12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

Transkrypt

1 DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony na zbiorze S X,Y, to EhX, Y ) = x,y) S X,Y hx, y)p X = x, Y = y). Twierdzenie.. Dla dowolnych zmiennych losowych X,..., X n mamy EX X n ) = EX EX n. Twierdzenie.. Jeśli X,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi, to EX... X n ) = EX... EX n Definicja.. Kowariancją wektora X, Y ) nazywamy wyrażenie o ile E XY <. Fakt.. Własności kowariancji: a. CovX, X) = VarX); b. CovX, Y ) = CovY, X); c. CovX + Y, Z) = CovX, Z) + CovY, Z); d. CovaX + b, Y ) = acovx, Y ); CovX, Y ) = E[X EX)Y EY )] = EXY ) EXEY, e. Jeśli zmienne X i Y są niezależne to CovX, Y ) = oraz EXY ) = EXEY ) UWAGA: Implikacja w drugą stronę nie jest prawdziwa patrz zadanie A. lub przykład z wykładu. Twierdzenie. 4. Jeśli VarX i istnieje dla wszystkich zmiennych losowych X,..., X n, to Var X i ) = VarX i + i<j n CovX i, X j ). Definicja.. Wspólczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y nazywamy wyrażenie ρx, Y ) = CovX, Y ) VarX VarY, o ile CovX, Y ) istnieje.

2 A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Rozkład łączny X, Y ) jest podany tabelą. Oblicz a) EXY ), b) CovX, Y ), c) E4X 5Y + XY ). Y X Czy zmienne X i Y są nieskorelowane? Czy są niezależne? Zadanie A.. Wektor losowy X, Y ) ma gęstość łączną fx, y) = x + y dla < x, y < oraz fx, y) = dla pozostałych x, y. Oblicz CovX, Y ), EX Y + XY ) oraz VarX + Y ). Zadanie A.. O zmiennych losowych X, Y, Z wiadomo, że EX = 4, EY =, EZ = ; ponadto VarX =, VarY =, VarZ =, CovX, Y ) =, CovX, Z) =, CovY, Z) =. Definiujemy T = X + Y + Z. Wyznacz a. ET, VarT i rozkład zmiennej losowej T ; b. CovX + Z + 7, X + Y 4); c. EX + Y ) Zadanie A.4. Roztargniona sekretarka włożyła losowo zaadresowanych listów do zaadresowanych kopert. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby listów, które trafiły do swoich adresatów. Zadanie A.5. Niech X będzie liczbą jedynek, a Y liczbą dwójek otrzymanych w wyniku n rzutów wyważoną kostką. Oblicz CovX, Y ). Zadanie A.. Wyznacz CovX, Y ), jeśli VarX =, VarY =, a VarX + Y ) = 5. Czy można rozstrzygnąć, czy zmienne losowe X i Y są niezależne? Zadanie A.7. bonus) Mamy do dyspozycji po kul w kolorach; czerwony, zielony i niebieski. Wrzucamy po z tych kul do urn tak, że wykorzystujemy wszystkie kule. Wyznacz wartość oczekiwaną liczby urn z kulami w trzech różnych kolorach. Zadanie A.8. bonus) Gęstość łączna zmiennych losowych X i Y wynosi fx, y) = y e y x/y dla x, y > oraz fx, y) = dla pozostałych x, y. Oblicz CovX, Y ). Zadanie A.. bonus) Oblicz k, jeśli wiemy, że X i X są niezależne, VarX = k, VarX =, a VarX X ) = 5. B Zadania domowe ZADANIA PODSTAWOWE Zadanie B.. Wektory losowe X i, Y i ), i =,,, 4, 5, mają rozkłady zadane tabelkami zbiory, na których są skupione są na ilustracjach powyżej). Y \ X - Y \ X - Y \ X - Y 4 \ X 4 - Y 5 \ X 5 - Wyznacz kowariancję i współczynnik korelacji dla każdego z wektorów losowych X i, Y i ). Porównaj wyniki.

3 a) W którym przypadku istnieją stałe a i b takie, że Y i = ax i + b. Ile wynosi wtedy współczynnik korelacji? b) Które pary zmiennych losowych X i i Y i są niezależne? Ile wynosi dla nich kowariancja i współczynnik korelacji? Czy to przypadek? c) Czy jeśli CovX i, Y i ) = ρx i, Y i ) = ), to zmienne losowe X i i Y i są niezależne? Zadanie B.. W urnie jest losów o wartościach:,,,,,. Losujemy z urny losy jednocześnie. Niech X będzie większą z wylosowanych wartości a Y sumą wartości wylosowanych losów. Oblicz CovX, Y ). Zadanie B.. Wektor losowy X, Y ) ma gęstość łączną { x y), dla < y < x <, fx, y) =, w p.p. Oblicz EXY + X ). Zadanie B.4. Wyznacz CovX, Y ), jeśli a) VarX =, VarY =, a CovX + Y +, X + Y + ) = 5; b) VarX + ) = 8, VarX + Y ) = oraz CovY +, 4Y + X) =. Zadanie B.5. Załóżmy, że X,..., X 4 są nieskorelowane, każda o wartości oczekiwanej i wariancji. Oblicz a) ρx + X, X + X ), b) ρx + X, X + X 4 ). Zadanie B.. Rzucono dwa razy kostką. Niech X będzie sumą, a Y różnicą liczb oczek otrzymanych za pierwszym razem i drugim razem. Oblicz CovX, Y ), VarX + Y ). Zrób to bez wyznaczania rozkładów zmiennych losowych X i Y!!!!) Zadanie B.7. Gra polega na rzucie kostką, monetą i wylosowaniu karty spośród 5 kart standardowej talii. Grający otrzymuje $ za każde oczko na kostce, $ za orła na monecie i $ za każdy punkt wartości karty od dwójka) do as)). Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję wygranej bez wyznaczania rozkładu zmiennaje losowej równej wygranej. Zrób to bez wyznaczania rozkładu zmiennej losowej równej wygranej!!!) Zadanie B.8. Na potrzeby loterii wyprodukowano kuponów, z tego wygrywających. W pewnym miasteczku 5 osób kupiło po kupony. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję osób spośród nich, które nic nie wygrały. ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI Zadanie B.. Wektor losowy X, Y ) przyjmuje wartości, ),, ),, ),, ),, ),, ) z prawdopodobieństwami, odpowiednio,,,,, 4,. Oblicz ρx, Y ). Zadanie B.. Dla wektora losowego z gęstością { xy x y) dla x [, ] oraz y [, ], fx, y) = w przeciwnym przypadku wyznacz CovX, Y ) oraz EXY + Y + ). Zadanie B.. Oblicz E[X Y ) ], jeśli X i Y są zmiennymi losowymi takimi, że EX = EY = µ, VarX = VarY = σ, CovX, Y ) = λ. Zadanie B.. Niech X i X będą niezależne, EX i = µ i, VarX i = σ i, i =,. Wyznacz wzór na ρx, X X ). Zadanie B.. Wyznacz ρx, Y ), jeśli VarX = 4, VarY =, a VarX + Y ) = 5. Zadanie B.4. Zmienne losowe X i, i =,..., 4, są niezależne, każda o gęstości fx) = x, < x <. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję ich sumy. Zadanie B.5. Zad. 5, 4.5.) Rzucono razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w pierwszych 8 rzutach a Y w całej serii. Czy X i Y są niezależne? Wyznaczyć CovX, Y ). Zadanie B.. Łucznik strzela do tarczy n razy. Za każdym razem trafia niezależnie za i i ) punktów z prawdopodobieństwem /. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję liczby punktów, które uzyska. Zadanie B.7. Rzucamy razy trzema kostkami. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję sumy wyrzuconych oczek.

4 C Zadania dla chętnych Zadanie C.. Niech ρx, X ) = ρ. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d, przy czym a, c >, ρax + b, cx + d) = ρ. Zadanie C.. Losujemy ze zwracaniem jedną kartę z talii 5 kart tak długo, aż wylosujemy wszystkie kolory pik, kier, karo i trefl). Znajdź wartość oczekiwaną liczby losowań. Zadanie C.. Rzucamy razy uczciwą monetą. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej równej liczbie par kolejnych orłów. Zadanie C.4. BONUS na stycznia z pulą 5 pkt.) Rozmieszczamy losowo n ponumerowanych kul w n ponumerowancyh szufladkach tak, że i-ta kula wpada z jednakowym prawdopodobieństwem do jednej z i pierwszych szufladek. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby pustych szufladek. UWAGA: Nie chodzi o wynik w postaci sumy.) Zadanie C.5. Oblicz ES ) dla zmiennej losowej S, tzw. wariancji z próby, danej wzorem S = n X i X), gdzie X,..., X n sa niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, EX i = µ, VarX i = σ, i =,..., n, a X = n n X i. Zadanie C.. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi Bernoulliego tzn. skupionymi na wartościach {, }) z p = /. Pokaż, że X + Y i X Y są nieskorelowane i zależne. Zadanie C.7. Niech X i Y będą dyskretnymi zmiennymi losowymi o wartości oczekiwanej, wariancji i kowariancji ρ. Pokaż, że Emax{X, Y }) + ρ. Zadanie C.8. W urnie znajduje się n kul ponumerowanych od do n. Wyciągamy bez zwracania k z nich i sumujemy wartości które wyciągnęliśmy. Policz wartość oczekiwaną i wariancję tej sumy. 4

5 Odpowiedzi do niektórych zadań B. a) Y =, 5 X, dlatego ρx, Y ) = ; Y =, 5 X, dlatego ρx, Y ) =. b) X i Y są niezależne, dlatego CovX, Y ) = i ρx, Y ) =. c) NIE! X 5 i Y 5 nie są niezależne ale CovX 5, Y 5 ) = i ρx 5, Y 5 ) = B. 4/5 B. /4 B.4 a) b) B.5 a)/ b) B., 8/ B.7 wartość oczekiwana 45/, wariancja /4 B.8 EX = 5 8) ) = 5 8 VarX = 5 8 B. / 7 5 ) ) B. -/44, 4/ B. σ λ + 4µ B. σ / σ + σ B. /8 ) ) 8 ) ) )+5) 8 ) 78 ) ) 8 ) ) ) 8 ) ) B.4 EX + X + X + X 4 ) = 8/, VarX + X + X + X 4 ) = / B.5 nie są niezależne, B. EX = n, VarX = n /4 ) = 5 8) ) 8) ) +5) B.7 5, 875 WSKAZÓWKA: rzucać razy trzema kostkami to to samo co razy jedną kostką) 8) 4 ) 4 ) ) 8) ) 5