MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

Transkrypt

1 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka. Retą beztermiową azywamy ieskończoy rokroczy ciąg wypłat. Ile ależy zaiwestować (p. wpłacić a pewe koto), aby móc otrzymywać taką retę? Zakładamy, że rocza efektywa stopa procetowa wyosi i. Załóżmy, że wypłaty mają wyosić po 1 każda, zaczyając od chwili (tzw. reta z góry). OW takiej rety wyosi ä = 1 + v + v = 1 1 v = 1 d. Istotie, obeca wartośc wypłaty 1 po -tym roku wyosi v i sumując po od do otrzymujemy powyższy wzór. Jeśli wypłaty są rówe 1 i pierwsza ma astąpić po pierwszym roku, (tzw. reta z dołu), to jej OW wyosi a = v + v = v 1 v = 1 i. Jeżeli wypłaty mają astępować od chwili, m razy w ciągu roku, po 1/m każda, (tzw. m-krota reta z góry), to jej OW wyosi ä (m) = 1 m + 1 m v1/m + 1 m v2/m +... = 1 1 m 1 v = 1 1/m W przypadku m-krotej rety z dołu (pierwsza wypłata po 1/m-tej roku) OW wyosi a (m) = 1 m v1/m + 1 m v2/m +... = 1 v 1/m m 1 v = 1 1/m Retą pewą azywamy skończoy ciąg wypłat, tz. wypłacae do pewej skończoej i z góry określoej chwili. Za jedostkę czasu przyjmujemy 1 rok i koiec roku azywamy chwilą. 1 i (m) d (m)

2 2 WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA Obece wartości ret pewych wyoszą: Przy wypłatach po 1 przez lat, dokoywaych od chwili (tj. w chwilach, 1,..., 1) (tzw. reta pewa z góry) ä = 1 + v + v 2 + v 1 = 1 v ; d Dla rety pewej z dołu (wypłaty w chwilach 1, 2,..., ) a = v + v v = 1 v ; i Dla m-krotej rety pewej z góry (wypłaty po 1/m, m razy w roku przez lat, od chwili ) ä (m) = 1 m + 1 m v1/m m v(m 1)/m = 1 v d (m) ; Dla m-krotej rety pewej z dołu (tak samo jak wyżej, ale od chwili 1/m) a (m) = 1 m v1/m m vm/m = 1 v i (m) Jeśli pierwsza wypłata rety astępuje w roku k, to retę azywamy odroczoą. Na przykład, w przypadku odroczoej o k lat rety beztermiowej z góry OW wyosi lub iaczej k ä = v k + v k = v k a, k ä = ä ä k, a w przypadku rety pewej z dołu a lat odroczoej o k lat k a = v k+1 + v k v +k = v k a = a +k a k. Podobe zależości zachodzą dla odroczoych ret m-krotych. Na przykład k ä (m) = v k ä (m) 2. Przepływy pieięże Dokoujemy ciągu wpłat lub wypłat przez jedakowych okresów. W roku k =, 1,..., dokoujemy wpłaty A k i wypłaty B k, a więc iwestycja w roku k wyosi C k = A k B k. Ciąg C, C 1,..., C azywamy przepływem pieiądza. Przy założeiu, że odsetki dopisywae są a końcu każdego roku (kapitalizacja z dołu) OW tego przepływu wyosi G = C j v j, j= atomiast jego ZW w chwili wyosi S = C j (1 + i) j. j=

3 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH 3 Oczywiście S = (1 + i) G. W dalszych rozważaiach będziemy często żądać, aby spełioy był waruek rówoważości S =. Przykład 1. Bak propouje astępujący kotrakt. Osoba 55-letia wpłaca przez 1 lat składkę roczą Π z góry, a astępie od 65 roku życia otrzymuje roczą retę z góry przez 15 lat w wysokości 1. Obliczmy wielkość składki Π. Mamy tu przepływ pieiądza z = 24, A =... = A 9 = Π, A 1 =... = A 24 = oraz B =... = B 9 =, B 1 =... = B 24 = 1. ZW tego przepływu wyosi 9 24 S 24 = (1 + i) 24 j Π (1 + i) 24 j. j= j=1 Składkę Π obliczamy przyjmując założeie, że S 24 =, tz. wpłaty rówoważą wypłaty oraz zakładamy, że i = 5%. Stąd Π = 24 j=1 v j 9j= v j = Tak obliczoą składkę azywamy składką etto. Obliczeia te są wykoae przy założeiu, że daa osoba przeżyje astępe 24 lata. W dalszej części zobaczymy jak uwzględić losowość długości życia człowieka przy obliczaiu składki. 3. Przyszły czas życia 3.1. Ozaczeia i defiicje. Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy azywać x-latkiem i ozaczać symbolem (x). Jej przyszły czas życia, tz. od chwili x do chwili śmierci, będziemy ozaczać przez T x. Wartości T x są ieujeme, ale ie muszą być całkowite! Oczywiście T x dla daej osoby (x) żyjącej ie jest zae. Zakładamy zatem, że T x jest zmieą losową i że day jest jej rozkład (dystrybuata) F x (t) = P(T x t), t. Iaczej, F x (t) jest prawdopodobieństwem, że x-latek umrze przed upływem czasu t, tz. przed chwilą x + t. Będziemy zawsze zakładać, że F x ma gęstość f x, tz. że dla dowolych a b P(a T x b) = lub rówoważie b F x(t) = f x (t) dla prawie wszystkich t. Przez s x ozaczymy fukcję przeżycia s x (t) = P(T x > t) = a x f x (t)dt, f x (t)dt.

