Komputerowa analiza danych doświadczalnych
|
|
- Kazimiera Świderska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład dr iż. Łukasz Graczykowski Semestr leti 08/09
2 Trasformacje liiowe Propagacja iepewości
3 Trasformacje liiowe Najczęściej, ze względu a prostotę, posługujemy się trasformacjami liiowymi (ie trasformacje ajczęściej aproksymujemy liiowymi, rozwijając a szereg Taylora) fukcje Y =(Y, Y,..., Y r ) są liiowymi fukcjami zmieych Y =a + t X + t X t X Y =a + t X + t X t X Y r =a r + t r X + t r X t r X W zapisie macierzowym: Y =T X + a Wartość oczekiwaa Y: E ( Y ) =^y =T ^x + a X=( X, X,..., X ) Jest to przypadek ogóly zmiee X ie są iezależe (istieją kowariacje) Mierzymy pośredio wielkość (wielkości) fizyczą Y, która zależy od wielkości fizyczych X mierzoych bezpośredio, które ie są iezależe od siebie. Macierz korawiacji Y: C Y =E ((Y ^y )(Y ^y )T ) T =E ( (T X + a T x^ a)(t X + a T ^x a) ) T T =E ( T ( X ^x )( X x^ ) T ) T T =TE ( ( X ^x )( X x^ ) ) T C Y =T C X T T 3 / 43
4 Przykład (z laboratorium) Mierzymy bezpośredio trzy wielkości fizycze X, X, X3 X X X3 Pomiar Pomiar 4 / 43
5 Przykład (z laboratorium) Mierzymy bezpośredio trzy wielkości fizycze X, X, X3 5 / 43
6 Przykład (z laboratorium) Mierzymy bezpośredio trzy wielkości fizycze X, X, X3 Z tych wielkości wyzaczamy mierzoe pośredio ie wielkości Y oraz Y Y =T X + a Y = X +5 X + X 3 Y = X + 4 X T= [ ] Jaki będzie eksperymetaly wyik? E ( Y ) = ^y =T ^x +a C Y =T C X T T 6 / 43
7 Metody Mote Carlo Najważiejsze rozkłady prawdopodobieństwa
8 Metoda akceptacjiodrzuceń vo Neumaa
9 Metoda (akceptacji) vo Neumaa Jak to działa? geerujemy parę liczb z rozkładu jedorodego: ( y i, ui ) a y i b, 0 ui d rozważamy krzywą: u=g( y ) oraz fukcję stałą: sprawdzamy, czy ui <g( y i ) jeśli waruek jest spełioy, akceptujemy liczbę yi, jeśli ie - odrzucamy zaakceptowae wartości yi podlegają rozkładowi g(y) rozkład g(y) ie musi być uorm. wydajość metody: u=d, d g max odrzucamy akceptujemy b g( y ) dy N accept E= N all ( b a ) d a 9 / 43
10 Metoda vo Neumaa z fukcją pom. Wydajość metody vo Neumaa moża poprawić, jeśli odpowiedio zawęzimy obszar losowaia: wprowadzamy fukcję pomociczą s(y), z której łatwo wygeerować zmiee losowe (p. metodą odwrotej dystrybuaty), i która spełia waruek: g ( y ) c s( y ), a< y <b geerujemy liczbę losową yi z rozkładu s(y) a przedziale a< y i <b oraz liczbę ui z rozkładu jedorodego a przedziale 0<ui < odrzucamy liczbę yi, jeżeli: u g( y i ) i c s( y i ) b wydajość metody: a g( y )dy E= b c a s( y )dy 0 / 43
11 Metoda vo Neumaa z fukcją pom. Rozważmy fukcję gęstości postaci: g ( y)=cos(π x)/(π x+)+/ 4, 0 y Fukcja ta, w przedziale od 0 do, ma dwa maksima: g (0)=c, g ()=d W zwykłej metodzie vo Neumaa wybieramy prostą: umax =c Tutaj możemy łatwo wybrać fukcję pomociczę s(y) jako prostą przechodzącą przez pubkty (0, c) i (, d) 3." c Aby otrzymać wzór s(y) rozważamy układ rówań: c=a 0+ b d =a + b Z czego wzór a s(y): d " s( y)= d c y+ c Jak otrzymać wartość losową z tego rozkładu? / 43
