Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Transkrypt

1 Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 08/09

2 Wielowymiarowy rozkład Gaussa - przypomieie Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory

3 Wielowymiarowy rozkład Gaussa Gęstość prawdopodobieństwa wielowymiarowego X= ( X, X,..., X ) rozkładu ormalego: T ϕ( x)=k exp ( x a ) B ( x a ) ( det B k= ( π) ( ) ) gdzie a jest -wymiarowym wektorem wartości oczekiwaych E ( X ) =a Natomiast B jest dodatio określoą macierzą symetryczą o wymiarze x o astępującej defiicji: T C=E ( ( X a )( X a) )=B gdzie C jest macierzą kowariacji zmieych losowych X Dla dwóch zmieych losowych: X = ( X, X ) σ cov ( X, X ) C= B = cov ( X, X ) σ ( KADD 09, Wykład 7 ) 3 / 50

4 Wielowymiarowy rozkład Gaussa Jeżeli a momet uzamy, że zmiee losowe X i X są iezależe: /σ 0 B 0= 0 /σ ( ) Wstawiając B0 do ogólego wzoru otrzymamy łączą gęstość dwóch iezależych zmieych losowych jako iloczy dwóch rozkładów Gaussa w D, zajomy wzór: ( x a ) ( x a ) ϕ( x, x )=k exp exp, k = π σ σ σ σ ( ) ( ) Gdy zmiee losowe ie są iezależe (iezerowe kowariacje), musimy stosować wzór ogóly (poprzedi slajd)! KADD 09, Wykład 7 4 / 50

5 Elipsa kowariacji Przekroje poziome fukcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa mają kształt elipsy zwaej elipsą kowariacji: elipsa kowariacji zależy od wartości oczekiwaych oraz odchyleń stadardowych i kowariacji elipsa kowariacji wyzacza obszar stałego prawdopodobieństwa Dla rozkładu D rówaie elipsy (elipsy kowariacji) o środku w (a,a), której osie główe tworzą kąt α z osiami główymi x, x: ( x a) σ x a x a ( x a ) ρ σ + = ρ σ σ Rysuek po prawej: tg α= ρ σ σ pukty i mają takie samo prawd. prawd. puktu 3 jest większe iż 4 KADD 09, Wykład 7 σ σ 5 / 50

6 Elipsa kowariacji cov(x,x)=0.0 a = a = 0.0 σ = σ =.0 cov(x,x)=0.5 a = a = 0.0 σ = σ =.0 KADD 09, Wykład 7 cov(x,x)=0.75 a = a = 0.0 σ = σ =.0 cov(x,x)=-0.5 a = a = 0.0 σ = σ =.0 6 / 50

7 Elipsa kowariacji KADD 09, Wykład 7 Korelacja wydłuża i obraca elipsę Rozmiar elipsy zależy od wariacji Elipsa kowariacji zawiera pełą iformację o macierzy kowariacji (w przypadku D) W 3D elipsoida kowaraiacji W D hiperelipsoida kowariacji 7 / 50

8 Elipsa kowariacji Każda elipsa kowariacji określa obszar prawdopodobieństwa aalogiczie jak w przypadku D: P ( X a σ)=68,3 % Wartość prawdopodobieństwa wewątrz elipsy zależy od ilości wymiarów, w D (dla elipsy σ): P=39,3 % KADD 09, Wykład 7 Ie liie stałego prawdopodobieństwa (elipsy) wyzaczają ie wartości prawdopodobieństwa 8 / 50

9 Elipsa kowariacji wykorzystaie KADD 09, Wykład 7 Elipsy stałego prawdopodobieństwa mają ścisłe powiązaie z przedziałami ufości (o ich w przyszłości) Np. ajczęściej określa się elipsę zawierającą prawdopodobieństwo 95% z wyików daych Przykład korelacja wzrostu (stature) - wagi (weight) człowieka Aalizy tego typu (dwóch lub więcej zmieych jedocześie) azywamy aalizą (statystyką) wielowymiarową (multivariate aalysis, statistics) 9 / 50

10 Elipsa kowariacji wykorzystaie Zależość kąta zgięcia w kostce od kąta zgięcia w biodrze u młodszych i starszych osób KADD 09, Wykład 7 0 / 50

