Model ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.

Transkrypt

1 Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej.

2 Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The pricig of Optios ad Corporate Liabilities, Joural of Political Ecoomy (Mai/Jui 1973) Robert C. Merto Theory of Ratioal Optio Pricig Bell Joural of Ecoomics ad Maagemet Sciece (1973) Modele które do chwili obecej są cetralym obiektem matematyki fiasowej i przyczyiły się do gwałtowego rozwoju iżyierii fiasowej opartej a istrumetach pochodych W 1997, Robert Merto i Myro Scholes otrzymali agrodę Nobla w ekoomii (Fischer Black zmarł w 1995)

3 Uogólieie defiicji wycey opcji Wzór a wyceę opcji w modelu dwumiaowym wieloetapowym moża było iterpretować jako zdyskotowaą, oczekiwaą wartość fukcji wypłaty opcji, przy tzw. prawdopodobieństwie eutralym wobec ryzyka (risk free probability), przy którym oczekiwaa stopa zwrotu z akcji jest rówa stopie wolej od ryzyka. Uwzględiając to podejście i zakładając ciągłą kapitalizację odsetek moża przyjąć ogólą defiicję wycey opcji kupa a T lat przed datą wygaśięcia opcji jako zdyskotowaą, oczekiwaą wartość fukcji wypłaty r C = e - r T E [max(s(t) K, 0)] rocza stopa wola od ryzyka przy ciągłej kapitalizacji S(T) cea istrumetu bazowego w diu wygaśięcia opcji K cea realizacji opcji

4 Uogólieie defiicji wycey opcji sprzedaży Wprowadźmy ozaczeie: zatem (S(T) K) + := max(s(t) K,0), C = e - r T E[(S(T) K) + ] Podobie dla opcji sprzedaży, jej wartość określimy jako zdyskotowaą, oczekiwaą wartość fukcji wypłaty w chwili T lub krócej P = e -rt E [max(k S(T), 0)] P = e -rt E [(K S(T)) + ]

5 Waruki wycey Cey akcji podlegają błądzeiu przypadkowemu Oczekiwaa stopa zwrotu z akcji w krótkim okresie czasu jest rówa krótkotermiowej wolej od ryzyka stopie procetowej (tzw. waruek powszechej obojętości względem ryzyka) wola od ryzyka stopa procetowa oraz współczyik zmieości akcji są stałe w rozpatrywaym okresie W okresie ważości opcji akcje bazowe ie przyoszą dywidedy Nie istieją możliwości arbitrażu Papiery wartościowe są ieskończeie podziele, koszty trasakcyje zerowe Pożyczki i lokaty podlegają tej samej wolej od ryzyka stopie procetowej Obrót papierami wartościowymi jest ciągły

6 Zmieość cey akcji Współczyik roczej zmieości akcji defiiujemy jako odchyleie stadardowe roczych logarytmiczych stóp zwrotu akcji i = l (S i / S i-1 ), i - logarytmicza stopa zwrotu w i-tym roku, S i cea akcji w i-tym roku) Współczyik zmieości często obliczaa jest w oparciu o miesięcze logarytmicze stopy zwrotu. Poieważ zakłada się iezależość logarytmiczych stóp zwrotu, wiec rocza wariacja jest iloczyem miesięczej wariacji i liczby 12. Zatem rocze odchyleie std. jest rówe miesięczemu pomożoemu przez pierwiastek z 12. Aalogiczie moża wyliczać roczą zmieość ze zmieości tygodiowej, dzieej, itd.

7 Ciągły model zmieości ce akcji UWAGA Tzw. model ciągły zmieości akcji jest wyikiem przejścia graiczego, czyli zastosowaia odpowiediej wersji cetralego twierdzeia graiczego dla dyskretego modelu zmieości cey akcji. Wykażemy, że S(T) = S(0) e X(T) gdzie X(T) jest pewą zmieą losową o rozkładzie ormalym S(T) - zmiea losowa określająca ceę akcji w chwili T

8 Założeia kostrukcji ciągu zmieych losowych S (T) przybliżających zachowaie się ce akcji w chwili T (i) Zmiee losowe l[s (T)/S(0)] mają jedakową wariację dla każdego, wyoszącą Tσ 2. (ii) Cey akcji zmieiają się multiplikatywym jak w modelu (iii) Wartość oczekiwaa współczyika zmiay cey akcji w jedym etapie jest rówa współczyikowi wzrostu dla iwestycji wolej od ryzyka.

9 Pojęcia i ozaczeia liczba etapów w okresie czasu o długości T, (T wyrażoe w latach) T/ - długość etapu (1) R rt exp( R jest współczyikiem wzrostu dla iwestycji wolej od ryzyka w jedym etapie, przy ciągłej kapitalizacji odsetek, r stopa rocza przy kapitalizacji ciągłej )

10 Kostrukcja modelu multiplikatywego zmieości akcji Fluktuacje z modelu multiplikatywego staowią ciąg iezależych zmieych losowych η (i), o jedakowych rozkładach zdefiiowaych wzorem (2) (i) u d dla każdego i = 1,2,,. Litera i jest umerem etapu, u i d to współczyiki zmiay cey akcji. Zakładamy, że u > d. Zakładamy, że każda z tych dwóch wartości przyjmowaa jest z prawdopodobieństwem rówym 0,5.

