1 Dwuwymiarowa zmienna losowa

Transkrypt

1 1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla x R; F y = p k dla y R; x i <x y k <y Y = y k X = x i = p ik ; p i F x y k = X < x Y = y k = X = x i Y = y k = p ik p k ; x i <x p ik p k ; F y x i = Y < y X = x i = y k <y p ik p i ; X = x i, Y = y k = X = x i Y = y k lub p ik = p i p k ; E gx, Y = gx i, y k p ik ; EX m = x m i p i ; EY = yk p k ; i k i k D gx, Y = [gx i, y k E gx, Y ] p ik ; i k D X = x i EX p i ; D Y = y k EY p k ; i k covx, Y = E [X EX] [Y EY ] lub covx, Y = E XY EXEY ; ρx, Y = covx, Y D XD Y ; ρx, Y = 0 X i Y ą iekorelowae; Cetrale twierdzeia graicze.1 Cetrale twierdzeie graicze Lideberga-Levy ego Jeżeli ciąg {X } jet loowym ciągiem iezależych zmieych o jedakowym rozkładzie zarówo dykretym jak i typu ciągłego, o wartości przeciętej 1 i kończoej wariacji σ > 0, to ciąg {F } dytrybuat tadaryzowaych 1

2 średich arytmetyczych X albo tadaryzowaych um S Y = X 1 σ = S 1 σ jet zbieży do dytrybuaty Φ rozkładu N0, 1, czyli lim F y = 1 π y e t dt = Φy. Dla y 1 < y mamy y 1 < Y y Φy Φy 1.. Itegrale twierdzeie Moivre a-laplace a Jeżeli {S } jet ciągiem zmieych loowych o rozkładzie Beroulliego z parametrami, p, 0 < p < 1 a więc o wartości przeciętej ES = p i wariacji D S = pq oraz Y jet ciągiem tadaryzowaych zmieych loowych potaci: wtedy zachodzi wzór: Y = S p pq, lim Y < y = Φy. Dla dużych i każdej pary wartości y 1 < y mamy y 1 < Y < y Φy Φy 1. y 1 S y = y < S < y = y1 0.5 p = < Y < y p pq pq Φ y p pq Φ y1 0.5 p. pq

3 3 Grupowaie, prezetacja i aaliza daych 3.1 Szeregi tatytycze Szereg zczegółowy: x 1, x,..., x gdzie x 1 x... x. Szereg rozdzielczy puktowy: Wariat cechy x i Liczba jedotek o i-tym wariacie cechy i x 1 1 x x k Razem k Szereg rozdzielczy przedziałowy: Numer klay Klay Ilość wariatów cechy w daej klaie 1 x mi x mi + h 1 x mi + h x mi + h 3 x mi + h x mi + 3h k x max h x max k Razem. Etapy tworzeia zeregu rozdzielczego przedziałowego: 1. utaleie liczebości próby ;. utaleie liczby kla: k lub k l ; 3. wyzaczeie roztępu z próby: R = x max x mi ; 4. wyzaczeie długość przedziału klaowego: h R k przy czym h R k ; 5. wyzaczeie lewego końca pierwzego przedziału klaowego-zwykle przyjmuje ię, że lewy koiec to x mi lub wartość blika x mi. 3

4 3. Charakterytyki liczbowe z próby Średia z próby: x = 1 x = 1 x i zereg zczegółowy, k i x i zereg rozdzielczy puktowy, x = 1 k i xi zereg rozdzielczy przedziałowy x i to środek i tej klay. Wariacja z próby: = 1 x i x = x i x zereg zczegółowy, = = k x i x i = k x i x i = x i i x zereg rozdzielczy puktowy, x i i x zereg rozdzielczy przedziałowy. Odchyleie tadardowe z próby: =. Wpółczyik zmieości z próby: v = 100%. x 4 Etymacja przedziałowa 4.1 rzedziały ufości dla wartości średiej µ Model I. opulacja geerala ma rozkład ormaly Nµ, σ, przy czym µ - iezae, a σ - zae. Wówcza przedział ufości dla średiej µ populacji otrzymuje ię ze wzoru: x u 1 σ < µ < x + u 1 σ = 1, 4

5 gdzie liczbę u 1 odczytujemy z tablic dytrybuaty tadardowego rozkładu ormalego N0, 1 korzytając z Φu 1 = 1. MODEL II. opulacja geerala ma rozkład ormaly Nµ, σ, gdzie µ i σ - iezae, mała próba. Wówcza przedział ufości dla średiej µ populacji otrzymuje ię ze wzoru: x t, ν lub z rówoważego wzoru: x t, ν < µ < x + t, ν = 1, 1 1 < µ < x + t, ν = 1, gdzie liczbę t, ν odczytujemy z tablic rozkładu t Studeta dla daego i dla ν = 1 topi wobody oraz = x i x. 1 1 MODEL III. opulacja geerala ma rozkład ormaly Nµ, σ bądź dowoly iy rozkład, przy czym µ i σ ą iezae, duża próba. Wówcza przedział ufości dla średiej µ populacji otrzymuje ię ze wzoru: lub ze wzoru: x u 1 x u 1 < µ < x + u 1 < µ < x + u 1 = 1, = rzedziały ufości dla wkaźika truktury MODEL. opulacja geerala ma rozkład zero-jedykowy z parametrem p, > 100. Wtedy przedział ufości dla wkaźika truktury p jet określoy przybliżoym wzorem: m u 1 1, m 1 m < p < m + u 1 gdzie m jet liczbą elemetów wyróżioych w próbie. m 1 m 5

6 4.3 Wyzaczeie iezbędej liczby pomiarów do próby MODEL I. opulacja ma rozkład Nµ, σ, bądź zbliżoy do ormalego, przy czym σ jet zae. Szacujemy iezaą średią wartość µ. Liczebość próby oblicza ię ze wzoru: = σ u 1 d, gdzie d jet dopuzczalym utaloym z góry makymalym błędem zacuku średiej µ. MODEL II. opulacja ma rozkład Nµ, σ, σ ie jet zaa, ale zaa jet wartość, uzykaa z małej próby o liczebości 0 elemetów. Szacujemy iezaą średią wartość µ. Liczebość utala ię według wzoru: = t, ν 0 d, gdzie liczbę t, ν0 odczytujemy z tablic rozkładu t Studeta dla daego i dla ν 0 = 0 1 topi wobody oraz = x 1 i x. MODEL III. opulacja ma rozkład zero-jedykowy z parametrem p. Szacujemy iezay parametr p. Liczebość próby oblicza ię ze wzoru: 1. = p1 pu 1 d frakcji p, gdy zamy podzieway rząd wielkości zacowaej. = u 1 4d jeżeli ie zamy rzędu wielkości zacowaej frakcji p. 6