11 Elipsa kowariacji wykorzystaie KADD 09, Wykład 7 / 50

12 Cetrale twierdzeie graicze

13 Cetrale twierdzeie graicze Cetrale twierdzeie graicze (ag. cetral limit theorem) jedo z ajważiejszych twierdzeń rachuku prawdopodobieństwa: jeżeli zmiee losowe Xi są zmieymi iezależymi o jedakowych wartościach średich a i odchyleiach stadardowych b, to rozkład ormaly ma zmiea: ξ= X =lim X i i= E ( ξ)=a, σ (ξ)=b / rozkład ormaly będzie mieć też zmiea: X =lim X i i= E ( X )=a, σ ( X )=b Iymi słowy mając iezależych zmieych o jedakowym (dowolym!) rozkładzie, to ich suma dla dużych zbiega do rozkładu ormalego KADD 09, Wykład 7 3 / 50

14 Sploty

15 Suma zmieych losowych jako splot Wyobraźmy sobie taką sytuację: Mieszkasz w wiosce obok rzeki Mieszkańcy wioski wrzucają do rzeki odpady biologicze Kocetracja odpadów w fukcji odległości od miejsca zrzutu (Pollutio Spread Fuctio, PSF) jest zależa od ich rozkładu przez mikroorgaizmy w rzece Ilość wrzucaych odpadów zależy od populacji miejscowości a rzece Jaka jest peła fukcja opisująca poziom zaieczyszczeń w rzece? Jest to splot dwóch rozkładów fukcji populacji oraz fukcji kocetracji odpadów Iymi słowy, zastępujemy każdy pukt w fukcji populacji przez fukcję kocetracji przeskalowaą przez wagę fukcji populacji KADD 09, Wykład 7 5 / 50

16 Suma zmieych losowych jako splot Zamieńmy teraz sytuację a kości do gry Pierwszy rzut kostką to fukcja populacji, 6,7% populacji mieszka km w dół rzeki 6,7% popopulacji km, itd. Drugi rzut kostką ozacza fukcję PSF jak bardzo daa miejscowość zaieszyszcza rzekę, i zowu 6,7% zaieczyszczeń ląduje km dalej od miasta, 6.7% km dalej od miasta, itp. Jak policzyć pełą fukcję zaieczyszczeń? Podmieiamy fukcję populacji poprzez fukcję zaieczyszczeń, dla każdego miasta KADD 09, Wykład 7 6 / 50

17 Suma zmieych losowych jako splot Rozważmy zmieą losową: U = X +Y Zakładamy iezależość zmieych: f ( x, y )=f x ( x ) f y ( y ) Wtedy dystrybuata zmieej U: F (u)=p(u u)=p ( X +Y u)= = f x ( x ) f y ( y ) dx dy A = f x ( x) dx = f y ( y ) dy y u x f y ( y ) dy A u y u= x+ y f x ( x) dx x Pole powierzchi A wyzacza taki obszar prawdopodobieństwa, że wartości u zmieej loswej U=X+Y spełiają waruek: U u Zgodie z defiicją dystrybuaty: F (u)=p(u u)=p(( ; u >) KADD 09, Wykład 7 7 / 50

18 Suma zmieych losowych jako splot Z dystrybuaty wyzaczamy fukcję gęstości zmieej U: df (u) f (u)= = f x ( x) f y (u x) dx= f y ( y ) f x (u y )dy (f x f y )(u) du Fukcja f(u) tak zdefiiowaa jest splotem fukcji fx(x) i fy(y) Powyższy wzór jest prawdziwy rówież wówczas, jeżeli zmiee X i Y są zdefiiowae tylko w pewym ograiczoym obszarze (wtedy ustalamy odpowiedie węższe i skończoe graice całkowaia) Rozpatrzmy przypadek splotu dwóch rozkładów jedorodych: 0 x< f x ( x)=, 0, w przeciwym razie { KADD 09, Wykład 7 } 0 y < f y ( y)=, 0, w przeciwym razie { } 8 / 50

19 Suma zmieych losowych jako splot Splot dwóch rozkładów jedorodych: 0 x< f x ( x)=, 0, w przeciwym razie { 0 y < f y ( y)=, 0, w przeciwym razie { } v=u x f (u)= f x ( x ) f y (u x) dx= f y (u x ) dv = dx 0 0 u } u f (u)= f y ( v) dv= f y ( v)dv u u Zmiea u zmieia się od 0 do, zatem rozważmy przypadki: u u (a) 0 u < : f (u)= f y ( v)dv = dv=u 0 0 (b) u < : f (u)= f y (v) dv= dv= u u KADD 09, Wykład 7 u 9 / 50