11 Kostrukcja modelu multiplikatywego zmieości akcji Mamy zatem Z założeia (iii) (wartość oczekiwaa współczyika zmiay cey akcji w jedym etapie jest rówa współczyikowi wzrostu dla iwestycji wolej od ryzyka) wyika, że (3) R = 0,5 (u + d ) Z przyjęcia modelu multiplikatywego - cea w momecie T wyosi S 0 ( i) i 1 ( T) S S (4) l ( T S 0) ( ) = l ( i 1 η (i))= i 1 l ( i)

12 Kostrukcja modelu multiplikatywego zmieości akcji Z założeia o jedakowych wariacjach dla zmieych l [ S (T) / S (0) ] (5) Var ( l ( i 1 η ( i ) ) ) = T σ 2 Z iezależości zmieych losowych η ( i ), i = 1,2,, wyika, że zmiee l η ( i ) są także iezależe. Mamy więc Var ( i 1 l η ( i ) ) = i 1 Var ( l η ( 1 ) ) = Var ( l η (1 ) ). Wariacja zmieej l η (1) obliczoa z defiicji daje wzór: Var (l η (1)) = 1 ( l ( u ) l (d ) ) 2 4

13 DOWÓD WZORU Var (l η (1)) = 1 4 ( l ( u ) l (d ) ) 2

14 Kostrukcja modelu multiplikatywego zmieości akcji Stąd i z otrzymujemy: założeia o jedakowych wariacjach 4 1 ( l (u ) - l (d )) 2 = Tσ 2 a z ostatiej rówości mamy l( u d ) = 2σ T Wyliczając u z powyższej rówości : (6) u = d exp(2σ T )

15 Kostrukcja modelu multiplikatywego zmieości akcji Z układu rówań utworzoych z (1), (3), (6) czyli: rt 1 (1) R = exp ( ), (3) R = 2 T ( u +d ), (6) u = d exp(2σ ) otrzymujemy układ (6b) rt d = exp( ) 1 2 e 2 T (6) u = d exp(2σ T ) (Rówaie (6b) powstało z porówaia (1) i (2) i wstawieiu (6) pod u )

16 Z rówaia (6b) oraz (6) otrzymujemy wyrażeie a u d :

17

18

19 Kostrukcja modelu multiplikatywego zmieości akcji S ( T ) : ( Wartość oczekiwaa zmieej losowej l S 0) E (l S ( T ) S(0) ) = E [l ( i 1 η ( i ) ) ] = E [ i 1 l η ( i ) ] = E [ l η (1) ] = ( / 2) (l u + l d ) Ozaczyliśmy przez a wyrażeie ( / 2) (l u + l d ). 1 Pokazaliśmy, że a dąży do (r - 2 σ 2 ) T, przy. 1 Wprowadźmy ozaczeie μ : = ( r - 2 σ 2 ) T

20 Kostrukcja modelu multiplikatywego zmieości akcji S ( T ) Ozaczmy zmieą losową l przez X. Wtedy S(0) = l ( i) Dzięki wcześiej opisaej kostrukcji otrzymujemy tablicę trójkątą zmieych losowych η (i) i=1,2,..., zaś =1,2,3, l η 1 (1) l η 2 (1), l η 2 (2) l η 3 (1), l η 3 (2), l η 3 (3) l η (1), l η (2),, l η ().. Zmiee losowe w każdym wierszu są iezależe i mają jedakowy rozkład. Suma zmieych losowych z -tego wiersza daje zmiea losową l S(0) losowych występujących w wierszu jest stała i wyosi σ 2 T. i 1 S ( T ). Wariacja sumy zmieych

21 Logarytmiczo-ormaly rozkład cey końcowej akcji Z odpowiediej wersji Lideberga-Levy ego cetralego twierdzeia graiczego, (tw Measure, itegral ad probability - M. Capiński,E. Kopp, Spriger 2004) wioskujemy, że ciąg l S ( T ) S(0) zbiega słabo do zmieej losowej (ozaczmy ją przez l S( T ) S(0) ) o rozkładzie ormalym o parametrach (μ, Wprowadźmy ozaczeie S( X = l T ) S(0) T ), gdzie μ = rt - 2 T 2 mamy wtedy S( T ) S(0) = exp(x). WNIOSEK 1. Przy przyjętych założeiach otrzymaliśmy wzór modelujący ceę akcji S(T) = S(0) exp(x) gdzie X jest zmieą losową o rozkładzie ormalym, o wartości oczekiwaej μ = rt - oraz wariacji σ 2 T. 2 T 2 WNIOSEK 2 Zmiea losowa wyrażająca ceę końcową S(T) ma rozkład logarytmiczoormaly.

22 Logarytmiczo-ormaly rozkład cey końcowej akcji WNIOSEK 3. Zmieą S(T) moża przedstawić w postaci S(T) = S 0 exp[(r- 2 /2)T+ (T)] gdzie zmiea losowa (T) ma rozkład ormaly o parametrach ( 0, T ). Rzeczywiście, wtedy suma [(r- 2 /2)T+ (T)] ma rozkład ormaly o parametrach ((r- 2 /2)T, T ), czyli taki jaki miała graicza zmiea losowa X.

23 Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej Przy wcześiej przyjętych założeiach o ryku, modelu zmieości akcji oraz wprowadzoych ozaczeiach, cea C europejskiej opcji kupa a T lat przed termiem realizacji, przy ceie realizacji K wyraża się wzorem d 1 C = S(0) N(d 1 ) Ke r T N(d 2 ) gdzie S(0) 1 l rt Ke 2 T 2 T = d 2 S(0) 1 l rt Ke 2 T zaś N(d) ozacza wartość dystrybuaty w pukcie d rozkładu ormalego o parametrach (0,1). 2 T

24

25

26

27

28

29

30 Literatura Measure, Itegral ad Probability M. Capiński, E. Kopp Teoria iwestycji fiasowych D. Lueberger Istrumety pochode sympozjum matematyki fiasowej. Kraków UJ 1997 Kotrakty termiowe i opcje. Wprowadzeie J. Hull Warszawa 1997