Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Komputerowa analiza danych doświadczalnych"

Transkrypt

1 Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 07/08

2 Metody Mote Carlo Najważiejsze rozkłady prawdopodobieństwa

3 Metoda akceptacji-odrzuceń vo Neumaa

4 Metoda (akceptacji) vo Neumaa Jak to działa? geerujemy parę liczb z rozkładu jedorodego: ( y i, ui ) a y i b, 0 ui d rozważamy krzywą: u=g( y ) oraz fukcję stałą: sprawdzamy, czy ui <g( y i ) jeśli waruek jest spełioy, akceptujemy liczbę yi, jeśli ie - odrzucamy zaakceptowae wartości yi podlegają rozkładowi g(y) rozkład g(y) ie musi być uorm. wydajość metody: u=d, d g max odrzucamy akceptujemy b g( y ) dy N accept E= N all ( b a ) d a KADD 08, Wykład 5 4 / 38

5 Metoda vo Neumaa z fukcją pomociczą Wydajość metody vo Neumaa moża poprawić, jeśli odpowiedio zawęzimy obszar losowaia: wprowadzamy fukcję pomociczą s(y), z której łatwo wygeerować zmiee losowe (p. metodą odwrotej dystrybuaty), i która spełia waruek: g ( y ) c s( y ), a< y <b geerujemy liczbę losową yi z rozkładu s(y) a przedziale a< y i <b oraz liczbę ui z rozkładu jedorodego a przedziale 0<ui < odrzucamy liczbę yi, jeżeli: ui g( y i ) wydajość metody: KADD 08, Wykład 5 b c s( y i ) a g( y )dy E= b c a s( y )dy 5 / 38

6 Metoda vo Neumaa z fu. pom. - przykład Rozważmy fukcję gęstości postaci: g ( y)=cos(π x)/(π x+)+/ 4, 0 y Fukcja ta, w przedziale od 0 do, ma dwa maksima: g (0)=c, g ()=d W zwykłej metodzie vo Neumaa wybieramy prostą: umax =c Tutaj możemy łatwo wybrać fukcję pomociczę s(y) jako prostą przechodzącą przez pubkty (0, c) i (, d) 3." c Aby otrzymać wzór s(y) rozważamy układ rówań: c=a 0+ b d =a + b Z czego wzór a s(y): d KADD 08, Wykład 5 " s( y)= d c y+ c Jak otrzymać wartość losową z tego rozkładu? 6 / 38

7 Metoda vo Neumaa z fu. pom. - przykład Metodą odwrotej dystrybuaty! Liczymy dystrybuatę: S y = d c y cy 4 Oraz jej fukcję odwrotą: c xc(d c)+(d c) y=s ( x)= c(c d ) Losujemy wartość xi z rozkładu jedorodego w graicach: 50% wzrost wydajości! S (0)=0, S ()=d +c I wstawiamy ją do wzoru a odwrotą dystrybuatę by otrzymać yi z rozkł. s(y) Losujemy pomociczą wartość ui z rozkładu jedorodego 0<u i < g ( yi ) Tutaj będzie jeszcze lepiej! ui < Sprawdzamy waruek akceptacji yi: s ( y i ) KADD 08, Wykład 5 7 / 38

8 Geeracja liczb o rozkładzie ormalym Jak pamiętamy, rozkład ormaly ie ma aalityczej formy dystrybuaty Do geerowaia liczb z rozkładu ormalego o x^ =0, σ= (stadardowego) służy metoda Box a-muller a z f ( z)= exp π ( ) Geerujemy parę liczb (u,u) z rozkładów jedorodych (0,) i dokoujemy zamiay zmieych: v = u v = u Obliczamy: s=v + v Gdy s odrzucamy parę trasformacja x x^ dowolego rozkł. orm. z= σ do stadardowego Otrzymujemy dwie liczby pseudolosowe opisae rozkładem ormalym stadardowym: x =v (/ s)l s KADD 08, Wykład 5 x =v (/ s) l s 8 / 38

9 Całkowaie metodą Mote Carlo Jak już zauważylismy, pole powierzchi pod rozpatrywaą krzywą w stosuku do pola prostokąta, z którego losujemy dwie liczby pseudolosowe, ma się (w przybliżeiu) do siebie tak jak liczba par b zaakceptowaych do odrzucoych: g ( y) dy N accept N all ( b a ) d a Co pozwala a przybliżoe obliczeie wartości całki ozaczoej: b N accept g ( y) dy N ( b a ) d all a W te sposób moża obliczyć dowolą całkę ozaczoą poprzez prostą geerację dwóch liczb z rozkładu jedorodego. W wersji -wymiarowej oczywiście możemy to zrobić dla dowolej liczby zmieych losowych (i obliczać całki wielowymiarowe) Względa dokładość obliczeia całki: Δ I = KADD 08, Wykład 5 I N wszystkie 9 / 38