20 Suma zmieych losowych jako splot Rozpatrzmy przypadek splotu dwóch rozkładów jedorodych: 0 x< f x ( x)=, 0, w przeciwym razie { 0 y < f y ( y)=, 0, w przeciwym razie { } f (u)= f x ( x) f y (u x) dx= f y (u x ) 0 0 v=u x dv = dx u } u f (u)= f y ( v) dv= f y ( v)dv u u Zmiea u zmieia się od 0 do, zatem rozważmy przypadki: u u (a) 0 u < : f (u)= f y ( v)dv = dv=u 0 0 (b) u < : f (u)= f y (v) dv= dv= u u u KADD 09, Wykład 7 0 / 50

21 Suma zmieych losowych jako splot Aalogiczie będzie z sumą trzech zmieych losowych: / u, 0 u< f (u)= / ( u +6 u 3 ), u< / ( u 3 ), u<3 { } Zgodie z CTG im więcej rozkładów w splocie, tym bardziej rozkład sumy przypomia rozkład Gaussa: u=x u=x+x u=x+x+x3 u=x+x+x3+x4 KADD 09, Wykład 7 / 50

22 Sploty z rozkładem ormalym Przykład: Mierzymy zmieą X opisaą gęstością prawdopodobieństwa fx(x). Pomiar obarczoy jest iepewością Y mającą rozkład ormaly. Wyik jest zatem sumą zmieych losowych: U = X +Y Gęstość prawdopodobieństwa zmieej U wyosi wtedy: (u x) f (u)= f x ( x) f y (u x) dx= f x ( x)exp dx π σ σ ( ) Problem: eksperymetalie otrzymujemy fukcję f(u), ale tak aprawdę iteresuje as fx(x). Jak ją wyzaczyć? w ogólym przypadku jest to iemożliwe moża tego dokoać dla pewej ograiczoej klasy fukcji f(u) ajczęściej posługujemy się tutaj metodami Mote Carlo KADD 09, Wykład 7 / 50

23 Sploty z rozkładem ormalym przykład Przykład: Splot rozkładu jedostajego z rozkładem ormalym (o średiej rówej 0) W tym przypadku możliwe jest rozwiązaie aalitycze. Korzystamy ze wzorów: f ( x)= ; x a, b b a g ( y)= e y / σ π σ h (u)= f ( x) g (u x) dx f ( x)=0 ; x ℝ a, b Wtedy, wprowadzając zmieą v=( x u)/ σ otrzymujemy: b (b u)/ σ h (u)= exp ( (u x) / σ ) dx= exp v dv b a π σ a b a π (a u) /σ Z uwzględieiem stablicowaej dystrybuaty rozkładu ormalego: h (u)= b u a u Φ0 σ Φ0 σ b a ( ( ) ( ( ) f(x) )) h(u) KADD 09, Wykład 7 3 / 50

24 Sploty z rozkładem ormalym przykład Przykład: Splot dwóch rozkładów ormalych dodawaie iepewości w kwadracie Splot dwóch rozkładów ormalych o wartościach średich rówych 0 i wariacjach σ x, σ y ma postać rozkładu ormalego: f (u)= exp ( u / σ ), σ =σ x +σ y π σ Widzimy, że wariacje się dodają (odchyleia std. dodają się w kwadracie) Jeśli średie rozkładów róże od 0 wartości oczekiwae rówież się dodają KADD 09, Wykład 7 4 / 50

25 Zastosowaie splotów Cyfrowe przetwarzaie obrazów Akustyka Muzyka elektroicza W fizyce gdzie się pojawia superpozycja W plaowaiu radioterapii (rozkłady dawki) Playboy 97 stadardowy obrazek w grafice komput. KADD 09, Wykład 7 5 / 50

26 Zastosowaie splotów Bardzo ważym zastosowaiem splotów są badaia farmakokietycze leków kocetracja leku w osoczu krwi w czasie jest splotem fukcji absorpcji leku oraz jego elimiacji 604_I_Vitro-I_Vivo_Correlatio_IVIVC_ad _Determiig_Drug_Cocetratios_i_Blood_ from_dissolutio_testig-a_simple_ad_practi cal_approach hpapp0/95/pharmacokietic-models jpg?cb= quivalecy_compariso.svg KADD 09, Wykład 7 6 / 50

