆp = dla σ w rozkładzie N (, σ H 0 : σ = σ0 wobec H 1 : σ > σ0 χ ( 1Ŝ = σ0 Przy przyjętych założeiach χ a rozkład chi kwadrat z ( 1 stopiai swobody test istotości a rówość wariacji w dwóch populacjach oralych N ( 1, σ 1 i N (, σ H 0 : σ 1 = σ wobec H 1 : σ 1 > σ F = Ŝ 1 Ŝ Należy tak ozaczyć próby, aby Ŝ 1 Ŝ Przy przyjętych założeiach F a rozkład Fishera z 1 1 oraz 1 stopiai swobody Test iezależości χ Założeie hj > 8 H 0 : ziee X i Y są iezależe wobec H 1 : ziee X i Y są zależe H J χ ( hj ˆ hj = h=1 j=1 ˆ hj hj i ˆ hj to epirycze i teoretycze liczebości oraz ˆ hj = j h Obszar krytyczy jest prawostroy, zaś χ α to wartość krytycza odczytaa z tablic rozkładu χ dla ustaloego poziou istotości α oraz (H 1(J 1 stopi swobody Test serii do badaia losowości próby H 0 : próba jest losowa wobec H 1 : próba ie jest pobraa w sposób losowy : S liczba serii Obszar krytyczy (obustroy: Q = {S : S S α S S 1 α }, S α i S 1 α to wartości krytycze odczytae z tablic serii 8

Podobne dokumenty

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla