Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne"

Transkrypt

1 , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne

2 Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

3 Niech X, X n (n = 1, 2,...) będą zmiennymi losowymi określonymi na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P). Omówimy rodzaje zbieżności ciągu (X n ) do zmiennej losowej X., centralne twierdzenia graniczne

4 Niech X, X n (n = 1, 2,...) będą zmiennymi losowymi określonymi na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P). Omówimy rodzaje zbieżności ciągu (X n ) do zmiennej losowej X. Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub stochastycznie) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy lim P ({ω Ω : X n(ω) X (ω) ε}) = 0 n dla każdego ε > 0. Zbieżność stochastyczną oznaczamy przez X n p X., centralne twierdzenia graniczne

5 Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (lub prawie na pewno) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy ({ }) P ω Ω : lim X n(ω) = X (ω) = 1. n Piszemy wówczas X n X., centralne twierdzenia graniczne

6 Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (lub prawie na pewno) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy ({ }) P ω Ω : lim X n(ω) = X (ω) = 1. n Piszemy wówczas X n X. Twierdzenie Jeśli ciąg (X n ) jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 do zmiennej losowej X, to ciąg (X n ) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X., centralne twierdzenia graniczne

7 Twierdzenie odwrotne do powyższego twierdzenia jest fałszywe, świadczy o tym następujący przykład. Przykład Niech (Ω, M, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, gdzie Ω = (0, 1, M jest rodziną zbiorów borelowskich na przedziale (0, 1, P jest prawdopodobieństwem określonym wzorem P(A) = A. Określamy ciąg (A n ) podzbiorów zbioru Ω taki, że ( ( ( ( A 1 = 0, 1 2, A 2 = 1 2, 1, A 3 = 0, 1 4, A 4 = 1 4 4, 2, ( ( A 5 = 2 4 4, 3, A 6 = 3 4, 1, ( ( A 7 = 0, 1 8, A 8 = 1 8 8, 2,... itd., centralne twierdzenia graniczne

8 Przykład (cd) Dla dowolnej liczby naturalnej n przyjmujemy X n (ω) = { 1 dla ω An, 0 dla ω / A n. Łatwo można sprawdzić, że dla dowolnej liczby ε > 0 spełniony jest warunek lim P ({ω (0, 1 : X n(ω) ε}) = 0. n, centralne twierdzenia graniczne

9 Przykład (cd) Istotnie, jeśli ε > 1, to dla każdego n N. Dla 0 < ε 1 mamy natomiast P ({ω (0, 1 : X n (ω) ε}) = 0 P ({ω (0, 1 : X n (ω) ε}) = A n 0, gdy n. Oznacza to, że ciąg (X n ) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X 0 (tzn. do zmiennej losowej X o rozkładzie jednopunktowym skoncentrowanym w punkcie 0). Z drugiej strony, dla dowolnego ustalonego ω 0 (0, 1 ciąg liczbowy (X n (ω 0 )) zawiera dwa podciągi, jeden o wyrazach równych 0, drugi o wyrazach równych 1. Wynika stąd, że ciąg funkcyjny (X n ) nie jest zbieżny punktowo do żadnej granicy., centralne twierdzenia graniczne

10 Załóżmy, że zmienne X n (n = 1, 2,...), X mają skończone momenty drugiego rzędu., centralne twierdzenia graniczne

11 Załóżmy, że zmienne X n (n = 1, 2,...), X mają skończone momenty drugiego rzędu. Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem (lub średnio kwadratowo) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy lim n E(X n X ) 2 = 0. Piszemy wówczas l.i.m. n X n = X., centralne twierdzenia graniczne

12 Załóżmy, że zmienne X n (n = 1, 2,...), X mają skończone momenty drugiego rzędu. Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem (lub średnio kwadratowo) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy lim n E(X n X ) 2 = 0. Piszemy wówczas l.i.m. n X n = X. Twierdzenie Jeśli ciąg (X n ) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do zmiennej losowej X, to ciąg (X n ) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X., centralne twierdzenia graniczne

13 Obok zbieżności ciągów zmiennych losowych możemy również rozpatrywać zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa tych zmiennych. Ponieważ rozkład prawdopodobieństwa jest jednoznacznie wyznaczony przez dystrybuantę, więc pojęcie zbieżności rozkładów sformułujemy przy pomocy pojęcia zbieżności ciągów dystrybuant., centralne twierdzenia graniczne

14 Obok zbieżności ciągów zmiennych losowych możemy również rozpatrywać zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa tych zmiennych. Ponieważ rozkład prawdopodobieństwa jest jednoznacznie wyznaczony przez dystrybuantę, więc pojęcie zbieżności rozkładów sformułujemy przy pomocy pojęcia zbieżności ciągów dystrybuant. Definicja Mówimy, że ciąg dystrybuant (F n ) jest zbieżny podstawowo do dystrybuanty F wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie x R ciągłości dystrybuanty F spełniony jest warunek lim n F n(x) = F (x). O ciągu (P n ) rozkładów o dystrybuantach F n mówimy wtedy, że jest słabo zbieżny do rozkładu P o dystrybuancie F., centralne twierdzenia graniczne

15 Twierdzenie Jeśli ciąg (X n ) zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X, to ciąg (F n ) dystrybuant tych zmiennych jest zbieżny podstawowo do dystrybuanty zmiennej losowej X., centralne twierdzenia graniczne

16 Twierdzenie Jeśli ciąg (X n ) zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X, to ciąg (F n ) dystrybuant tych zmiennych jest zbieżny podstawowo do dystrybuanty zmiennej losowej X. Twierdzenie odwrotne do powyższego twierdzenia jest prawdziwe tylko w szczególnym przypadku, gdy zmienna X ma rozkład jednopunktowy., centralne twierdzenia graniczne

17 , centralne twierdzenia graniczne

18 Niech (X n ) będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P) o skończonych wartościach oczekiwanych. Przyjmijmy następujące oznaczenia: m k = EX k dla k = 1, 2,..., S n = X 1 + X X n, M n = m 1 + m m n dla n = 1, 2,..., centralne twierdzenia graniczne

19 Niech (X n ) będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P) o skończonych wartościach oczekiwanych. Przyjmijmy następujące oznaczenia: m k = EX k dla k = 1, 2,..., S n = X 1 + X X n, M n = m 1 + m m n dla n = 1, 2,... Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia słabe prawo wielkich liczb wtedy i tylko wtedy, gdy 1 n (S n M n ) p 0., centralne twierdzenia graniczne

20 Niech (X n ) będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P) o skończonych wartościach oczekiwanych. Przyjmijmy następujące oznaczenia: m k = EX k dla k = 1, 2,..., S n = X 1 + X X n, M n = m 1 + m m n dla n = 1, 2,... Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia słabe prawo wielkich liczb wtedy i tylko wtedy, gdy 1 n (S n M n ) p 0. Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb wtedy i tylko wtedy, gdy 1 n (S n M n ) 0., centralne twierdzenia graniczne

21 Podamy warunki dostateczne na to, aby ciąg (X n ) spełniał prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

22 Podamy warunki dostateczne na to, aby ciąg (X n ) spełniał prawo wielkich liczb. Definicja Ciąg (X n ) nazywamy ciągiem niezależnych zmiennych losowych wtedy i tylko, gdy dla każdego k N zmienne X 1, X 2,..., X k są niezależne., centralne twierdzenia graniczne

23 Podamy warunki dostateczne na to, aby ciąg (X n ) spełniał prawo wielkich liczb. Definicja Ciąg (X n ) nazywamy ciągiem niezależnych zmiennych losowych wtedy i tylko, gdy dla każdego k N zmienne X 1, X 2,..., X k są niezależne. Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia warunek Markowa wtedy i tylko wtedy, gdy σ1 lim 2+σ σ2 n = 0, n n 2 gdzie σ 2 n = D 2 X n dla n N., centralne twierdzenia graniczne

24 Twierdzenie (prawo wielkich liczb Markowa) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych mających skończone wariancje σ 2 n = D 2 X n. Jeśli ciąg (X n ) spełnia warunek Markowa, to ciąg (X n ) spełnia słabe prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

25 Twierdzenie (prawo wielkich liczb Markowa) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych mających skończone wariancje σ 2 n = D 2 X n. Jeśli ciąg (X n ) spełnia warunek Markowa, to ciąg (X n ) spełnia słabe prawo wielkich liczb. Przykład Wykażemy, że ciąg (X n ) niezależnych zmiennych losowych o rozkładach N(0, 3 n) spełnia słabe prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