27 Pobieraie próby

28 Pobieraie próby W przypadku pomiarów eksperymetalych ajczęściej ie zamy rozkładu prawdopodobieństwa opisującego day pomiar (p. parametru rozkładu Poissoa w rozpadach promieiotwórczych, czy parametrów rozkładu Gaussa opisującego jakąś populację) Te parametry chcemy wyzaczyć doświadczalie, ie jesteśmy jedak w staie zebrać ieskończeie wiele pomiarów W kosekwecji jesteśmy zmuszei przybliżać rozkład gęstości za pomocą rozkładu częstości (histogramu o skończoej liczbie wejść) Próbą (ag. sample) azywamy zespół doświadczeń wykoywaych w celu określeia kształtu (parametrów) poszukiwaego rozkładu: próba otrzymywaa jest poprzez wybór elemetów z (często ieskończoego) zbioru wszystkich możliwych doświadczeń (wszystkich możliwych pomiarów), zwaego populacją geeralą próbę o składikach azywamy próbą -wymiarową KADD 09, Wykład 7 %9#/media/File:Simple_radom_samplig.PNG 8 / 50

29 Pobieraie próby Cała sztuka polega a odpowiedim wybraiu próby z populacji, by aproksymacja rozkładu gęstości była jemu jak ajwieriejsza Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X opisyway jest fukcją f(x) iteresują as wartości zmieej X uzyskae przez poszczególe elemety próby Pobieramy l prób, każda o wymiarze, i zaobserwowaliśmy astępujące wartości zmieej X: () ( ). próba : X (), X,, X j -ta próba : X (j ), X (j ),, X (j) ( l) l -ta próba : X (l ), X (l),, X Oczywiście, to co pobraliśmy jest też zmieą losową! Elemety próby losowej (wartości zmieej X), są zmieą losową Każdą próbę możemy przedstawić jako wtektor (-wymiarową zmieą losową): X ( j)=( X ( j), X (j),, X (j)) Wektor ma rozkład gęstości prawdopodobieństwa: g ( x)=g ( x, x,, x ) KADD 09, Wykład 7 9 / 50

30 Pobieraie próby Aby moża było mówić o losowym pobieraiu próby: zmiee Xi muszą być iezależe, czyli: g ( x)=g ( x ) g ( x ) g ( x ) poszczególe rozkłady muszą być jedakowe i idetycze z rozkładem gęstości populacji: g ( x )=g ( x )= =g ( x )=f ( x) Należy podkreslić, że w rzeczywistym procesie pobieraia próby często bardzo trudo jest zapewić pełą losowość ie ma tutaj jedej recepty jak to zrobić (ależy starać się spełić powyższe waruki) przykładowo: prowadząc badaia kliicze leków powiiśmy zapewić w każdym ośrodku próbę losową i kotrolą pacjetów, która jest taka sama jak w iych ośrodkach, co bardzo często ie jest możliwe praktyczie KADD 09, Wykład 7 30 / 50

31 Pobieraie próby Teraz zdefiiujemy pojęcia, które charakteryzują próbę losową: fukcję elemetów próby losowej azywamy statystyką ajważiejszym przykładem statystyki jest średia z próby (ag. sample mea) zdefiiowaa jako średia z elemetów próby: X = ( X + X + + X ) KADD 09, Wykład 7 3 / 50

32 CTG - powtórzeie Przykład: wyobraźmy sobie, że szacujemy wzrost w populacji ośmioletich dzieci w Polsce. Rozkład populacji ma parametry: μ, σ wybieramy losowo 00 8-latków i liczymy średią wartość z próby losowej X asz kolega wykouje aalogicze doświadczeie dostaje iy wyik X zaczyamy więc pracować razem, zowu wybieramy 00 8-latków i dostajemy trzeci wyik X 3 ale przecież jest tylko jede prawdziwy średi wzrost 8-latek w całej populacji! poieważ średia z próby jest rówież zmieą losową, możemy wykoać wielokrotie próbę losową i dostać wiele średich otrzymujemy rozkład wartości średiej z próby jeśli mamy dużo prób losowych rozkład wartości średiej z prób dąży do rozkładu ormalego (CTG): N (μ, σ / ) KADD 09, Wykład 7 3 / 50

33 Pobieraie próby - przykład Przykład wzrost Polaków Niewątpliwie, wzrost Polaków (zmiea losowa X) podlega pewemu rozkładowi f(x) z dystrybuatą F(x) Pomiar wzrostu pojedyczego Polaka daje wartość x Losowy wybór tego jedego polaka to zmiea losowa X Jeżeli stworzymy -wymiarową próbę losową, tz. wybierzemy Polaków, to rozkład prawdopodobieństwa wyboru dla każdej z osób (od g(x) do g(x)) jest taki sam jak dla całej populacji i rówy f(x) Zadaiem estymacji jest zalezieie takiej statystyki (a więc fukcji określoej a wektorze X=(X,,X)), aby ajlepiej przybliżała oa rzeczywistą wartość parametru opisującego rzeczywisty rozkład zmieej losowej X KADD 09, Wykład 7 33 / 50

34 Estymatory Typowy problem aalizy daych: zamy (p. z prawa fizyczego) ogólą postać gęstości prawdopodobieństwa w daej populacji, ależy jedyie wyzaczyć parametry tego rozkładu. Przykład: mierzymy rozpad radioaktywy w czasie: N (t )= N 0 ( exp ( λ t )) parametr λ wyzaczamy a podstawie próby mierząc skończoą ilość razy ilość rozpadów w czasie wyik igdy ie będzie dokłady, bo próba jest skończoa, mamy problem estymacji parametrów poszukiwaa wielkość uzyskiwaa jest fukcją elemetów próby (statystyką) i jest azywaa estymatorem: S=S ( X, X,, X ) estymator jest ieobciążoy, jeżeli iezależie od liczebości próby jego wartość oczekiwaa jest rówa wartości estymowaego parametru: E ( S ( X, X,, X ) ) =λ, dla każdego estymator jest zgody, jeżeli jego wariacja zika: lim σ ( S ( X, X,, X ) )=0 KADD 09, Wykład 7 34 / 50

35 Estymatory wartość oczekiwaa Wartość średia ze wszystkich elemetów próby jest zmieą losową (jest fukcją zmieych losowych). Jej wartość oczekiwaa (tej średiej): E ( X )= E ( X )+ E ( X )+ + E ( X ) ) =E ( X )= x^, dla każdego ( Wiosek: wartość średia (arytmetycza) z próby to estymator ieobciążoy wartości oczekiwaej zmieej X w populacji Możemy obliczyć wariację wartości średiej: σ ( X )=E { X E ( X ) } = E = )} ^ ^ ^ E [( X x )+( X x )+ +( X x )] { } Z uwagi a iezależość zmieych kowariacje między zmieymi Xi zikają, czyli ostateczie: σ ( X )= σ ( X ) {( x + x + + x x^ lim σ ( X )=0 Wiosek: wartość średia (arytmetycza) z próby jest rówież estymatorem zgodym wartości oczekiwaej KADD 09, Wykład 7 35 / 50

36 Estymatory - wariacja Jak pamiętamy z defiicji wariacji, ie jest oa zmieą losową Możemy wariację przybliżyć przez średią arytmetyczą odchyleń kwadratowych od wartości średiej: S ' ( X )= ( X X ) +( X X ) + +( X X ) ) ( Wartość oczekiwaa tej wielkości: E ( S ' ( X ) )= E = E { { i= } { ( X i X ) = E i= ( X i ^x + x^ X ) i= } ( X i ^x ) + ( ^x X ) + i= ( X i ^x )( x^ X ) i= } = { E ( ( X i ^x ) ) E (( X ^x ) ) }= σ ( X ) σ ( X ) i= = σ (X) { ( )} Widać więc, że S' jest estymatorem obciążoym dla wariacji populacji mającym wartość oczekiwaą miejszą iż σ(x) KADD 09, Wykład 7 36 / 50

37 Estymatory - wariacja Możemy jedak iezaczie zmodyfikować defiicję wariacji z próby i wprowadzić estymator: S ( X )= ( X X ) +( X X ) + +( X X ) ) ( Otrzymyjemy estymator ieobciążoy wariacji populacji Jeśli wykorzystamy zay z CTG wzór: σ ( X )= σ ( X ) To otrzymamy estymator wariacji wartości średiej z próby: S ( X )= S ( X )= ( X i X ) ( ) i= Zaś odpowiadające odchyleie stadardowe (iepewość średiej z próby): Δ X = S ( X )=S ( X )= S( X) KADD 09, Wykład 7 S= S = ( X i X^ ) i = 37 / 50

