Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Transkrypt

1 Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A) (B) (C) (D) (E)

2 Zadaie. Mamy ryzyka dobre i ryzyka złe. Dobre ryzyka geerują w roku szkodę (co ajwyżej jedą) z prawdopodobieństwem 0,, a złe z prawdopodobieństwem 0,4. Niestety ie potrafimy odróżiać złych ryzyk od dobrych. Na szczęście wiemy, że: w kolejych latach ryzyka dobre pozostają dobre, a złe pozostają złe wybraliśmy rok temu pewe ryzyko losowo z populacji, w której jest 75% ryzyk dobrych i 5% ryzyk złych ryzyko to w ciągu ubiegłego roku wygeerowało szkodę Prawdopodobieństwo wygeerowaia szkody przez to ryzyko w roku adchodzącym wyosi: (A) 0,4 (B) 0,5 (C) 0,6 (D) 0,7 (E) 0,8

3 Zadaie 3. Jeśli wiemy, że dla trzech parami iezależych zdarzeń A, B, C P(A) = P(B) = P(C) A B C = φ (zbiór pusty) Największa możliwa wartość prawdopodobieństwa P(A) rówa jest (w przybliżeiu dziesiętym): (A) 0,500 (B) 0,5 (C) 0,541 (D) 0,56 (E) 0,577 3

4 Zadaie 4. Zmiea losowa N ma rozkład z geometryczym ogoem, tz. day wzorem: p0 dla k = 0 Pr( N = k) = k 1 ( 1 p0 ) p q dla k = 1,, 3,K gdzie parametry rozkładu p 0 = 05, oraz p = 1 q = 0,5. Wartość oczekiwaa tej zmieej wyosi: (A) 1,5 (B) (C),5 (D) 3 (E) 3,5 4

5 Zadaie 5. (X, X, K, X 1 10 ) jest prostą próbą losową z rozkładu wykładiczego o wartości ( X X X x) oczekiwaej 5. Jeśli wiadomo, że { } wyosi: (A) (B) (C) (D) (E) 6.84 Pr max,, K, =., to liczba x

6 Zadaie 6. Zmiea losowa Y ma rozkład jedostajy a przedziale [ 01, ], atomiast zależa od iej zmiea X ma rozkład warukowy (przy daej wartości Y = y) jedostajy a przedziale [0, y]. Prawdopodobieństwo (bezwarukowe): Pr(X < 0,5) wyosi: (A) 0,500 (B) 0,6 (C) 0,750 (D) 0,847 (E) 0,911 6

7 Zadaie 7. (X 1, X, K, X ) jest prostą próbą losową z rozkładu geometryczego: ( ) k Pr Xi = k = p q k =01,,... gdzie p= 1 q ( 0, 1), i gdzie liczebość próby przekracza 1. W klasie estymatorów parametru p, daych wzorem: a a+ X i i = 1 dobierz parametr a tak, aby otrzymać estymator ieobciążoy: (A) a = (B) a = 05, (C) a = +05, (D) a = 1 (E) a = +1 7

8 Zadaie 8. Niech (X 1, X, K, X ) będzie próbką iezależych obserwacji z rozkładu jedostajego a przedziale ( ϕ0, ϕ1 ) z iezaymi oboma parametrami, i iech > 1. Iteresuje as szerokość przedziału ( ϕ1 ϕ0). Dobierz tak parametr a, aby estymator szerokości przedziału postaci: a max{ Xi} mi{ Xi} był ieobciążoy. i i (A) (B) (C) (D) (E) a = 1 a = a = + 1 a = + a = + 1 8

9 Zadaie 9. Wyiki oszacowaia trzech alteratywych modeli rozkładu ilości szkód N a tej samej (liczej) próbce ryzyk dały astępujące wartości logarytmu fukcji wiarygodości: -571, dla zwykłego rozkładu Poissoa (model 1) -57,0 dla modelu ze swobodym parametrem Pr( N = 0 ) oraz ogoem Poissoowskim (model ) -573,5 dla modelu ze swobodymi parametrami Pr( N = 0 ) oraz Pr( N = 1) oraz ogoem Poissoowskim (model 3) Dokoujemy doboru modelu a podstawie testów ilorazu wiarygodości, przeprowadzając go w przypadku porówaia każdej pary modeli a poziomie istotości 0,05. (A) ależy wybrać model 1 (B) ależy wybrać model (C) ależy wybrać model 3 (D) wybór trudo przeprowadzić, bo model 3 jest lepszy od 1 (odpowiedia hipoteza odrzucoa), atomiast testy porówawcze modelu trzeciego z drugim oraz drugiego z pierwszym dają wskazują, iż model 1 jest ajlepszy (E) podae iformacje są sprzecze 9

10 Zadaie 10. ( 1 1 ) Mieliśmy próbę prostą ( X, Y ),( X, Y ),,( X, Y ) dwuwymiarowego o iezaych parametrach: K z rozkładu ormalego EX i = EYi = μ, Va rx i VarYi, Cov X i, Yi = σ ρ. Niestety, obserwacje a X ach i Y rekach zostały oddzieloe, Y reki pomieszae, po czym zagubiliśmy iformacje o przyależości do par. Możemy to sformalizować = =σ ( ) przyjmując, iż mamy adal iezmieioy ciąg X ów, oraz ciąg ( Z 1,, Z ) staowiący losową permutację ciągu ( Y 1, K, Y ). Cov( X, Z ) wyosi: i i K, (A) (B) (C) (D) (E) zero σ ρ σ ρ σ ρ 1 σ ρ ( 1) 10

11 Egzami dla Aktuariuszy z 5 grudia 1997 r. Prawdopodobieństwo i statystyka Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko :... KLUCZ ODPOWIEDZI... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja 1 C E 3 E 4 B 5 D 6 D 7 D 8 B 9 E 10 C * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja. 11