10 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości liczby π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: N accept ( b a ) d I N all wszystko przypomia rzucaie lotkami (darts) KADD 08, Wykład 5 0 / 38

11 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: KADD 08, Wykład 5 N accept ( b a ) d I N all / 38

12 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: KADD 08, Wykład 5 N accept ( b a ) d I N all / 38

13 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: KADD 08, Wykład 5 N accept ( b a ) d I N all 3 / 38

14 Całkowaie metodą Mote Carlo - przykład Najpopulariejszy przypadek to wykorzystaie metody Mote Carlo do obliczeia wartości π W tym celu rozpatrzmy ćwiartkę okręgu o jedostkowym promieiu. Fukcja opisująca tę ćwiartkę to: g ( y)= ( R y ); 0 y ; 0 y Pole ćwiartki jedostkowego okręgu to: I = g ( y )dy =π / 4 π=4 I 0 Wartość całki obliczamy metodą Mote Carlo: KADD 08, Wykład 5 N accept ( b a ) d I N all 4 / 38

15 Najważiejsze rozkłady prawdopodobieństwa

16 Rozkład dwumiaowy W Polsce zay rówież jako rozkład Beroulliego (ag. biomial distributio) w iych krajach może ozaczać iy rozkład Rozważmy proste doświadczeie rzut moetą: w wyiku rzutu możemy otrzymać dwa wykluczające się wyiki zatem przestrzeń zdarzeń elemetarych: E= A+ A możemy zdefiiować prawdopodobieństwa: P A = p P A = p=q Wyik doświadczeia może być zmieą losową Xi, która przybiera wartość lub 0 w zależości od tego, czy zaszło zdarzeie A lub A Jeśli powtórzymy wielokrotie doświadczeie, to otrzymamy rozkład zmieej losowej X=X+X+.X KADD 08, Wykład 5 6 / 38

17 Rozkład dwumiaowy Z rachuku prawdopodobieństwa wiemy, że jeżeli przestrzeń zdarzeń elemetarych E= A + A A i zdarzeia są iezależe, to: P ( A A... A )= P( A ) P( A )... P( A ) Z tego wyika, że prawdopodobieństwo, że k pierwszych doświadczeń (z ) da wyik zdarzeia A a pozostałe -k dadzą wyik zdarzeia A, wyosi: k P ( A A k k )= p q k Zgodie z kombiatoryką, pojawieie się k razy zdarzeia A w doświadczeiach realizuje się a po k sposobów:! = różiących się kolejością zdarzeń A i A k k!( k)! () Prawdopodobieństwo wystąpieia k razy zdarzeia A i -k razy zdarzeia A w doświadczeiach, w dowolej kolejości, wyosi: k k P (k )=W k = p q ; q= p k Tak zdefiioway rozkład azywamy rozkładem dwumiaowym () KADD 08, Wykład 5 7 / 38

18 Rozkład dwumiaowy Dystrybuata Rozkład prawdopodobieństwa P(k) F(k) k liczba sukcesów k liczba sukcesów KADD 08, Wykład 5 8 / 38

19 Rozkład dwumiaowy Policzmy wartość oczekiwaą i wariację rozkładu dwumiaowego Dla pojedyczego doświadczeia Xi (zmieej losowej, która może przyjąć wartość lub 0): E ( X )= xi P ( X =x i ) i= E ( X i )= P ( X i =)+0 P( X i=0) E ( X i )= p+0 q= p σ ( X i )=E ( ( x i p) ) =( p) p+(0 p) q= pq Z własości warotści oczekiwaej: E ( X = X + X... + X )= E ( X i )=p i= Zakładając iezależość zmieych (zerowe kowariacje) otrzymamy z kolei: σ ( X )=pq Dla zdarzeń losowych: X = p p pq p q 0 p = 0 p 4 8p 4p p p p p 4p =p p =pq KADD 08, Wykład 5 9 / 38