4 4 WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA Będziemy używać astępujących ozaczeń: prawdopodobieństwo, że (x) umrze przed upływem czasu t tq x = F x (t); prawdopodobieństwo, że (x) przeżyje jeszcze t lat Oczywiście t q x + t q x = 1. tp x = 1 F x (t) = s x (t); prawdopodobieństwo, że (x) przeżyje jeszcze s lat, a astępie umrze w ciągu czasu t s tq x = P(s < T x s + t) = F x (s + t) F x (s) = s+t q x s q x = s p x s+t p x ; prawdopodobieństwo, że (x) przeżyje koleje t lat, pod warukiem, że przeżyje ajpierw co ajmiej s lat oraz tp [x]+s = P(T x > s + t T x > s) = = 1 F x(s + t) 1 F x (s) przeciwe prawdopodobieństwo warukowe = s+t p x sp x, tq [x]+s = P(T x s + t T x > s) = = F x(s + t) F x (s) 1 F x (s) = s t q x sp x. Uwaga. Jeżeli jakiś ideks jest rówy 1, to moża go pomiąć, p. 1p x = p x, t 1q x = t q x. Przykład 2. Niech x = 5, t = 5 oraz s = 1. Wtedy: q x = q 5 ozacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letia umrze w ciągu kolejego roku; p x = p 5 ozacza prawdopodobieństwo, że osoba 5-letia przeżyje kolejy rok; t q x = 5 q 5 ozacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letia umrze przed osiągięciem 55 lat; t p x = 5 p 5 ozacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letia dożyje wieku 55 lat; s t q x = 1 5 q 5 ozacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letia umrze pomiędzy 6 a 65 rokiem życia; t q [x]+s = 5 q [5]+1 ozacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letia umrze przed osiągięciem 65 lat, pod warukiem, że dożyła oa 6 lat.

5 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH 5 t p [x]+s = 5 p [5]+1 ozacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letia dożyje wieku 65 lat, pod warukiem, że dożyła oa 6 roku życia; Uwaga. t p x+s = 5 p 6 ozacza prawdopodobieństwo, że osoba 6 letia dożyje 65 roku życia. Jest to a ogół ie prawdopodobieństwo iż t p [x]+s = 5 p [5]+1, chociaż a pierwszy rzut oka mówią oe o tym samym: w obydwu przypadkach chodzi o przeżycie od 6 do 65 roku życia. Ale dotyczą oe różych populacji: 5 p 6 dotyczy 6-latków, a 5 p [5]+1 dotyczy 5-latków. Zachodzą astępujące rówości a więc s+tp x = s p x t p [x]+s s tq x = s p x t q [x]+s, k 1 kp x = p x i=1 p [x]+i. Wartością oczekiwaą przyszłego czasu życia T x azywamy e x = ET x = tf x (t)dt. Zakładamy, że e x < dla każdego x. Zauważmy, że a więc całkując przez części Ostateczie f x (t) = d( tp x ), dt e x = [ t t p x ] e x = + tp x dt. tp x dt. Natężeiem śmiertelości x-latka w chwili t liczoego od chwili obecej (tz. w chwili x + t) azywamy wielkość µ [x]+t = f x(t) 1 F x (t). Rozważmy prawdopodobieństwo warukowe śmierci (x) w krótkim przedziale czasu [t, t + h] pod warukiem, że (x) przeżyje do czasu t hq [x]+t = P(T x t + h T x > t) = F x(t + h) F x (t). 1 F x (t) Na mocy twierdzeia o wartości średiej mamy F x (t + h) F x (t) = hf x (t + θh),

6 6 WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA dla pewego θ [, 1], a więc hq [x]+t h = f x(t + θh) 1 F x (t). Jeżeli gęstość jest ciągła w p-cie t, to dostajemy hq [x]+t lim = µ [x]+t h + h Zatem prawdopodobieństwo śmierci x-latka w krótkim przedziale czasu [t, t + h] jest proporcjoale do długości tego przedziału ze współczyikiem proporcjoalości µ [x]+t. Dalej zauważmy, że a więc oraz µ [x]+t = 1 d( t p x ) tp x dt = d(log tp x ) dt ( t ) tp x = exp µ [x]+s ds t F x (t) = s p x µ [x]+s ds. Iaczej mówiąc atężeie śmiertelości wyzacza rozkład przyszłego czasu życia. Obciętym czasem życia azywamy zmieą losową K x = T x, gdzie a ozacza część całkowitą liczby rzeczywistej a, czyli ajwiększą liczbę całkowitą iewiększą iż a. Iaczej a = k wtedy, i tylko wtedy, gdy k a < k + 1. Zatem K x ozacza liczbę ukończoych przyszłych lat życia x-latka. Fukcja prawdopodobieństwa zmieej losowej K x daa jest wzorem P(K x = k) = P(k T x < k + 1) = k 1 q x = k p x q [x]+k. Zatem oczekiway obcięty przyszły czas życia jest day wzorem e x = kp(k x = k) = k k p x q [x]+k. K x jest zmieą losową o wartościach całkowitych ieujemych, a więc jej wartość oczekiwaą moża rówież obliczyć ze wzoru e x = P(K k) = kp x.