Podprzestrzenie macierzowe

Transkrypt

1

2 Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń R(A ) przestrzei geerowaą przez zakres fukcji : m f ( y ) = A y M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-2 R R ( A ) { A y y } = ξ Wszystkie obrazy odwzorowaia ξ są liiowymi kombiacjami kolum 2 Ax ( A A... A ) = 2 = ξ A macierzy A, tz, jeśli x = ( ξ ) j=, ξ2,..., ξ ξ A więc przestrzeń R(A) to przestrzeń apięta przez kolumy macierzy A (przestrzeń kolumowa), tz. Przykład: Podaj iterpretację geometryczą przestrzei R(A) oraz R(A ) dla macierzy ( ) A= b ( A ) R x, b = Ax Podobie R(A ) to przestrzeń apięta przez kolumy macierzy A czyli wiersze macierzy A (przestrzeń wierszowa), tz. ( ) R R Ax a R A y, a = y A ( A) spa( A ) ( ), A, A R A spa (, ) ( ) ( ) ( A spa A, A R A ) spa (,, ) j j ( ) liia w ( ) liia w = 2 3 = 2 = 2 =

3 Podprzestrzeie macierzowe wierdzeie: Dla dwóch macierzy A i B o tych samych wymiarach zachodzi: ( ) ( ) wiersz a) R A = R B A ~ B Dowód: wiersz a) A ~ B istieje P taka że PA = B b) R ( A) = R ( B) A ~ B - ( ) - ( ) A = = E A B = = E B spa(a) = spa(b) poieważ iezerowe wiersze w macierzach E A i E B są takie same. M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-3 z y P a R A y : a = y A = y P PA a = z B a R B ( ) ( ) spa ( ) spa ( ) 2 m 2 m kol wiersz R A R = B A, A,..., A = B, B,..., B A ~ B b) dowód przebiega aalogiczie jak w (a) zastępując odpowiedio A, B przez A, B. Przykład: Czy astępujące zbiory wektorów apiają tą samą podprzestrzeń : {( 2 2 3) ( 2 4 3) ( 3 6 4) } {( ) ( ) } A =,,,,,,,,,,, B = 0, 0,,,, 2, 3, 4 Kostruujemy macierze A i B, których wierszami są wektory ze zbiorów A i B:

4 D: Podprzestrzeie macierzowe wierdzeie: Niech A będzie macierzą o wymiarach mâ, a U dowolą macierzą w postaci schodkowej otrzymaą z macierzy A: (a) iezerowe wiersze macierzy U apiają przestrzeń wierszową R(A ), (b) kolumy podstawowe w macierzy A apiają przestrzeń kolumową R(A). wiersz ( ) ( ) a) A ~ U R A = R U b) Niech b, b 2,, b r oraz, 2,, t ozaczają odpowiedio podstawowe i iepodstawowe kolumy macierzy A. Macierz Q iech będzie macierzą permutacji przestawiającą kolumy podstawowe a lewą stroę, tak że AQ= ( B m r N m t ) Kolumy iepodstawowe są liiowymi kombiacjami kolum podstawowych i mogą być wyzerowae za pomocą operacji elemetarych a kolumach macierzy AQ : ( ) ( ) ( ) ( ) AQ Q = B N Q = B 0 Q Q Q : AQ = B 0 A ~ B 0 2 m r m t 2 2 Przykład: Zajdź zbiory apiające przestrzeie R(A) i R(A ), jeśli: A = ( A ) = spa, R 2 ( ) 2 0 R A = spa, M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-4 kol

5 Podprzestrzeie macierzowe = = { x x 0} Defiicja: Jądrem odwzorowaia f : m azywamy zbiór ( f ) f ( ) wierdzeie: ( f ) jest podprzestrzeią. A : x, x2 f f x + x2 = f x + f x2 = 0 N x + x2 N f M : x N f i α f α x = α f x = 0 αx N f D: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Defiicja: Przestrzeią zerową (jądrem) macierzy A mâ azywamy zbiór N = = ( A) { x Ax 0} Defiicja: Lewostroą przestrzeią zerową (lewostroym jądrem) macierzy A mâ azywamy zbiór ( ) m N A = { y m A y = 0} Przykład: Zajdź zbiór apiający przestrzeń N(A) gdzie A = Poszukiway zbiór to ogóle rozwiązaie rówaia Ax = 0 R 2 R x 2 x2 3 x = E A x = x = x + x 0 x h + x x x A = spa h,h2 2 A więc ( ) ( ) M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-5 h

6 Podprzestrzeie macierzowe Wiosek: Aby zaleźć zbiór apiający przestrzeń N(A) gdzie rz(a mâ ) = r ależy zredukować A do postaci schodkowej U, a astępie rozwiązać rówaie Ux = 0 wyrażając zmiee podstawowe przez zmiee swobode i zajdując w te sposób ogóle rozwiązaie rówaia Ax = 0 w postaci x = x f h + x f h x f h 2 2 r r Zbiór wektorów = { h,h,...,h 2 r } apia przestrzeń i jest iezależy od postaci U. wierdzeie: Jeśli macierz A ma wymiar mâ to zachodzi: ) ( A) { } rz ( A) a N = 0 = b) N ( A ) = { 0} rz ( A) = m Dowód: (a) Wiemy, że rozwiązaie zerowe x = 0 jest jedyym rozwiązaiem rówaia Ax = 0 wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy A jest rówy liczbie zmieych. (b) Podobie, że rozwiązaie zerowe y = 0 jest jedyym rozwiązaiem rówaia A y = 0 wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy rz(a ) = m. Ale zachodzi rz(a ) = rz(a) wierdzeie: Dwie macierze A i B o tych samych wymiarach mają jedakowe przestrzeie zerowe gdy: wiersz a) N ( A) = N ( B) A ~ B ( ) ( ) b) N A = N B A ~ B M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-6 kol

7 Podprzestrzeie macierzowe wierdzeie: Jeśli rz(a mâ ) = r oraz PA = U, gdzie P jest macierzą ieosobliwą, a U jest macierzą w postaci schodkowej, wtedy ostatie m-r wierszy macierzy P apia lewostroą przestrzeń zerową macierzy A. z. jeśli P = P P gdzie P 2 ma wymiar (m-r)âm 2 wtedy N ( A ) = R ( P2 ) Dowód: (trudy) Przykład: Zajdź zbiór apiający przestrzeń N(A ) gdzie A = Szukamy macierzy P, takiej, że PA = E A : / 3 2 / / 3 / 3 0 / / ( ) Dygresja: Jeśli G,, G k są macierzami elemetarymi opowiadającymi kolejym operacjom [ A I] [ B P] [ ] = [ ] = [ ] wierszowym w redukcji wtedy G...G G A I G...G G A G...G G B P k 2 k 2 k 2 { } A więc: ( A ) = spa ( / 3 5 / 3 ) / 3 2 / 3 0 P = 2 / 3 / 3 0 / / M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-7

8 Kombiacja liiowa wektorów Defiicja: Wektor z przestrzei wektorowej V azywamy liiową kombiacją u,u,...,u k V wektorów jeśli daje się przedstawić w postaci: 2 v v = u + u u c c2 2 c k k Przykład: W zbiorze S wektorów z przestrzei M 2 2 wektor jest kombiacją liiową pozostałych wektorów S v 0 2, v 3 = = =, v = 2 0, v = Szukamy takich stałych c i aby zachodziło v = c v + c v + c v v 4 M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-8 v c2 2c3 = c + 3c2 = c + c + c = c2 + 3c3 = = + 2 =

9 Liiowa iezależość wektorów v, v,..., v k { } S= 2 Defiicja: Zbiór wektorów z przestrzei wektorowej V azywamy liiowo iezależymi jeśli rówaie wektorowe: ma jedyie rozwiązaie trywiale c v + c v c k v k = 0 c= 0, c2= 0,..., c k = 0. Jeśli istieją rozwiązaia ietrywiale, to wektory ze zbioru S są liiowo zależe. wierdzeie: Dowoly układ wektorów z przestrzei lub jest liiowo iezależy wtedy i tylko wtedy gdy macierz której kolumami są te wektory, jest ieosobliwa. e, e 2,..., e A= e e 2...e [ ] Wiosek: Aby sprawdzić czy wektory są liiowo iezależe ależy zbudować z ich macierz i sprawdzić rząd tej macierzy, który określa liczbę liiowo iezależych wektorów w daym zbiorze. wierdzeie: Jeżeli pewie podukład m < wektorów z układu wektorów jest liiowo zależy, to cały układ jest też liiowo zależy. v, v 2,..., v M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-9

10 Baza w przestrzei wektorowej V e, e 2,..., e v V { } Defiicja: Zbiór liiowo iezależych wektorów ależących do przestrzei wektorowej V azywamy bazą, jeśli dowoly wektor może być zapisay jako: v = i= M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-0 v e Liczbę azywamy wymiarem przestrzei V i ozaczamy dimv. wierdzeie: Rozkład wektora a składowe w ustaloej bazie jest jedozaczy. x x = i= = i= x e i i i y e i e i x { } i i e, e 2,..., e { } Dowód: Niech wektor ma w bazie dwa zestawy współrzędych x i oraz y i : ( xi - yi ) ei = i= 0 xi = y i dla i= 2,,..., Uwaga: dowoly zbiór liiowo iezależych wektorów tworzy bazę w wymiarowej przestrzei wektorowej. W owej bazie zmieiają się współrzęde wektorów: x = i i i= wierdzeie: W wymiarowej przestrzei wektorowej, każdy układ s wektorów wymiarowych dla s > jest układem wektorów liiowo zależych. x e

11 Baza w przestrzei wektorowej V S = { v, v 2,..., v} { u,u,...,u } Dowód: Niech zbiór wektorów będzie bazą w przestrzei V. Chcemy pokazać, że zbiór wektorów z przestrzei V gdzie m > jest liiowo zależy, tz. istieją stałe k, k 2,, k m (ie wszystkie rówe zero) takie, że: k u + k u k u = 0 m m Poieważ S jest bazą, więc: u = c v+ c2 v c v u2 = c2 v+ c22 v c2 v d v + d v d v = 0 u = c v+ c v c v gdzie di= cik+ ci2k cimkm m m 2m 2 m v i S = 2 Poieważ tworzą zbiór wektorów liiowo iezależych więc wszystkie d i = 0, czyli ck+ c2k cmkm = 0 c2k+ c22k c2mkm = 0 c k+ c k c k = 0 Poieważ w powyższym układzie jedorodym mamy miej rówań iż zmieych k i, więc musi posiadać o ietrywiale rozwiązaie, a więc zbiór S jest liiowo zależy. M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9- m 2 2 m m

12 Zbiór wektorów tworzących bazę Przykład: Sprawdzić czy astępujące wektory z przestrzei 3 tworzą bazę: e = 2 e = e = 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 3 Sprawdzamy czy te wektory są liiowo iezależe: + + = 3 c c2 c3 0 c 0 c e = + + = = i i 0 2c c2 3c c2 0 i= + = c c2 2c3 0 2 c3 0 Poieważ det A =, więc układ ma tylko rozwiązaie zerowe, a więc wektory są liiowo iezależe. e, e, e M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-2 A c = c = c =0 2 3 Aby przekoać się, że wektory tworzą bazę w 3 ależy pokazać, że dowoly v =,, ( a b c) 2 3 wektor moża jedozaczie przedstawić jako ich kombiację liiową: Math Player a 3 v + v2 + v3 = a v a 5a 3b + 2c - b = vie i 2v + v2 + 3v3 = b v 2 = A b = a + b c c i= v v2 + 2v3 = c v 3 c 3a + 2b c Uwaga: a, b, c to współrzęde wektora w bazie aturalej: {(,0,0), (0,,0), (0,0,) } v, v 2, v 3 to współrzęde tego samego wektora w bazie e, e 2, e3

13 Uzupełić!!!!!! wierdzeie: Niech A będzie macierzą o wymiarze m. Przestrzeie kolumowa oraz wierszowa macierzy A mają te sam wymiar i z defiicji rówy rzędowi macierzy rz(a)=r. Dowód: Algebra str 237. Poieważ S jest bazą, więc: u = c v+ c2 v c v u2 = c2 v+ c22 v c2 v u = c v+ c v c v m m 2m 2 m v i d v + d v d v = 0 gdzie d = c k+ c k c k i i i2 2 im m Poieważ tworzą zbiór wektorów liiowo iezależych więc wszystkie d i = 0, czyli ck+ c2k cmkm = 0 c2k+ c22k c2mkm = 0 c k+ c k c k = m m Poieważ w powyższym układzie jedorodym mamy miej rówań iż zmieych k i, więc musi posiadać o ietrywiale rozwiązaie, a więc zbiór S jest liiowo zależy. M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-3

14 Macierz przejścia pomiędzy bazami w { } Niech będą dae dwie dowole bazy w : oraz, i =,,. Szukamy macierzy przejścia pomiędzy tymi bazami, takiej że (k umeruje elemety wektorów e i i e i ): M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-4 e i { e i } e = c e + c e c e e = c e + c e c e ei = c jie j j= = e = c e + c e c e k k 2 k2 k k2 2 k 22 k2 2 k k k 2 k2 k W zapisie macierzowym mamy (E i E to macierze, których kolumami są wektory baz): e e 2 e e e2 e c c2 c e e e e e e c c c = C = E E e e e e e e c c c E E C { e i } { e i } - C = E E Macierz trasformacji pomiędzy bazami oraz daa jest za pomocą macierzy:

15 rasformacje współrzędych wektora { } Niech będą dae dwie dowole bazy w : oraz, i=,,. Szukamy macierzy przejścia pomiędzy współrzędymi dowolego wektora w tych bazach: x = x e = x c e = x c e = x e e i { e i } i i i ji j i ji j j j i= i= j= i, j= j= W zapisie macierzowym mamy: - x = Cx x = C x A więc macierz trasformacji współrzędych O daa jest przez: - ( ) O C = E E = E E x = x c j i ji i= wierdzeie: Macierz trasformacji współrzędych pomiędzy bazami ortoormalymi, jest ortogoala. E = E O E E E E = E E E E O E = E ( - ) - ( - ) ( - ) = = = = = - Uwaga: Macierz której kolumy (lub wiersze) są wzajemie ortogoalymi wektorami o jedostkowej długości, jest ortogoala. Math Player Uwaga: [ ] [ ] G k...g2g E E G k...g2g E G k...g2g E I E = = E M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-5