26 Przykład (cd) Zadanie sprowadza się do wykazania, że ciąg (X n ) zmiennych losowych spełnia warunek Markowa. Ponieważ zmienna X k ma rozkład normalny N(0, 3 k), więc σ 2 k = 3 k 2. Stąd otrzymujemy oszacowanie lim n 0 < σ2 1 +σ σ2 n n 2 = n 2 n 2 n 3 n 2 n 2 = 1 3 n. Z twierdzenia o trzech ciągach wynika zatem, że σ1 2+σ σ2 n = 0. n 2, centralne twierdzenia graniczne

27 Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny. n=1 σ 2 n n 2, centralne twierdzenia graniczne

28 Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny. n=1 σ 2 n n 2 Twierdzenie (pierwsze prawo wielkich liczb Kołmogorowa) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych mających skończone wariancje σ 2 n = D 2 X n. Jeśli ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa, to ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

29 Przykład Wykażemy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) z przykładu 16 spełnia mocne prawo wielkich liczb. Rozwiązanie. Ponieważ σ2 n = 1 n 2 3, więc szereg σn 2 jest zbieżny, n 4 n 2 n=1 a zatem ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa. Oznacza to, że ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

30 Przykład Wykażemy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) z przykładu 16 spełnia mocne prawo wielkich liczb. Rozwiązanie. Ponieważ σ2 n = 1 n 2 3, więc szereg σn 2 jest zbieżny, n 4 n 2 n=1 a zatem ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa. Oznacza to, że ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb. Wynika stąd oczywiście, że ciąg (X n ) spełnia również słabe prawo wielkich liczb. Tak więc, aby wykazać, że ciąg niezależnych zmiennych losowych spełnia słabe prawo wielkich liczb można korzystać albo z twierdzenia Markowa, albo z twierdzenia Kołmogorowa., centralne twierdzenia graniczne

31 Załóżmy teraz, że niezależne zmienne losowe X 1,X 2,... mają identyczny rozkład z wartością oczekiwaną m = m k dla k = 1, 2,... Zbieżność ciągu ( 1 n (S n M n )) do zmiennej losowej X 0 jest równoważna warunkowi, że ciąg średnich 1 n S n dąży do zmiennej losowej przyjmującej wartość m z prawdopodobieństwem 1. W tym przypadku zachodzi następujące twierdzenie., centralne twierdzenia graniczne

32 Załóżmy teraz, że niezależne zmienne losowe X 1,X 2,... mają identyczny rozkład z wartością oczekiwaną m = m k dla k = 1, 2,... Zbieżność ciągu ( 1 n (S n M n )) do zmiennej losowej X 0 jest równoważna warunkowi, że ciąg średnich 1 n S n dąży do zmiennej losowej przyjmującej wartość m z prawdopodobieństwem 1. W tym przypadku zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie (drugie prawo wielkich liczb Kołmogorowa) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach. Ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wartość oczekiwana m = EX n, gdzie n = 1, 2,...., centralne twierdzenia graniczne

33 , centralne twierdzenia graniczne

34 Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P) mających skończoną wartość oczekiwaną i skończoną dodatnią wariancję. Przyjmijmy, tak jak w poprzednim paragrafie: m k = EX k dla k = 1, 2,..., S n = X 1 + X X n, M n = m 1 + m m n, oraz σ k 2 = D2 X k dla k = 1, 2,..., Bn 2 = σ1 2 + σ σ2 n, B n = Bn. 2 Niech Y n będzie zmienną otrzymaną przez standaryzację zmiennej S n, tzn. Y n = S n M n. B n, centralne twierdzenia graniczne

35 Definicja Mówimy, że dla ciągu (X n ) spełnione jest centralne twierdzenie graniczne wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg dystrybuant zmiennych losowych Y n jest zbieżny podstawowo do dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1). O ciągu (Y n ) mówimy wtedy, że jest asymptotycznie normalny., centralne twierdzenia graniczne

36 Przykładem centralnego twierdzenia granicznego jest twierdzenie integralne de Moivre a-laplace a, które sformułowaliśmy nie korzystając z pojęcia zmiennej losowej. Podany w tym twierdzeniu wzór ( ) lim P a < k np n npq < b = F (b) F (a), gdzie F jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0, 1), możemy obecnie zinterpretować następująco. Liczba sukcesów k w schemacie n prób Bernoulliego jest wartością zmiennej losowej S n o rozkładzie Bernoulliego z parametrami n, p. Zmienna S n jest sumą n niezależnych zmiennych losowych X k, gdzie k = 1, 2,..., n, o identycznym rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p., centralne twierdzenia graniczne

37 Standaryzując zmienne S n, otrzymujemy Y n = S n M n B n = S n np npq. Tak więc twierdzenie integralne de Moivre a-laplace a orzeka, że dla ciągu niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach zero-jedynkowych spełnione jest centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

38 Twierdzenie integralne de Moivre a-laplace a jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia. Twierdzenie (Lindeberga-Levy ego) Jeśli (X n ) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach z wartością oczekiwaną m i skończoną dodatnią wariancją σ 2, to ciąg (X n ) spełnia centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

39 Twierdzenie integralne de Moivre a-laplace a jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia. Twierdzenie (Lindeberga-Levy ego) Jeśli (X n ) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach z wartością oczekiwaną m i skończoną dodatnią wariancją σ 2, to ciąg (X n ) spełnia centralne twierdzenie graniczne. Przykład Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych (X n ) o jednakowych rozkładach takich, że EX n = 3, D 2 X n = 2. Wyznaczymy ( przybliżoną wartość prawdopodobieństwa P 580 < 200 ) X n < 660. n=1, centralne twierdzenia graniczne

40 Przykład (cd) Zauważmy, że ciąg (X n ) spełnia założenia twierdzenia Lindeberga-Levy ego. Niech S 200 = 200 X n, wówczas n=1 M 200 = ES 200 = = 600, a z niezależności zmiennych X n wynika, że B200 2 = D 2 S 200 = = 400, czyli B 200 = 400 = 20., centralne twierdzenia graniczne

41 Przykład (cd) Stąd otrzymujemy ( P 580 < 200 = P n=1 ) X n < 660 ( ) 1 < S < 3 ( ) = P < S < = F (3) F ( 1) = F (3) + F (1) 1, gdzie F jest dystrybuantą rozkładu normalnego N (0, 1)., centralne twierdzenia graniczne

42 Podamy teraz twierdzenie graniczne dla ciągu zmiennych losowych o niejednakowych rozkładach. Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) zmiennych losowych o skończonych wartościach oczekiwanych m n = EX n spełnia warunek Lapunowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba δ > 0, że a) ck 2+δ = E X k m k 2+δ < + dla k = 1, 2,...; C b) lim n n B n = 0, gdzie C n = ( n k=1 c 2+δ k ) 1/(2+δ)., centralne twierdzenia graniczne

43 Podamy teraz twierdzenie graniczne dla ciągu zmiennych losowych o niejednakowych rozkładach. Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) zmiennych losowych o skończonych wartościach oczekiwanych m n = EX n spełnia warunek Lapunowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba δ > 0, że a) ck 2+δ = E X k m k 2+δ < + dla k = 1, 2,...; C b) lim n n B n = 0, gdzie C n = Twierdzenie (Lapunowa) ( n k=1 c 2+δ k ) 1/(2+δ). Jeśli ciąg (X n ) niezależnych zmiennych losowych spełnia warunek Lapunowa, to ciąg (X n ) spełnia centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

44 Twierdzenie Lapunowa stosowane jest najczęściej dla δ = 1. Przykład Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dwupunktowych określonych następująco P(X n = n) = P(X n = n) = 1 2. Wykażemy, że ciąg (X n ) spełnia centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

45 Przykład (cd) Zauważmy, że σ 2 k = k2, c 3 k = k3, więc Stąd otrzymujemy C lim n n B n = lim n B 2 n = C 3 n = n k=1 n k=1 k 2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1), ( ) 2 k 3 = 1 2 n(n + 1). 3 ( 1 2 n(n+1))2 1 6 n(n+1)(2n+1) = lim n n ( 1 2 (1+ 1 n ))2 n (1+ 1 n )(2+ 1 n ) = 0. Ciąg (X n ) niezależnych zmiennych losowych spełnia zatem warunek Lapunowa, a więc spełnia także centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo

1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1.1 Rodzaje zbieżności ciagów zmiennych losowych Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna na której określony jest ciag {X

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Zmienna losowa. Rozkład skokowy Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów

Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Deska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski

Deska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r. a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p)

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136

19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27 SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo