Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów

Transkrypt

1 Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol

2 Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy.

3 Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ciag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. UWAGA Twierdzeie odwrote ie jest prawdziwe.

4 Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ciag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. UWAGA Twierdzeie odwrote ie jest prawdziwe. TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest mootoiczy i ograiczoy, to jest zbieży do graicy skończoej.

5 Symbol Newtoa i dwumia Newtoa przypomieie Silia:! = 1 2, 0! = 1

6 Symbol Newtoa i dwumia Newtoa przypomieie Silia:! = 1 2, 0! = 1 Symbol Newtoa: k ) =! k! k)!

7 Symbol Newtoa i dwumia Newtoa przypomieie Silia:! = 1 2, 0! = 1 Symbol Newtoa: ) k =! k! k)! Własości: ) 0 = ) = 1 k) = ) k

8 Symbol Newtoa i dwumia Newtoa przypomieie Silia:! = 1 2, 0! = 1 Symbol Newtoa: ) k =! k! k)! Własości: ) 0 = ) = 1 k) = ) k Dwumia Newtoa: a + b) = ) 0 a + ) 1 a 1 b + ) 2 a 2 b ) b

9 Symbol Newtoa i dwumia Newtoa przypomieie Silia:! = 1 2, 0! = 1 Symbol Newtoa: ) k =! k! k)! Własości: ) 0 = ) = 1 k) = ) k Dwumia Newtoa: a + b) = ) 0 a + ) 1 a 1 b + ) 2 a 2 b ) b a + b) = a + ) 1 a 1 b + ) 2 a 2 b b

10 Liczba e TWIERDZENIE Ci ag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest ograiczoy.

11 Liczba e TWIERDZENIE Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest ograiczoy. TWIERDZENIE Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest rosacy.

12 Liczba e TWIERDZENIE Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest ograiczoy. TWIERDZENIE Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest rosacy. WNIOSEK Ci ag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest zbieży.

13 Liczba e TWIERDZENIE Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest ograiczoy. TWIERDZENIE Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest rosacy. WNIOSEK Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest zbieży. DEFINICJA Graicę ciagu liczbowego o wyrazie ogólym a = ) azywamy stała Eulera i ozaczamy symbolem e.

14 Liczba e TWIERDZENIE Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest ograiczoy. TWIERDZENIE Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest rosacy. WNIOSEK Ciag liczbowy o wyrazie ogólym a = ) jest zbieży. DEFINICJA Graicę ciagu liczbowego o wyrazie ogólym a = ) azywamy stała Eulera i ozaczamy symbolem e. e def = lim )

15 Twierdzeia o ciagach zbieżych do e TWIERDZENIE lim 1 1 ) = e 1

16 Twierdzeia o ciagach zbieżych do e TWIERDZENIE lim TWIERDZENIE lim 1 1 ) = e ) = e

17 Twierdzeia o ciagach zbieżych do e TWIERDZENIE lim TWIERDZENIE lim 1 1 ) = e ) = e TWIERDZENIE Niech a ) i b ) będa ciagami takimi, że 1. lim a = 0 2. lim b = 3. istieje graica lim a b. Wówczas lim 1 + a ) b = e lim a b.

18 Twierdzeie o trzech ciagach TWIERDZENIE Niech a ), b ), c ) będa ciagami liczbowymi takimi, że 1. lim a = lim c = g, 2. a b c, dla k dla pewego k N. Wtedy ci ag liczbowy b ) jest zbieży oraz lim b = g.

19 Twierdzeie o trzech ciagach TWIERDZENIE Niech a ), b ), c ) będa ciagami liczbowymi takimi, że 1. lim a = lim c = g, 2. a b c, dla k dla pewego k N. Wtedy ciag liczbowy b ) jest zbieży oraz lim b = g. WNIOSEK Iloczy ciagu zbieżego do 0 i ciagu ograiczoego jest ciagiem zbieżym do 0.

20 Twierdzeie o trzech ciagach TWIERDZENIE Niech a ), b ), c ) będa ciagami liczbowymi takimi, że 1. lim a = lim c = g, 2. a b c, dla k dla pewego k N. Wtedy ciag liczbowy b ) jest zbieży oraz lim b = g. WNIOSEK Iloczy ciagu zbieżego do 0 i ciagu ograiczoego jest ciagiem zbieżym do 0. TWIERDZENIE lim = 1