12 Metoda vo Neumaa z fukcją pom. Metodą odwrotej dystrybuaty! Liczymy dystrybuatę: S y = d c y cy 4 Oraz jej fukcję odwrotą: c xc(d c)+(d c) y=s ( x)= c(c d ) Losujemy wartość xi z rozkładu jedorodego w graicach: 50% wzrost wydajości! S (0)=0, S ()=d +c I wstawiamy ją do wzoru a odwrotą dystrybuatę by otrzymać yi z rozkł. s(y) Losujemy pomociczą wartość ui z g ( yi ) rozkładu jedorodego 0<u i < Tutaj będzie jeszcze lepiej! ui < Sprawdzamy waruek akceptacji yi: s ( y i ) / 43
13 Całkowaie metodą Mote Carlo Jak już zauważylismy, pole powierzchi pod rozpatrywaą krzywą w stosuku do pola prostokąta, z którego losujemy dwie liczby pseudolosowe, ma się (w przybliżeiu) do siebie tak jak liczba par b zaakceptowaych do odrzucoych: g( y )dy N accept N all ( b a ) d a Co pozwala a przybliżoe obliczeie wartości całki ozaczoej: b N accept g( y )dy N ( b a ) d all a W te sposób moża obliczyć dowolą całkę ozaczoą poprzez prostą geerację dwóch liczb z rozkładu jedorodego. W wersji -wymiarowej oczywiście możemy to zrobić dla dowolej liczby zmieych losowych (i obliczać całki wielowymiarowe) Względa dokładość obliczeia całki: Δ I = I N wszystkie 3 / 43
14 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości liczby π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: I wszystko przypomia rzucaie lotkami (darts) N accept ( b a ) d N all 4 / 43
15 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: I N accept ( b a ) d N all 5 / 43
16 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: I N accept ( b a ) d N all 6 / 43
17 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: I N accept ( b a ) d N all 7 / 43
18 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: I N accept ( b a ) d N all 8 / 43
19 Geeracja liczb o rozkładzie ormalym Jak pamiętamy, rozkład ormaly ie ma aalityczej formy dystrybuaty Do geerowaia liczb z rozkładu ormalego o x^ =0, σ= (stadardowego) służy metoda Box a-muller a z f ( z)= exp π ( ) Geerujemy parę liczb (u,u) z rozkładów jedorodych (0,) i dokoujemy zamiay zmieych: v = u v = u Obliczamy: s=v + v Gdy s odrzucamy parę trasformacja x x^ dowolego rozkł. orm. z= σ do stadardowego Otrzymujemy dwie liczby pseudolosowe opisae rozkładem ormalym stadardowym: x =v (/ s)l s x =v (/ s) l s 9 / 43
20 Najważiejsze rozkłady prawdopodobieństwa
21 Rozkład dwumiaowy W Polsce zay rówież jako rozkład Beroulliego (ag. biomial distributio) w iych krajach może ozaczać iy rozkład Rozważmy proste doświadczeie rzut moetą: w wyiku rzutu możemy otrzymać dwa wykluczające się wyiki zatem przestrzeń zdarzeń elemetarych: E= A+ A możemy zdefiiować prawdopodobieństwa: P A = p P A = p=q Wyik doświadczeia może być zmieą losową Xi, która przybiera wartość lub 0 w zależości od tego, czy zaszło zdarzeie A lub A Jeśli powtórzymy wielokrotie doświadczeie, to otrzymamy rozkład zmieej losowej X=X+X+.X / 43
22 Rozkład dwumiaowy Z rachuku prawdopodobieństwa wiemy, że jeżeli przestrzeń zdarzeń elemetarych E= A + A A i zdarzeia są iezależe, to: P ( A A... A )= P( A ) P( A )... P( A ) Z tego wyika, że prawdopodobieństwo, że k pierwszych doświadczeń (z ) da wyik zdarzeia A a pozostałe -k dadzą wyik zdarzeia A, wyosi: k P ( A A k k )= p q k Zgodie z kombiatoryką, pojawieie się k razy zdarzeia A w doświadczeiach realizuje się a po k sposobów:! = różiących się kolejością zdarzeń A i A k k!( k)! () Prawdopodobieństwo wystąpieia k razy zdarzeia A i -k razy zdarzeia A w doświadczeiach, w dowolej kolejości, wyosi: k k P (k )=W k = p q ; q= p k Tak zdefiioway rozkład azywamy rozkładem dwumiaowym () / 43
23 Rozkład dwumiaowy Dystrybuata Rozkład prawdopodobieństwa P(k) F(k) k liczba sukcesów k liczba sukcesów 3 / 43
24 Rozkład dwumiaowy Policzmy wartość oczekiwaą i wariację rozkładu dwumiaowego Dla pojedyczego doświadczeia Xi (zmieej losowej, która może przyjąć wartość lub 0): E ( X )= xi P ( X =x i ) i= E ( X i )= P ( X i =)+0 P( X i=0) E ( X i )= p+0 q= p σ ( X i )=E ( ( x i p) ) =( p) p+(0 p) q= pq Z własości warotści oczekiwaej: E ( X = X + X... + X )= E ( X i )=p i= Zakładając iezależość zmieych (zerowe kowariacje) otrzymamy z kolei: σ ( X )=pq Dla zdarzeń losowych: X = p p pq p q 0 p = 0 p 4 8p 4p p p p p 4p =p p =pq 4 / 43
25 Rozkład dwumiaowy - właściwości Dla różych, stałe p p=0.3 p=0.6 5 / 43
26 Rozkład dwumiaowy tablica Galtoa Iym przykładem realizacji rozkładu dwumiaowego jest tablica (deska) Galtoa: mamy rzędów kołeczków kuleczka może przesuąć się w lewo (z prawdopod. p=0,5) lub w prawo (q=0.5) kuleczka przesuie się k razy w lewo i -k razy w prawo każde przesuięcie jest iezależe zatem dla jedej kokretej kofiguracji (drogi) spadku kulki prawdopodobieństwo: pk q k jeśli mamy róże kofiguracje przesuięć: P(k )=W k = p k q k ; q= p k () deska Galtoa a Wydziale Fizyki PW 6 / 43
27 Rozkład dwumiaowy ie przykłady k k P(k )=W k = p q ; q= p k () ) ilość studetów a 3 roku fizyki p prawdopodobieństwo zaliczeia KADD (załóżmy, że p>0.5 :) ) k ilość osób, które przedmiot zaliczyły ) liczba dzieci urodzoych w 05 roku p prawdopodobieństwo, że urodzi się dziewczyka (p=0,5) k ilość urodzoych dziewczyek 3) Małe i duże ryby w stawie - liczba wszystkich ryb p - prawdopodobieństwo złowieia dużej ryby k - liczba dużych ryb 7 / 43
28 Rozkład wielomiaowy uogólieie Uogólieie, gdy mamy więcej możliwości iż dwie (sukces i porażka) Jeśli przestrzeń zdarzeń elemetarych: E= A + A A l l Zdarzeia się wzajemie wykluczają: P( A j )= p j, p j= To prawdopodobieństwo zajścia kj razy zdarzeia Aj: l l! k P=W k k..., k = l p j, k j = j= j= k! j j= j,, l j= Taki rozkład azywamy rozkładem wielomiaowym Jeśli zdefiiujemy zmiee losowe Xij rówe, gdy wyikiem i-tego doświadczeia jest zdarzeie Aj, lub rówe 0 w przeciwym razie, oraz X j= X ij i= Wtedy wartość oczekiwaa i kowariacja: E ( X j )= ^ x j = p j cij =p i ij p j 8 / 43
29 Rozkład wielomiaowy uogólieie Przykład gra w karty: troje graczy (A, B,C) rozgrywa serię gier: prawdopodobieństwo, że gracz A wygra dowolą grę jest 0% prawdopodobieńśtwo, że gracz B wygra dowolą grę jest 30% prawdopodobieństwo, że gracz C wygra dowolą grę jest 50% Jeśli rozegrają 6 gier, jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz A wygra grę, gracz B wygra gry, a gracz C wygra 3 gry? 9 / 43