38 Estymatory - wariacja Estymator wariacji wartości średiej z próby: S ( X )= S ( X )= ( X i X ) ( ) i= Zaś odpowiadające odchyleie stadardowe (estymator iepewość średiej z próby): Δ X = S ( X )=S ( X )= Jaka jest zaś iepewość wariacji z próby (bez wyprowadzeia)? czyli: estymator wariacji estymatora wariacji wartości średiej z próby? I tak dalej możemy tworzyć koleje poziomy estymatorów... Δ S =S S( X) KADD 09, Wykład 7 38 / 50

39 Estymatory - wariacja Podsumowując zatem estymatory ieobciążoe: wartości oczekiwaej populacji średia z próby (wyik doświadczeia): X = ( X + X + + X ) wariacji populacji wariacja z próby (aproksymowaa): S ( X )= ( X X ) +( X X ) + +( X X ) ) ( wariacji wartości średiej z próby (patrz iepewość typu A): S ( X )= S ( X )= ( X i X ) ( ) i= wariacji (aproksymowaej) wariacji z próby 4 Var ( S ) =S ( ) dalej możemy wyzaczać p. wariację wariacji aproksymowaego estymatora wariacji próby i tak dalej (w ieskończoość)... KADD 09, Wykład 7 39 / 50

40 Graficze przedstawieie próby

41 Graficze przedstawieie próby Rozważmy próbę: x, x,, x, która zależy od jedej zmieej losowej X Możemy tę próbę przedstawić jako wykres D pukty a osi x jedowymiarowy wykres puktowy wada: co w przypadku, gdy mamy dwa takie same pomiary? Z reguły stosujemy zatem wykres D, zway histogramem: dzielimy przedział zmieości x (lub jego część) a r przedziałów o jedakowej szerokości Δx: ξ, ξ,..., ξr środki przedziałów zajdują się w puktach: x, x,..., x r a osi y odkładamy liczbę elemetów próby przypadającą a day przedział:,,..., r tak otrzymay wykres azywamy wykresem częstości lub histogramem KADD 09, Wykład 7 4 / 50

42 Graficze przedstawieie próby iep. = k wykres schodkowy KADD 09, Wykład 7 4 / 50

43 Histogram szerokość przedziału KADD 09, Wykład 7 Im więcej przedziałów, tym iformacja o próbie jest dokładiejsza Większa ilość przedziałów powoduje jedak większe wahaia statystycze od puktu do puku Pole pod krzywą schodkową jest proporcjoale do wielkości próby (jeśli je przeskalujemy przez /, otrzymamy częstość) 43 / 50

44 Graficze przedstawieie próby - przykład Badamy iezay rozkład prawdopodobieństwa Symulujemy taką sytuację poprzez geerację 000 prób z rozkładu Gaussa o wartości średiej 0 i wariacji. Każda próba ma liczość (liczbę składików) r. Badamy zachowaie estymatorów charakterystyk rozkładu i estymatorów ich iepewości w fukcji liczości próby r X = ( X + X + + X ) estymator wartości oczekiwaej populacji σ ( X )=Δ X = (S ( X ))=S ( X )= iepewość wart. średiej - estymator odch. st.wartości średiej z próby (estymatora wart. oczekiwaej) średia z próby S ( X )= S ( X )= ( X X ) estymator odch. std. populacji S ( X )= i S( X ) S( X ) σ ( S ( X ))=Δ S ( X )= ( ) iepewość estymatora odch. std. populacji estymator odch. std. estymatora odch. std. populacji ( X X ) +( X X ) + +( X X ) } σ ( S ( X ))=Δ S ( X )=S ( X ) { estymator wariacji populacji KADD 09, Wykład 7 iepewość estymatora wariacji populacji estymator odch. std. estymatora wariacji populacji 44 / 50

45 Estymatory - histogramy r = 0 KADD 09, Wykład 7 45 / 50

46 Estymatory - histogramy r = 0 r = 50 KADD 09, Wykład 7 46 / 50

47 Wielowymiarowy rozkład Gaussa

48 Estymatory - histogramy r = 0 r = 50 KADD 09, Wykład 7 r = / 50

49 Estymatory - histogramy r = 0 r = 50 KADD 09, Wykład 7 r = 00 r = / 50

50 Estymatory - histogramy r = 0 r = 50 r = 00 r = 00 lim σ ( S ( X, X,, X ) )=0 KADD 09, Wykład 7 50 / 50

51 KONIEC