ZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)

Transkrypt

1 ZADANIA - ZESTAW Zadaie.. Wyzaczyć m (), D ( ) dla procesu symetryczego (p = q =,) błądzeia przypadkowego. Zadaie.. Narysuj graf łańcucha Markowa symetrycze (p = q =,) błądzeie przypadkowe z odbiciem. Przyjmij liczbę staów rówą 6. Zapisz macierz prawdopodobieństw przejść tego łańcucha. Czy jest to łańcuch ergodyczy? Czy jest to łańcuch okresowy? Czy istieje rozkład stacjoary tego procesu? Ile jest takich rozkładów. Zadaie.3. Wyzaczyć wartości włase macierzy Odp. To ie jest łańcuch ergodyczy, chociaż ma dokładie jede rozkład stacjoary π = [,;,;,;,;,;,],3,6 Do jakiej klasy ależy ta macierz stochastycza?,,4,,4,6 Czy odpowiedi łańcuch Markowa jest ergodyczy. Narysować graf tego łańcucha. Sprawdź, że π = [6/3; 7/3; /3] jest rozkładem stacjoarym. Wyzacz Zadaie.4. lim P. Oblicz () m, D ( ). Wyzaczyć wartości włase macierzy,7, a) b) c) d),,7 e) f) h) i ),,,,,,,,,, g),,

2 Do jakich klas ależą te macierze stochastycze? Czy odpowiedi łańcuch Markowa jest ergodyczy. Narysować graf tego łańcucha. Sprawdzić, czy dla tego łańcucha istieje rozkład graiczy. Zadaie.a. Wyzaczyć koleje potęgi macierzy Wyzaczyć wartości włase tej macierzy. Czy odpowiedi łańcuch Markowa jest ergodyczy?. Narysować graf tego łańcucha. Czy odpowiedi łańcuch Markowa jest okresowy? Zadaie.. Wyzaczyć koleje potęgi macierzy, Odp. P 3 = I, P 4 = P, łańcuch okresowy., Czy odpowiedi łańcuch Markowa jest ergodyczy. Narysować graf tego łańcucha. Porówać wiersze macierzy P i składowe wektora rozkładu graiczego. Wyzacz Zadaie.6. lim P. Oblicz () m, D ( ). Odp. p. 6,6787,38 = [/3, /3],66,3437 Łańcuch Markowa ma dwa stay i rozkład graiczy [p, q]. Wyzaczyć macierz P tego łańcucha. Odp. a pa p a pa, a - ieujemy parametr. p Zadaie.7. Rozkład początkowy łańcucha Markowa określoego macierzą prawdopodobieństw przejść,3,,,6,4,4,6

3 wyraża się wektorem a) (,, ), b) (,; ;,), Wyzaczyć prawdopodobieństwa zalezieia się w poszczególych staach tego łańcucha po ) dwóch etapach, ) trzech etapach, 3) ieskończeie wielu etapach. Oblicz ) m (), D () ; ) m (3), D (3) ; 3) m (), D ( ) Zadaie.8. Rozkład początkowy łańcucha Markowa określoego macierzą prawdopodobieństw przejść,,,,,,,, wyraża się wektorem (,,, ). Narysować graf tego łańcucha. Wyzaczyć prawdopodobieństwa zalezieia się w poszczególych staach tego łańcucha po kolejych etapach. Czy łańcuch te ma określoe prawdopodobieństwa graicze? Zadaie.8a. Wyzaczyć wartości włase macierzy,, Dokoać klasyfikacji staów tego łańcucha. Czy te łańcuch Markowa jest ergodyczy?. Narysować graf tego łańcucha.,, Wsk. P = P Zadaie.9. Podaj przykład łańcucha, którego rozkłady graicze zależą od rozkładu początkowego. 3

4 Zadaie.. Uzasadij własość: Jeśli łańcuch Markowa ma dwa róże rozkłady stacjoare to ie może to być łańcuch ergodyczy. Zadaie.a. Wyzaczyć rozkłady graicze łańcuchów wyzaczoych przez macierze a) c),4,6 b),,8,,,7,3,4,6 d),6,4 Narysuj odpowiedie grafy. Oblicz m (), D ( ). Odp. (wartości przybliżoe),3,,,3,,4,8,3,,, a) [,384638;,96384;,884638;,769379] m () =,4, D ( ) =,66 b) [,97437;,88633;,36468;, ] m () =,78, D ( ) =,3 c) [,4898;,3489;,686747;, ] m () =,8, D ( ) =, d) [,943736;3,864;,748;,4888] m () =,83, D ( ) =,38 Zadaie.. Wyzaczyć rozkłady graicze łańcuchów wyzaczoych przez macierze a) b) 4

5 Narysuj odpowiedie grafy. Oblicz m (), D ( ). Odp. a) [6/7, 7/7, /7, /7] b) [/, 3/, /, /, /] Zadaie.. Rzucamy symetryczą czworościeą kostką (a ściakach liczby,, 3, 4). Rozpatrujemy łańcuch Markowa X określoy jako ciąg maksymalych wyików spośród rzutów,,3,...,. Sprawdź, że łańcuch te ma macierz P rówą,,,,,,, p,7, Wyzacz graf tego łańcucha. Czy łańcuch te ma stay okresowe? Zadaie.3. Gracze A i B rozpoczyają grę z kapitałem zł każdy. W każdej partii gracz A wygrywa z prawdopodobieństwem,6, gracz B wygrywa z prawdopodobieństwem,4. Po każdej partii przegrywający płaci wygrywającemu zł. a) jakie jest prawdopodobieństwo, że gra zakończy się po partiach? b) jakie jest prawdopodobieństwo, że po 4 partiach kapitał każdego gracza wyiesie zł? c) Ile wyosi wartość oczekiwaa kapitału gracza A po partiach? Przyjmijmy, że stay procesu to kapitał w posiadaiu gracza A czyli {,,, 3, 4}. Macierz P ma postać,4,6 p,4,6,4,6 Zadaie.4. Jeśli ciąg zmieych losowych X, X, X, X 3,...jest łańcuchem Markowa o macierzy P, to jaką macierz ma łańcuch Markowa który jest ciągiem zmieych losowych X, X, X 4,... Zadaie.. Day jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia P,,

6 Wyzacz macierze prawdopodobieństw przejść po dwóch i po trzech krokach. Sporządź graf łańcucha. Które stay łańcucha są istote? Które stay łańcucha są okresowe? Czy łańcuch jest ergodyczy? Oblicz prawdopodobieństwa graicze. Oblicz m (), D ( ). Zadaie.6. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy A ),,,,7 B),, D) Do jakiej klasy ależy ta macierz? Czy istieje k lim P?,,9,,8 C ) / 3 / 3 / 3 E ),,,7 Czy istieje Zadaie.7. k lim P? k Odwołując się do wartości własej i wektora własego uzasadij, dlaczego ŁM o skończoej liczbie staów mają, co ajmiej jede rozkład stacjoary. Zadaie.8. Podaj po jedym przykładzie ŁM mającego dwa stay, który jest: a) ergodyczy, b) okresowy, c) przywiedly. Zadaie.9. Sprawdź, że łańcuch Markowa o macierzy przejścia a ) P b ) jest okresowy. Wyzacz okres.,,7,,7 6

7 Zadaie.. Niech P będzie macierzą stochastyczą łańcucha Markowa o staach {,, }. Wiedząc, że rozwiązaiem rówaia P = jest =, = 3 wyzacz rozkład stacjoary. Odp. [/; 3/; 6/] Zadaie.. Rozkład początkowy łańcucha Markowa o staach {,, } określoego macierzą prawdopodobieństw przejść,,7,,,,,7 wyraża się wektorem [,, ]. a) Czy jest to łańcuch ergodyczy? Wyzacz rozkład graiczy. b) Jakie jest prawdopodobieństwo zalezieia się w staie po dwóch krokach? c) Wyzacz lim p ( ). Wyzacz lim P. Odp. a) [,;,3;,6] b),37 c) lim p ( ) =, Zadaie.. Rozkład początkowy łańcucha Markowa o staach {,, } określoego macierzą prawdopodobieństw przejść,,,,,,7, wyraża się wektorem [,:,;,]. Oblicz P X, X, X }. { Oblicz P X, X X }. { L.Kowalski..9 7