30 Rozkład wielomiaowy uogólieie Przykład gra w karty: troje graczy (A, B,C) rozgrywa serię gier: prawdopodobieństwo, że gracz A wygra dowolą grę jest 0% prawdopodobieńśtwo, że gracz B wygra dowolą grę jest 30% prawdopodobieństwo, że gracz C wygra dowolą grę jest 50% Jeśli rozegrają 6 gier, jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz A wygra grę, gracz B wygra gry, a gracz C wygra 3 gry? P=W k, k,..., k = l! l kj! l kj pj j= j= = 6 liczba gier k = wygrywa gracz A (ilość sukcesów zdarzeia A) k = wygrywa gracz B k3 = 3 wygrywa gracz C p = 0. prawd. wygraia gracza A p = 0.3 prawd. wygraia gracza B p3 = 0.5 prawd. wygraia gracza C 6! 3 P ( A=, B=,C=3)= =0.35!! 3! 30 / 43
31 Częstość i prawo wielkich liczb Defiicja prawdopodobieństwa przeprowadzeie prób dostateczie dużo razy (N) umożliwia pomiar prawdopodobieństwa zdarzeia A P ( A)= lim N N Jak uzasadić tę defiicję? W rzeczywistości ie zamy prawodpodobieństw zdarzeń (p. pj w rozkł. wielomiaowym) wyzaczamy je eksperymetalie Częstość wystąpieia zdarzeia Aj w doświadczeiach będzie określoa wzorem: H j = X ij = X j i= Częstość jest zmieą losową, dla ktorej (przy próbach): Xj ^ E ( H j )= h j = E =pj ( ) σ ( H j ) =σ Xj = σ ( X j ) = p j ( p j )= p j q j ( ) 3 / 43
32 Częstość i prawo wielkich liczb Częstość wystąpieia zdarzeia Aj w doświadczeiach będzie określoa wzorem: H j = X ij = X j i= Częstość jest zmieą losową, dla ktorej (przy próbach): xj ^ E ( H j ) = h j =E =pj ( ) σ ( H j ) =σ Xj = σ ( X j ) = p j ( p j )= p j q j ( ) Wartość oczekiwaa częstości jest rówa jego prawdopodobieństwu. Odchyleie stadardowe częstości jest miejsze iż / i może osiągać dowolie małe wielkości (gdy ). Jest to prawo wielkich liczb Możemy zatem użyć częstości jako przybliżoej wartości prawdopodobieńśtwa z odpowiedia iepewością jej wyzaczeia Kwadrat iepewości jest w przybliżeiu odwrotie proporcjoaly do liczby przeprowadzoych prób jest to iepewość statystycza 3 / 43
33 Częstość i prawo wielkich liczb 33 / 43
34 Rozkład hipergeometryczy W urie jest N kul k białych i N-K czarych W próbach wyciągamy (bez zwracaia) k kul białych i -k=l kul czarych. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągięcia k kul białych? Wylosowaie kolejej kulki zmieia proporcje kul białych do czarych i wpływa a wyik kolejego losowaia rozkład dwumiaowy ie ma tu zastosowaia. Mamy jedak: N liczbę możliwości wylosowaia z N kulek: N prawdopodobieństwo takiego zdarzeia: / możliwość wylosowaia k spośród K białych i l spośród L czarych kulek wyoszą: K L K L k l l prawdopodobieństwo szukae wyosi zatem: W = k k N Aalogiczie jak w rozkładzie dwumiaowym, defiiujemy zmieą losową: X = X i ( ) ( ) () ( ) i= 34 / 43
35 Rozkład hipergeometryczy Aalogiczie jak w rozkładzie dwumiaowym, X = X i defiiujemy zmieą losową: i= Xi przyjmuje wartość dla białych i 0 dla czarych wylosowaych kul Moża pokazać, że (Bradt): K K K N N E ( X )= X = N N N Dla N rezultat kolejego losowaia iewiele wpływa a astępe wyiki. Wtedy rozkłąd hipergeometryczy upodabia się do dwumiaowego: pq ( N ) K N K K p=, q=, E ( X ) = =p, σ ( X )= N N N N 35 / 43
36 Rozkład Poissoa Rozważmy rozkład dwumiaowy: k k P(k )=W k = p q ; q= p k dla ale przy stałym p=λ rozkład dwumiaowy dąży do rozkładu Poissoa (wyprowadzeie Bradt): k lim k k W k = f k = e W k= p q k! k ormalizacja: () k f (k)= λk! e =e k =0 k=0 wartość oczekiwaa: wariacja: λ ( 3 σ (K )=E ( K ) ( E ( K ) ) =λ (λ +) λ =λ 3 Skosość i wsp. asymetrii: μ3 =E ( ( k k^ ) )=λ ) +λ + λ + λ + =e λ e λ =! 3! k j λ λ λ E ( K ) = k e =λ e λ =λ k=0 k! j=0 j! λ γ= μ3 σ = 3 λ / =λ λ 3/ 36 / 43
37 Rozkład Poissoa - przykłady Rozkład Poissoa stosujemy wtedy, gdy mamy dużą liczbę iezależych zdarzeń, z których tylko ielicze mają iteresującą as własość (duże, małe p w rozkł. dwumiaowym) Rozkład Poissoa występuje tam, gdzie mamy zjawiska dyskrete, gdy prawdopodobieństwo wystąpieia zjawiska jest stałe w czasie lub przestrzei: liczba połączeń przychodzących do cetrali a miutę liczba mutacji w daym odciku DNA po ekspozycji a pewą dawkę promieiowaia liczbę zabitych każdego roku przez kopięcie koia w korpusie kawalerii w Prusach (Wikipedia) 37 / 43
38 Rozkład Poissoa przykłady Mamy jądro promieiotwórcze o czasie życia τ. Obserwujemy je w czasie T«ττ. Prawdopodobieństwo rozpadu jądra w tym czasie W«τ. Dzielimy czas T a przedziałów, prawdopodobieństwo: p=w/. Obserwujemy w czasie T źródło zawierające N jąder. Liczba przedziałów czasowych k, w których zaobserwowao k=0,,, 3 itd. rozpadów. Wtedy częstość h(k) = k/. Doświadczalie zaobserwowao, że dla N i dużych rozkład h(k) dąży do rozkładu Poissoa, co staowi bezpośredi dowód a iezależość i statystyczy charakter rozpadów promieiotwórczych (badaia Rutherforda i Geigera). Aalogiczie częstość obserwowaia k gwiazd w elemecie kąta bryłowego sfery iebieskiej lub k rodzyek w jedostkowym elemecie objętości ciasta 38 / 43
39 Rozkład jedostajy Gęstość prawdopodobieństwa: f(x) f ( x)=c ; x a, b f ( x)=0 ; x ℝ a, b Współczyik (ormalizacja) c: b f ( x) dx=c dx=c (b a)= c= a ; x a, b b a f ( x)=0 ; x ℝ a, b f ( x)= Dystrybuata: F ( x)=0 ; x <a x x a dx '= ; x a ; b b a a b a F ( x)= ; x >b F ( x)= c b a a b x Wariacja: σ ( X )=E ( X ) ( E ( X )) b (b3 a 3 ) E ( X )= x dx= 3(b a) = b a a (b a)(b +ba+a ) b +ba+a = = 3(b a) 3 b +ba+ a b +a σ ( X )= = 3 b +ba+a b + ba+a (b a) = = 3 4 ( ) Wartość oczekiwaa: b (b a)(b+a) b +a E ( X )= x^ = xdx= (b a )= = b a a (b a) (b a) 39 / 43
40 Rozkład wykładiczy Gęstość prawdopodobieństwa: λ x f ( x)=λ e ; x 0 ; λ>0 f ( x)=0 ; x<0 Dystrybuata: F ( x)=0 ; x <0 x x F ( x)= f ( x) dx=λ e 0 0 F ( x)= e λ x ' λ x dx '= λ e λ x ' λ [ 0 ; x 0 Wartość oczekiwaa: 0 0 E ( x)= x^ = x f ( x )dx=λ e λ x x dx= ] x λ Wariacja: E ( x )= x f ( x)dx= 0 σ ( x)=e ( x ) ( E ( x)) = λ = λ λ λ 40 / 43
41 Rozkład ormaly stadardowy Gęstość prawdopodobieństwa: x / f ( x) ϕ 0 ( x)= e π rozkład o średiej 0 i wariacji Dystrybuata ie ma postaci aalityczej (korzystamy z tabel) Rozkład jest uormoway: e x / dx= π Jeśli wprowadzimy zmieą: Y =( X a)/ b Otrzymamy rozkład Gaussa: f ( y ) ϕ ( y )= e ( y a ) / b π b średia (przesuięcie): ^y =a wariacja (szerokość): σ (Y )=b 4 / 43
42 Rozkład ormaly stadardowy - własości Pukt przegięcia rozkładu: stadardowego x=± Gaussa x=a±b Załóżmy, że zamy dystrybuatę: F 0 ( x) Φ0 ( x)=p ( X x) Ze względu a asymetrię gęstości: P ( X > x )= Φ0 ( x )=( ϕ 0 ( x )) Aalogiczie, wewątrz przedziału x: P ( X x)= Φ0 ( x ) Dystrybuatę r. orm. moża uogólić a r. Gaussa: Φ ( y)=φ0 ( x a b ) 4 / 43