20 Rozkład dwumiaowy - właściwości Dla różych, stałe p p=0.3 KADD 08, Wykład 5 p=0.6 0 / 38

21 Rozkład dwumiaowy tablica Galtoa Iym przykładem realizacji rozkładu dwumiaowego jest tablica (deska) Galtoa: mamy rzędów kołeczków kuleczka może przesuąć się w lewo (z prawdopod. p=0,5) lub w prawo (q=0.5) kuleczka przesuie się k razy w lewo i -k razy w prawo każde przesuięcie jest iezależe zatem dla jedej kokretej kofiguracji (drogi) spadku kulki prawdopodobieństwo: pk q k jeśli mamy róże kofiguracje przesuięć: P(k )=W k = p k q k ; q= p k () deska Galtoa a Wydziale Fizyki PW KADD 08, Wykład 5 / 38

22 Rozkład dwumiaowy ie przykłady z życia k k P(k )=W k = p q ; q= p k () ) ilość studetów a 3 roku fizyki p prawdopodobieństwo zaliczeia KADD (załóżmy, że p>0.5 :) ) k ilość osób, które przedmiot zaliczyły ) liczba dzieci urodzoych w 05 roku p prawdopodobieństwo, że urodzi się dziewczyka (p=0,5) k ilość urodzoych dziewczyek 3) Małe i duże ryby w stawie - liczba wszystkich ryb p - prawdopodobieństwo złowieia dużej ryby k - liczba dużych ryb KADD 08, Wykład 5 / 38

23 Rozkład wielomiaowy uogólieie Uogólieie, gdy mamy więcej możliwości iż dwie (sukces i porażka) Jeśli przestrzeń zdarzeń elemetarych: E= A + A A l l Zdarzeia się wzajemie wykluczają: P( A j )= p j, To prawdopodobieństwo zajścia kj razy zdarzeia Aj: l l! k P=W k k..., k = l p j, k j = j= j= k! j p j= j= j,, l j= Taki rozkład azywamy rozkładem wielomiaowym Jeśli zdefiiujemy zmiee losowe Xij rówe, gdy wyikiem i-tego doświadczeia jest zdarzeie Aj, lub rówe 0 w przeciwym razie, oraz X j= X ij i= Wtedy wartość oczekiwaa i kowariacja: E ( X j )= ^ x j = p j cij =p i ij p j KADD 08, Wykład 5 3 / 38

24 Rozkład wielomiaowy uogólieie Przykład gra w karty: troje graczy (A, B,C) rozgrywa serię gier: prawdopodobieństwo, że gracz A wygra dowolą grę jest 0% prawdopodobieńśtwo, że gracz B wygra dowolą grę jest 30% prawdopodobieństwo, że gracz C wygra dowolą grę jest 50% Jeśli rozegrają 6 gier, jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz A wygra grę, gracz B wygra gry, a gracz C wygra 3 gry? KADD 08, Wykład 5 4 / 38

25 Rozkład wielomiaowy uogólieie Przykład gra w karty: troje graczy (A, B,C) rozgrywa serię gier: prawdopodobieństwo, że gracz A wygra dowolą grę jest 0% prawdopodobieńśtwo, że gracz B wygra dowolą grę jest 30% prawdopodobieństwo, że gracz C wygra dowolą grę jest 50% Jeśli rozegrają 6 gier, jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz A wygra grę, gracz B wygra gry, a gracz C wygra 3 gry? P=W k, k,..., k = l! l kj! l kj pj j= j= = 6 liczba gier k = wygrywa gracz A (ilość sukcesów zdarzeia A) k = wygrywa gracz B k3 = 3 wygrywa gracz C p = 0. prawd. wygraia gracza A p = 0.3 prawd. wygraia gracza B p3 = 0.5 prawd. wygraia gracza C 6! 3 P ( A=, B=,C=3)= =0.35!! 3! KADD 08, Wykład 5 5 / 38

26 Częstość i prawo wielkich liczb Defiicja prawdopodobieństwa przeprowadzeie prób dostateczie dużo razy (N) umożliwia pomiar prawdopodobieństwa zdarzeia A P ( A)= lim N N Jak uzasadić tę defiicję? W rzeczywistości ie zamy prawodpodobieństw zdarzeń (p. pj w rozkł. wielomiaowym) wyzaczamy je eksperymetalie Częstość wystąpieia zdarzeia Aj w doświadczeiach będzie określoa wzorem: H j = X ij = X j i= Częstość jest zmieą losową, dla ktorej (przy próbach): Xj ^ E ( H j )= h j = E =pj ( ) KADD 08, Wykład 5 σ ( H j ) =σ Xj = σ ( X j ) = p j ( p j )= p j q j ( ) 6 / 38

27 Częstość i prawo wielkich liczb Częstość wystąpieia zdarzeia Aj w doświadczeiach będzie określoa wzorem: H j = X ij = X j i= Częstość jest zmieą losową, dla ktorej (przy próbach): xj ^ E ( H j )=h j= E =pj ( ) σ ( H j ) =σ Xj = σ ( X j ) = p j ( p j )= p j q j ( ) Wartość oczekiwaa częstości jest rówa jego prawdopodobieństwu. Iloczy pj(-pj)=pjqj jest zawsze miejszy od /4, moża więc przyjąć, że stadardowe odchyleie częstości jest miejsze iż / i może osiągać dowolie małe wielkości (gdy ). Jest to prawo wielkich liczb Możemy zatem użyć częstości jako przybliżoej wartości prawdopodobieńśtwa z odpowiedia iepewością jej wyzaczeia Kwadrat iepewości jest w przybliżeiu odwrotie proporcjoaly do liczby przeprowadzoych prób jest to iepewość statystycza KADD 08, Wykład 5 7 / 38

28 Rozkład hipergeometryczy W urie jest N kul k białych i N-K czarych W próbach wyciągamy (bez zwracaia) k kul białych i -k=l kul czarych. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągięcia k kul białych? Wylosowaie kolejej kulki zmieia proporcje kul białych do czarych i wpływa a wyik kolejego losowaia rozkład dwumiaowy ie ma tu zastosowaia. Mamy jedak: N liczbę możliwości wylosowaia z N kulek: N prawdopodobieństwo takiego zdarzeia: / możliwość wylosowaia k spośród K białych i l spośród L czarych kulek wyoszą: K L K L k l k l prawdopodobieństwo szukae wyosi zatem: W = k N Aalogiczie jak w rozkładzie dwumiaowym, defiiujemy zmieą losową: X = X i ( ) ( ) () ( ) i= KADD 08, Wykład 5 8 / 38

29 Rozkład hipergeometryczy Aalogiczie jak w rozkładzie dwumiaowym, X = X i defiiujemy zmieą losową: i= Xi przyjmuje wartość dla białych i 0 dla czarych wylosowaych kul Moża pokazać, że (Bradt): K K K N N E ( X )= X = N N N Dla N rezultat kolejego losowaia iewiele wpływa a astępe wyiki. Wtedy rozkłąd hipergeometryczy upodabia się do dwumiaowego: pq ( N ) K N K K p=, q=, E ( X ) = =p, σ ( X )= N N N N KADD 08, Wykład 5 9 / 38

30 Rozkład Poissoa Rozważmy rozkład dwumiaowy: k k P(k )=W k = p q ; q= p k dla ale przy stałym p=λ rozkład dwumiaowy dąży do rozkładu Poissoa (wyprowadzeie Bradt): k lim k k W k = f k = e W k= p q k! k ormalizacja: () k f (k)= λk! e =e k =0 k=0 wartość oczekiwaa: wariacja: λ ( 3 σ (K )=E ( K ) ( E ( K ) ) =λ (λ +) λ =λ 3 Skosość i wsp. asymetrii: μ3 =E ( ( k k^ ) )=λ KADD 08, Wykład 5 ) +λ + λ + λ + =e λ e λ =! 3! k j λ λ λ E ( K ) = k e =λ e λ =λ k=0 k! j=0 j! λ γ= μ3 σ = 3 λ / =λ λ 3/ 30 / 38

31 Rozkład Poissoa - przykłady Rozkład Poissoa stosujemy wtedy, gdy mamy dużą liczbę iezależych zdarzeń, z których tylko ielicze mają iteresującą as własość (duże, małe p w rozkł. dwumiaowym) Rozkład Poissoa występuje tam, gdzie mamy zjawiska dyskrete, gdy prawdopodobieństwo wystąpieia zjawiska jest stałe w czasie lub przestrzei: liczba połączeń przychodzących do cetrali a miutę liczba mutacji w daym odciku DNA po ekspozycji a pewą dawkę promieiowaia liczbę zabitych każdego roku przez kopięcie koia w korpusie kawalerii w Prusach (Wikipedia) KADD 08, Wykład 5 3 / 38

32 Rozkład Poissoa rozpad promieiotwórczy Mamy jądro promieiotwórcze o czasie życia τ. Obserwujemy je w czasie T«τ. Prawdopodobieństwo rozpadu jądra w tym czasie W«. Dzielimy czas T a przedziałów, prawdopodobieństwo: p=w/. Obserwujemy w czasie T źródło zawierające N jąder. Liczba przedziałów czasowych k, w których zaobserwowao k=0,,, 3 itd. rozpadów. Wtedy częstość h(k) = k/. Doświadczalie zaobserwowao, że dla N i dużych rozkład h(k) dąży do rozkładu Poissoa, co staowi bezpośredi dowód a iezależość i statystyczy charakter rozpadów promieiotwórczych (badaia Rutherforda i Geigera). Aalogiczie częstość obserwowaia k gwiazd w elemecie kąta bryłowego sfery iebieskiej lub k rodzyek w jedostkowym elemecie objętości keksu KADD 08, Wykład 5 3 / 38

33 Rozkład jedostajy Gęstość prawdopodobieństwa: f(x) f ( x)=c ; x a, b f ( x)=0 ; x ℝ a, b Współczyik (ormalizacja) c: b f ( x) dx=c dx=c (b a)= c= a ; x a, b b a f ( x)=0 ; x ℝ a, b f ( x)= Dystrybuata: F ( x)=0 ; x <a x x a dx '= ; x a ; b b a a b a F ( x)= ; x >b F ( x)= c b a a b x Wariacja: σ ( X )=E ( X ) ( E ( X )) b (b3 a 3 ) E ( X )= x dx= 3(b a) = b a a (b a)(b +ba+a ) b +ba+a = = 3(b a) 3 b +ba+ a b +a σ ( X )= = 3 b +ba+a b + ba+a (b a) = = 3 4 ( ) Wartość oczekiwaa: b (b a)(b+a) b +a E ( X )= x^ = xdx= (b a )= = b a a (b a) (b a) KADD 08, Wykład 5 33 / 38

34 Rozkład wykładiczy Gęstość prawdopodobieństwa: λ x f ( x)=λ e ; x 0 ; λ>0 f ( x)=0 ; x<0 Dystrybuata: F ( x)=0 ; x <0 x x F ( x)= f ( x) dx=λ e 0 0 F ( x)= e λ x ' λ x dx '= λ e λ x ' λ [ 0 ; x 0 Wartość oczekiwaa: 0 0 E ( x)= x^ = x f ( x )dx=λ e λ x x dx= ] x λ Wariacja: E ( x )= x f ( x)dx= 0 σ ( x)=e ( x ) ( E ( x)) = KADD 08, Wykład 5 λ = λ λ λ 34 / 38

35 Rozkład ormaly stadardowy Gęstość prawdopodobieństwa: x / f ( x) ϕ 0 ( x)= e π rozkład o średiej 0 i wariacji Dystrybuata ie ma postaci aalityczej (korzystamy z tabel) Rozkład jest uormoway: e x / dx= π Jeśli wprowadzimy zmieą: Y =( X a)/ b Otrzymamy rozkład Gaussa: f ( y ) ϕ( y )= e ( y a ) / b π b średia (przesuięcie): ^y =a wariacja (szerokość): σ (Y )=b KADD 08, Wykład 5 35 / 38

36 Rozkład ormaly stadardowy - własości Pukt przegięcia rozkładu: stadardowego x=± Gaussa x=a±b Załóżmy, że zamy dystrybuatę: F 0 ( x) Φ0 ( x)=p ( X x) Ze względu a asymetrię gęstości: P ( X > x )= Φ0 ( x )=( ϕ 0 ( x )) Aalogiczie, wewątrz przedziału x: P ( X x)= Φ0 ( x ) Dystrybuatę r. orm. moża uogólić a r. Gaussa: Φ ( y)=φ0 ( x a b KADD 08, Wykład 5 ) 36 / 38

37 Rozkład ormaly stadardowy - własości Wtedy szczególie iteresujące jest obliczeie występowaia zmieej los. dla wielokrotości odchyleia stadardowego: P ( Y a σ )= Φ 0 ( ) Otrzymamy wtedy: P ( Y a σ)=68,3 % b = Φ0 () b P ( Y a >σ)=3,7 % P ( Y a σ)=95,4 % P ( Y a > σ )=4,6 % P ( Y a 3 σ )=99,8 % P ( Y a >3 σ )=0, % Z Wykładu pamiętamy, że współczyik rozszerzeia iepewość typu A zwykle jest między a 3 tu widać dlaczego W auce przez odchyleie stadardowe określamy rówież różice w obserwowaym sygale eksperymetalym w stosuku do sytuacji, gdy efektu fizyczego ie ma KADD 08, Wykład 5 37 / 38

38 Wielokrotości sigma Idealym przykładem jest odkrycie bozou Higgsa W fizyce cząstek przyjęło się, że dopiero mając odchyleie 5σ moża mówić o odkryciu: P ( Y a 5 σ)=99,99994 % Różica a takim poziomie wymagała zebraia dużej ilości daych, stąd potwierdzeie jego istieia zajęło poad 3 lata KADD 08, Wykład 5 38 / 38

39 KONIEC

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 5 4.03.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Metody Mote Carlo Najważiejsze rozkłady prawdopodobieństwa Metoda akceptacji-odrzuceń

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 5.03.09 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 08/09 Trasformacje liiowe Propagacja iepewości Trasformacje liiowe Najczęściej,

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory

Bardziej szczegółowo

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 7.04.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory

Bardziej szczegółowo

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa

Bardziej szczegółowo

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia graniczne:

Twierdzenia graniczne: Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki 1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae

Bardziej szczegółowo

16 Przedziały ufności

16 Przedziały ufności 16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego

Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea

Bardziej szczegółowo

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest

Bardziej szczegółowo

Lista 6. Estymacja punktowa

Lista 6. Estymacja punktowa Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są

Bardziej szczegółowo

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0, Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 3.04.08 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 07/08 Wielowymiarowy rozkład Gaussa - przypomieie Cetrale twierdzeie graicze

Bardziej szczegółowo

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 5.04.09 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 08/09 Wielowymiarowy rozkład Gaussa - przypomieie Cetrale twierdzeie graicze

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych

Bardziej szczegółowo

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)

Bardziej szczegółowo

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa) Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2 Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę

Bardziej szczegółowo

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2. Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:

oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że: Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie

Bardziej szczegółowo

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy

Bardziej szczegółowo

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów

KADD Metoda najmniejszych kwadratów Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym) Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli

Bardziej szczegółowo

2. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE

2. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE Ie rozkłady dyskrete 9. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE.. Rozkład dwumiaowy - kotyuacja Przypomijmy sobie pojęcie rozkładu dwumiaowego prawdopodobieństwa k sukcesów w próbach Beroulli ego: P k k k k = p q m =

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii. TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1, 1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.

1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n. Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1. Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

Funkcja generująca rozkład (p-two)

Funkcja generująca rozkład (p-two) Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1). TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3.03.07 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 06/07 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej

Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;

Bardziej szczegółowo

n n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc

n n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc 5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.

Bardziej szczegółowo

Model ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.

Model ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej. Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The

Bardziej szczegółowo

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b

Bardziej szczegółowo

ZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych.

ZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych. STATYSTYKA to auka, której przedmiotem zaiteresowaia są metody pozyskiwaia i prezetacji, a przede wszystkim aalizy daych opisujących zjawiska masowe. Metody statystycze oparte są a rachuku prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,

Zmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7, Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym

Bardziej szczegółowo

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności) IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie

Bardziej szczegółowo

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o 1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja

Bardziej szczegółowo

Wyższe momenty zmiennej losowej

Wyższe momenty zmiennej losowej Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla

Bardziej szczegółowo

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym, Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.

Bardziej szczegółowo

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej). Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład.03.08 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 07/08 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Rozkład Poissona. I. Cel ćwiczenia. Obowiązujący zakres materiału. Podstawy teoretyczne. Opracował: Roman Szatanik

Rozkład Poissona. I. Cel ćwiczenia. Obowiązujący zakres materiału. Podstawy teoretyczne. Opracował: Roman Szatanik Opracował: Roma Szatai Rozład Poissoa I. Cel ćwiczeia Zapozaie ze statystyczym sposobem opisu zagadień związaych z promieiowaiem jądrowym oraz z rozładami statystyczymi stosowaymi w fizyce jądrowej. Pratycze

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE (SYMULACJA) PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH

MODELOWANIE (SYMULACJA) PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Ćwiczeie 8 MODELOWANIE (SYMULACJA) PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH 8.. Wiadomości ogóle Bardzo wiele zdarzeń, a także zjawisk fizyczych zachodzących w otaczającym as świecie, osi cechy procesów przypadkowych

Bardziej szczegółowo