43 Rozkład ormaly stadardowy - własości Wtedy szczególie iteresujące jest obliczeie występowaia zmieej los. dla wielokrotości odchyleia stadardowego: P ( Y a σ )= Φ 0 ( ) Otrzymamy wtedy: P ( Y a σ)=68,3 % b = Φ0 () b P ( Y a >σ)=3,7 % P ( Y a σ)=95,4 % P ( Y a > σ )=4,6 % P ( Y a 3 σ )=99,8 % P ( Y a >3 σ )=0, % Z Wykładu pamiętamy, że współczyik rozszerzeia iepewość typu A zwykle jest między a 3 tu widać dlaczego W auce przez odchyleie stadardowe określamy rówież różice w obserwowaym sygale eksperymetalym w stosuku do sytuacji, gdy efektu fizyczego ie ma 43 / 43
44 Wielokrotości sigma Idealym przykładem jest odkrycie bozou Higgsa W fizyce cząstek przyjęło się, że dopiero mając odchyleie 5σ moża mówić o odkryciu: P ( Y a 5 σ)=99,99994 % Różica a takim poziomie wymagała zebraia dużej ilości daych, stąd potwierdzeie jego istieia zajęło poad 3 lata 44 / 43
45 KONIEC
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 5 3.03.08 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 07/08 Metody Mote Carlo Najważiejsze rozkłady prawdopodobieństwa Metoda akceptacji-odrzuceń
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 5 4.03.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Metody Mote Carlo Najważiejsze rozkłady prawdopodobieństwa Metoda akceptacji-odrzuceń
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 7.04.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 3.04.08 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 07/08 Wielowymiarowy rozkład Gaussa - przypomieie Cetrale twierdzeie graicze
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 5.04.09 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 08/09 Wielowymiarowy rozkład Gaussa - przypomieie Cetrale twierdzeie graicze
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowon k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowo2. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE
Ie rozkłady dyskrete 9. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE.. Rozkład dwumiaowy - kotyuacja Przypomijmy sobie pojęcie rozkładu dwumiaowego prawdopodobieństwa k sukcesów w próbach Beroulli ego: P k k k k = p q m =
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoP ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoFunkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych.
STATYSTYKA to auka, której przedmiotem zaiteresowaia są metody pozyskiwaia i prezetacji, a przede wszystkim aalizy daych opisujących zjawiska masowe. Metody statystycze oparte są a rachuku prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3.03.07 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 06/07 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4 8.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zamiana zmiennych Transformacje liniowe Propagacja niepewności Metody Monte
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4 6.03.08 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 07/08 Zamiana zmiennych Transformacje liniowe Propagacja niepewności
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowo