Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Transkrypt

1 Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywamy funkcję X : Ω R taką, że dla każdego x R X 1 ((; x)) = {ω Ω : X(ω) < x} F Przykład 1 Rzucamy jeden raz symetryczną kostką Jeśli wypadnie 6 otrzymujemy 90zł; jeśli wypadnie nieparzysta liczba oczek otrzymujemy 10zł; w pozostałych przypadkach nie otrzymujemy nic Wtedy Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Niech X oznacza wygraną w tej grze Wtedy X jest zmienną losową określoną w następujący sposób: X(ω) = 10, ω {1, 3, 5} 90, ω = 6 0, ω {2, 4} X jest przykładem zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym Przykład 2 Rozważmy czas oczekiwania na autobus mający przyjechać w ciągu godziny Można przyjąć, że Ω = [0; 1] Wtedy, jeśli X oznacza czas oczekiwania, to X(ω) = ω W tym przypadku X jest przykładem zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym 1 Zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej określa zakres jej wartości oraz prawdopodobieństwa, z jakimi te wartości są przyjmowane Oznaczenie: P (X = x) = P ({ω : X(ω) = x}) - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość x Definicja 2 Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny (skokowy), jeśli istnieje przeliczalny podzbiór S X R, zwany zbiorem punktów skokowych, taki, że 1 P (X = x i ) > 0 dla każdego x i S X ; 2 P (X = x i ) = 1 x i S X Definicja 3 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dyskretnym Jeśli dla każdego x i S X znajdziemy P (X = x i ), to otrzymamy funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X Uwaga Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej X jednoznacznie wyznacza jej rozkład 2 Dystrybuanta zmiennej losowej W praktyce często interesują nas P (X x) dla dowolnego x R Prawdopodobieństwa takie można wyznaczać za pomocą dystrybuanty Definicja 4 Dystrybuanta jednowymiarowej zmiennej losowej X : Ω R nazywamy funkcję F X : R R określoną wzorem F X (x) = P (X x) = P (X 1 (, x]) Twierdzenie 1 Rozkład zmiennej losowej X jest jednoznacznie wyznaczony przez jej dystrybuantę Wniosek Jeśli dwie zmienne losowe mają te same dystrybuanty, to mają ten sam rozkład

2 Własności dystrybuanty Twierdzenie 2 Funkcja F : R R jest dystrybuanta jednowymiarowej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy, gdy 1 lim F (x) = 0, lim F (x) = 1; x x + 2 F jest funkcja niemalejac a (x 1 < x 2 F (x 1 ) F (x 2 )); 3 F jest funkcja co najmniej prawostronnie ciagł a Przy pomocy dystrybuanty można wyznaczyć prawdopodobieństwa zdarzeń polegających na tym, że zmienna losowa przyjmie wartość z ustalonego przedziału Uwaga Niech a, b R i niech a < b Wtedy: 1 P (X a) = F X (a); 2 P (X = a) = F X (a) lim x a F X(x); 3 P (X a) = 1 lim x a F X (x); 4 P (a X < b) = lim x b F X(x) lim x a F X(x); 5 P (a < X b) = F X (b) F X (a); 6 P (a < X < b) = lim x b F X (x) F X (a); 7 P (a X b) = F X (b) lim x a F X (x); 8 P (X < a) = lim x a F X (x) 21 Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym Twierdzenie 3 Jeśli X ma rozkład dyskretny, to F X (x) = x i x P (X = x i ) Uwaga Aby wyznaczyć rozkład zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym trzeba: albo znaleźć funkcję prawdopodobieństwa albo dystrybuantę 2 Zmienna losowa o rozkładzie ciagłym Definicja 5 Zmienna losowa X o dystrybuancie F X funkcja f X : R R taka, że F X (x) = ma rozkład ciagły (jest typu ciagłego), jeżeli istnieje x f X (t)dt Funkcję f X nazywamy wtedy gęstościa rozkładu zmiennej losowej X Wnioski Jeśli X ma rozkład ciągły, to: 1 F X jest funkcją ciągłą w zbiorze R 2 F X (x) = f(x) w każdym punkcie ciągłości x funkcji f X Twierdzenie 4 Funkcja f : R R jest gęstościa jednowymiarowej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy, gdy 1 f(x) 0 prawie wszędzie; 2 + f(x)dx = 1

3 Uwaga Jeśli X ma rozkład ciągły, to P (X = a) = 0 dla każdego a R Uwaga Jeśli X ma rozkład ciągły, to dla dowolnych a, b R takich, że a < b P (a X < b) = P (a < X b) = P (a < X < b) = P (a X b) Uwaga Rozkład zmiennej losowej typu ciągłego jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcję gęstości Wyznaczanie prawdopodobieństwa za pomoca gęstości Jeśli X ma rozkład ciągły, to dla dowolnych a, b R takich, że a < b: 1 P (X < b) = P (X b) = 2 P (X > a) = P (X a) = b a f X (x)dx; f X (x)dx; 3 P (a X < b) = P (a < X b) = P (a < X < b) = P (a X b) = b a f X (x)dx Uwaga Aby wyznaczyć rozkład zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym trzeba: albo znaleźć funkcję gęstości albo dystrybuantę

4 Wykład 4 Charakterystyki liczbowe jednowymiarowych zmiennych losowych 1 Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana jest wskaźnikiem położenia zmiennej losowej Wskazuje ona średnią wartość zmiennej losowej 11 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym Definicja 1 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dyskretnym ze zbiorem punktów skokowych S X Wtedy, jeśli x i S X x i P (X = x i ) <, to wartościa oczekiwana zmiennej losowej X nazywamy liczbę EX = x i P (X = x i ) x i S X W przeciwnym przypadku mówimy, że wartość oczekiwana nie istnieje Definicja 2 Niech X będzie zmienną o rozkładzie dyskretnym i niech g : R R będzie funkcją taką, że g(x) też jest zmienną losową Wtedy, jeśli x i S X g(x i ) P (X = x i ) <, to E(g(X)) = x i S X g(x i ) P (X = x i ) 12 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie ciagłym Definicja 3 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie ciągłym z funkcją gęstości f X Wtedy, jeśli x f X (x) dx <, to wartościa oczekiwana zmiennej losowej X nazywamy liczbę EX = x f X (x) dx W przeciwnym przypadku mówimy, że wartość oczekiwana nie istnieje Przykład 1 Niech czas oczekiwania (w godzinach) na autobus będzie zmienną losową X o rozkładzie ciągłym z funkcją gęstości 1, x [0; 1] f X (x) = 0, x / [0; 1] Jeśli pytamy o to, jaki będzie średni czas oczekiwania, to musimy obliczyć EX = 1 0 x 1 dx = 1 2 To oznacza, że średnio na utobus będziemy czekać pół godziny Definicja 4 Niech X będzie zmienną o rozkładzie ciągłym i niech g : R R będzie funkcją taką, że g(x) też jest zmienną losową Wtedy, jeśli to E(g(X)) = g(x) f X (x) dx <, g(x) f X (x) dx

5 13 Własności wartości oczekiwanej Niech X i Y będą zmiennymi losowymi, dla których istnieją EX i EY Wtedy: 1 E(b) = b dla każdego b R; 2 E(a X) = a EX dla każdego a R; 3 E(X + Y ) = EX + EY ; 4 Jeśli X 0, to EX 0 5 Z własności 3 wynika, że dla skończonej liczby zmiennych losowych X 1,, X n zachodzi równość E(X X n ) = EX EX n 2 Wariancja i odchylenie standardowe Wariancja jest wskaźnikiem rozproszenia wartości zmiennej losowej wokół jej wartości oczekiwanej (wskazuje, jak bardzo wartości zmiennej losowej odbiegają od wartości średniej) Definicja 5 Jeśli istnieje E(X 2 ), to wariancja zmiennej losowej X nazywamy liczbę V X = E(X EX) 2 Liczbę σ X = V X nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej X Twierdzenie 1 Jeśli istnieje E(X 2 ), to Dowód V X = E(X 2 ) (EX) 2 V X = E(X EX) 2 = E(X 2 2X EX + (EX) 2 ) = E(X 2 ) 2E(X EX) + E((EX) 2 ) = E(X 2 ) 2EX EX + (EX) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 Przykład 2 Dla zmiennej losowej z przykładu 1 mamy: E(X 2 ) = 1 0 x 2 1 dx = 1 3, co oznacza, że V X = E(X 2 ) (EX) 2 = = Własności wariancji Jeśli X jest zmienną losową, dla której istnieje V X, to 1 V X 0; 2 V (ax + b) = a 2 V X dla wszystkich a, b R

6 Wykład czwarty Przeglad rozkładów jednowymiarowych 1 Rozkłady dyskretne 1 Rozkład jednopunktowy: Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy skupiony w punkcie x 0, jeśli S X = {x 0 } oraz P (X = x 0 ) = 1 Jest to najprostszy rozkład prawdopodobieństwa Dystrybuanta tego rozkładu ma postać 0, x x0 F (x) = 1, x > x 0 Uwaga Jeśli X = a, gdzie a R, to X ma rozkład jednopunktowy skupiony w punkcie a Zatem każdą stałą można traktować jako zmienną losową o rozkładzie jednopunktowym Jeśli X ma rozkład jednopunktowy skupiony w punkcie x 0, to EX = x 0, V X = 0 2 Rozkład zero-jedynkowy: X ma rozkład zero-jedynkowy, jeśli S X = {0, 1} oraz P (X = 0) = p (0; 1), P (X = 1) = 1 p Dystrybuanta tego rozkładu ma postać 0, x < 0 F (x) = p, 0 x < 1 1, x 1 Ponadto EX = 1 p, V X = p(1 p) Przykład modelu: Rzucamy symetryczną monetą Jeśli przyjmiemy, że 0, gdy wypadnie orzeł X = 1, gdy wypadnie reszka to funkcja prawdopodobieństwa rozkładu zmiennej losowej X będzie postaci To oznacza, że X ma rozkład zero-jedynkowy P (X = 0) = P (X = 1) = Rozkład Bernoulliego (dwumianowy): X ma rozkład Bernoulliego z parametrami n i p (X B(n, p)), gdzie p (0, 1) i n N, jeśli S X = {0, 1,, n} oraz n P (X = k) = p k (1 p) n k k Zmienną losową o rozkładzie dwumianowym można interpretoważ jako liczbę sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego, jeśli prawdopodobieństwo sukcesu w jednym doświadczeniu wynosi p Jeśli X B(n, p), to EX = np, V X = np(1 p) 1,

7 4 Rozkład geometryczny: X ma rozkład geometryczny z parametrem p (0, 1) (X g(p)), jeśli S X = N oraz P (X = k) = (1 p) k 1 p Uwaga Zmienną losową o rozkładzie geometrycznym można interpretować jako liczbę prób do pierwszego sukcesu w schemacie Bernoulliego Przykład modelu: Rzucamy monetą P (O) = 2 Niech X oznacza liczbę rzutów do momentu, aż pojawi się po 5 raz pierwszy orzeł Wtedy P (X = k) = 1 2 k 1 2, k = 1, 2,, 5 5 to znaczy X ma rozkład geometryczny z parametrem p = 2 5 Dla rozkładu geometrycznego spełniona jest własność "braku pamięci"(własność Markowa): Twierdzenie 1 Jeśli X ma rozkład geometryczny z parametrem p, to dla dowolnych n, m N P (X > n + m X > n) = (1 p) m = P (X > m) Dowód P (X > n + m X > n) = = P (X > n + m X > n) = P (X > n) p(1 p) k 1 k=n+m+1 k=n+1 p(1 p) k 1 = P (X > n + m) P (X > n) p(1 p) n+m p(1 p) n = (1 p) m = P (X > m) = Jeśli X g(p), to EX = 1 p, V X = p 1 p 2 5 Rozkład Poissona: Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0 (X P (λ)), jeśli S X = N {0} oraz λ λk P (X = k) = e k! Wartości prawdopodobieństw dla rozkładu Poissona są stablicowane Zmienna losowa o rozkładzie Poissona może być interpretowana jako liczba awarii systemu, liczba klientów zgłaszających się do banku, liczba samochodów przejeżdżających przez określony punkt drogi w określonym przedziale czasowym, liczba cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną w ustalonych odstępach czasu

8 Rozkład Poissona ma związek z rozkładem Bernoulliego: Dla dużych n n p k (1 p) n k e λ λk k k!, gdzie λ = np Przybliżenie to jest dla celów praktycznych wystarczająco dokładne gdy n 50, p 0, 1 Jeśli X P (λ), to EX = V X = λ 2 Rozkłady ciagłe 1 Rozkład jednostajny: Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a; b] (X U([a; b])), jeśli jej funkcja gęstości oraz dystrybuanta mają postać f(x) = 1 b a, x < a ; b > 0, x / < a ; b >, F (x) = 0, x a x a b a, a < x b 1, x > b Zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [a; b] można interpretować jako wynik eksperymentu polegającego na losowym i "jednostajnym"wyborze wartości z odcinka [a; b] Jeśli X U([a; b]), to EX = a + b 2 V X = (b a) Rozkład normalny (Gaussa): Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m i σ 2, gdzie m R oraz σ > 0 (X N(m, σ 2 )), jeśli jej funkcja gęstości jest postaci f(x) = 1 2π σ exp (x m)2 2σ 2 Szczególny przypadek: Standardowy rozkład normalny Rozkład N(0, 1) nazywany jest standardowym rozkładem normalnym Jeśli X N(0, 1), to f(x) = 1 2π exp x2 2 Dystrybuantę rozkładu normalnego N(0, 1) oznaczać będziemy symbolem F(x): F(x) = 1 x exp 12 2π t2 dt Wyznaczanie prawdopodobie/nstw dla zmiennych losowych o rozkładach N(m, σ 2 ): Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0, 1) jest stablicowana Za jej pomocą można obliczyć wartości dystrybuanty dla dowolnej zmiennej losowej o rozkładzie N(m, σ 2 ):

9 x m Jeśli X N(m, σ 2 ), to F X (x) = F σ W szczególności, jeśli X N(m, σ 2 ), to b m P (X < b) = P (X b) = F ; σ P (a < X < b) = P (a X b) = P (a < X b) = P (a X < b) = F X (b) F X (a) b m a m = F F σ σ Często korzysta się z tablic funkcji Φ(x), gdzie Φ jest funkcją Laplace a Definicja 1 Funkcja Lapalce a nazywamy funkcję Φ taką, że Φ(x) df = 1 2π x 0 exp u2 du 2 Twierdzenie 2 Funkcja Laplace a ma następujace własności: (a) Φ(x) jest funkcja nieparzysta; (b) Dla każdego x R F(x) = 0, 5 + Φ(x), x 0 0, 5 Φ( x), x < 0 Twierdzenie 3 (Reguła trzech sigm) Jeśli X N(m, σ 2 ), to Dowód Jeśli X N(m, σ 2 ), to P (X / [m 3σ, m + 3σ]) = 0, 0027 P ( X m 3σ) = P (X [m 3σ, m + 3σ]) = F X (m + 3σ) F X (m 3σ) = = F(3) F( 3) = 2 Φ(3) = = Zatem P (X / [m 3σ, m + 3σ]) = = 0, 0027 Z reguły trzech sigm wynika, że jeśli X N(m, σ 2 ), to szansa przyjęcia przez zmienną losową X wartości poza przedziałem [m 3σ, m + 3σ] jest bliska zeru Jeśli X N(m, σ 2 ), to EX = m, V X = σ 2

10 Wykład szósty Zmienne losowe dwuwymiarowe Definicja 1 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi określonymi na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) Funkcję X = (X, Y ) : Ω R 2 nazywamy zmienna losowa dwuwymiarowa Rozkład łaczny zmiennej losowej - rozkład wektora (X, Y ) 1 Typy rozkładów zmiennych losowych dwuwymiarowych 11 Rozkład dyskretny Definicja 2 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład dyskretny, jeśli istnieje przeliczalny zbiór S XY R 2 taki, że 1 P (X = x, Y = y) > 0 dla każdego punktu (x, y) S XY ; 2 P (X = x, Y = y) = 1 (x,y) S XY Wtedy S XY nazywamy zbiorem punktów skokowych rozkładu zmiennej losowej (X, Y ) Definicja 3 Jeśli (X, Y ) ma rozkład dyskretny i dla każdego punktu (x, y) S XY znajdziemy P (X = x, Y = y), to wyznaczymy funkcję prawdopodobieństwa rozkładu zmiennej losowej (X, Y ) Twierdzenie 1 Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym jednoznacznie wyznacza jej rozkład 12 Rozkład ciagły Definicja 4 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład ciagły, jeśli istnieje funkcja f XY : R 2 R zwana gęstościa rozkładu zmiennej zmiennej losowej (X, Y ) taka że F XY (x, y) = x y gdzie F XY jest dystrybuantą zmiennej losowej (X, Y ) f XY (u, t)du dt, Twierdzenie 2 Funkcja f : R 2 R jest gęstościa dwuwymiarowej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy, gdy 1 2 f(x, y) 0 prawie wszędzie f(x, y)dx dy = 1; Twierdzenie 3 Jeśli funkcja f : R 2 R jest gęstościa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ), to: 1 2 F XY x y (x, y) = f(x, y) prawie wszędzie; 2 Dla każdego A B(R 2 ) zachodzi P ((X, Y ) A) = A f(x, y)dx dy Twierdzenie 4 Funkcja gęstości jednoznacznie wyznacza rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej o rozkładzie ciagłym 1

11 2 Dystrybuanta zmiennej losowej dwuwymiarowej Definicja 5 Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) nazywamy funkcję F XY : R 2 [0; 1] daną wzorem F XY (x, y) = P (X x, Y y) Własności dystrybuanty dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) Twierdzenie 5 Dla dowolnych x 1 < x 2, y 1 < y 2 zachodzi równość P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = F XY (x 2, y 2 ) F XY (x 1, y 2 ) F XY (x 2, y 1 ) + F XY (x 1, y 1 ) Twierdzenie 6 Funkcja F : R 2 R jest dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy, gdy 1 y R lim F (x, y) = 0, x lim x R y F (x, y) = 0, lim 2 Funkcja F jest niemalejaca ze względu na każda zmienna; F (x, y) = 1; x + y + 3 Funkcja F jest co najmniej prawostronnie ciagła ze względu na każda zmienna; 4 F (x 2, y 2 ) F (x 1, y 2 ) F (x 2, y 1 ) + F (x 1, y 1 ) 0 y 1 <y 2 x 1 <x 2 Twierdzenie 7 Dla dowolnych a, b R zachodzi równość P (X = a, Y = b) = F XY (a, b) + F XY (a, b ) F XY (a, b) F XY (a, b ) Uwaga Dystrybuanta zmiennej losowej dwuwymiarowej jednoznacznie wyznacza jej rozkład łaczny Jeśli znajdziemy osobno rozkład dla zmiennej losowej X i osobno rozkład dla Y, to otrzymamy rozkłady brzegowe 3 Rozkłady brzegowe zmiennych losowych dwuwymiarowych 31 Dystrybuanty brzegowe Twierdzenie 8 Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarowa zmienna losowa o dystrybuancie F XY Wówczas F X (x) = F Y (y) = lim F XY (x, y) dystrybuanta brzegowa zmiennej losowej X, y + lim F XY (x, y) dystrybuanta brzegowa zmiennej losowej Y x + 32 Rozkłady brzegowe zmiennej losowej o łacznym rozkładzie dyskretnym Twierdzenie 9 Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład dyskretny wtedy i tylko wtedy, gdy rozkłady brzegowe zmiennych X i Y też sa dyskretne Ponadto 1 S XY S X S Y ; 2 P (X = x k ) = P (X = x k, Y = y j ) rozkład brzegowy zmiennej losowej X, j: (x k,y j ) S XY P (Y = y j ) = P (X = x k, Y = y j ) rozkład brzegowy zmiennej losowej Y k: (x k,y j ) S XY

12 32 Rozkłady brzegowe zmiennej losowej o łacznym rozkładzie ciagłym Twierdzenie 10 Jeśli zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład ciagły, to rozkłady brzegowe zmiennych losowych X i Y też sa ciagłe Ponadto f X (x) = f Y (y) = + + f XY (x, y)dy gęstość brzegowa zmiennej losowej X, f XY (x, y)dx gęstość brzegowa zmiennej losowej Y

13 1 Niezależność zmiennych losowych Wykład siódmy Niezależność zmiennych losowych Definicja 1 Jednowymiarowe zmienne losowe X, Y określone na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy niezależnymi, jeżeli dla wszystkich zbiorów borelowskich B 1, B 2 zachodzi równość P (X B 1, Y B 2 ) = P (X B 1 ) P (Y B 2 ) Zmienne losowe, które nie są niezależne, nazywamy zależnymi Twierdzenie 1 Zmienne losowe X, Y sa niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x, y R F XY (x, y) = F X (x) F Y (y) Przykład 1 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład określony dystrybuantą 0 x 0 y 0 x 0 < x 1 y x F (x, y) = y 0 < y 1 x > y 1 x > 1 y > 1 Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y Wyznaczymy dystrybuanty brzegowe: 0, x 0 F X (x) = x, 0 < x 1 1, x > 1, F Y (y) = 0, y 0 y, 0 < y 1 1, y > 1 Zauważmy, że X i Y mają rozkłady ciągłe mimo, że rozkład łączny nie jest ciągły Sprawdzimy, czy F X (x) F Y (y) = F (x, y) Mamy: 0 x 0 y 0 xy 0 < x 1 0 < y 1 F X (x) F Y (y) = x 0 < x 1 y > 1 = F (x, y) y x > 1 0 < y 1 1 x > 1 y > 1 Zatem X i Y nie są niezależne (są zależne) Twierdzenie 2 (Niezależność zmiennych losowych o rozkładach dyskretnych) Zmienne losowe X i Y o rozkładach dyskretnych sa niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy 1 S XY = S X S Y ; 2 Dla każdego punktu (x, y) S XY P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) Twierdzenie 3 (Niezależność zmiennych losowych o łacznym rozkładzie ciagłym) Zmienne losowe X i Y o łacznym rozkładzie ciagłym sa niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy prawie wszędzie f XY (x, y) = f X (x) f Y (y) Twierdzenie 4 Jeśli zmienne losowe X i Y sa niezależne oraz g 1, g 2 sa funkcjami takimi, że, g 1 (X), g 2 (Y ) tez sa zmiennymi losowymi, to g 1 (X) i g 2 (Y ) również sa niezależne

14 Charakterystyki liczbowe wielowymiarowych zmiennych losowych 1 Wartość oczekiwana Definicja 1 Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarowa zmienna losowa taka, że istnieja EX i EY Wartościa oczekiwana zmiennej losowej (X, Y ) nazywamy wektor (EX, EY ) Twierdzenie 1 Niech g(x, Y ) będzie jednowymiarowa zmienna losowa Wtedy: 1 Jeśli (X, Y ) ma rozkład dyskretny, to E (g(x, Y )) = 2 Jeśli (X, Y ) ma rozkład ciagły, to E (g(x, Y )) = (x,y) S XY g(x, y) P (X = x, Y = y) + + Twierdzenie 2 Jeśli X, Y sa niezależnymi zmiennymi losowymi, to 2 Kowariancja g(x, y)f XY (x, y) dxdy E (g 1 (X) g 2 (Y )) = E (g(x)) E (g 2 (Y )) Definicja 2 Kowariancja zmiennych losowych X i Y, dla których istnieja EX, EY, E(XY ), nazywamy liczbę cov(x, Y ) = E(X EX)(Y EY ) Twierdzenie 3 cov(x, Y ) = E(X Y ) EX EY Własności kowariancji: Niech X, Y, X 1, X 2, Y 1, Y 2 będą jednowymiarowymi zmiwnnymi losowymi Wtedy: 1 cov(x, Y ) = cov(y, X); 2 cov(x, X) = V X; 3 cov(a, X) = 0 dla a R; 4 cov(ax + b, cy + d) = a c cov(x, Y ) dla a, b, c, d R; 5 cov(ax 1 + bx 2, cy 1 + dy 2 ) = a c cov(x 1, Y 1 ) + a d cov(x 1, Y 2 ) + b c cov(x 2, Y 1 ) + b d cov(x 2, Y 2 ) Twierdzenie 4 Jeśli X i Y sa zmiennymi losowymi, dla których istnieja wariancje, to V (X + Y ) = V X + 2cov(X, Y ) + V Y, V (X Y ) = V X 2cov(X, Y ) + V Y Definicja 3 Zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi, jeśli cov(x, Y ) = 0 Uwaga Jeśli X i X są nieskorelowane, to V (X + Y ) = V (X Y ) = V X + V Y Uwaga Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to cov(x, Y ) = 0 Ale: z tego, że X i Y są nieskorelowane nie wynika, że są niezależne! Wyjątkiem jest rozkład normalny: Jeśli (X, Y ) ma rozkład normalny, to X i Y są niezależne cov(x, Y ) = 0

15 3 Współczynnik korelacji Definicja 4 Niech X i Y będa zmiennymi losowymi takimi, że V X > 0 i V Y > 0 Współczynnikiem korelacji zmiennych X i Y nazywamy liczbę ρ(x, Y ) = cov(x, Y ) V X V Y Własności współczynnika korelacji: 1 ρ(x, Y ) 1; 2 ρ(x, Y ) = 1 istnieją a, b R takie, że Y = ax + b (istnieje liniowa zależność między X i Y ); 3 X i Y są nieskorelowane ρ(x, Y ) = 0

16 Wykład ósmy Centralne Twierdzenie Graniczne Twierdzenie 1 Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Levy ego Niech (X k ) n k=1 będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie takich, że EX k = m, V X k = σ 2 dla każdego k = 1,, n Niech S n = n k=1 X k Wtedy dla dowolnych a, b R takich, że a < b lim P a < S n n m n σ n < b = F(b) F(a) (1) Twierdzenie 2 Twierdzenie Moivre a-laplace a Jeśli (X k ) n k=1 jest ciagiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie zero-jedynkowym takim, że P (X k = 1) = p dla każdego k = 1, n, to wzór (1) przyjmuje postać lim P S n n p a < < b = F(b) F(a) n n p (1 p) Przykład 2 Zakładając, że prawdopodobieństwa urodzenia chłopca i dziewczynki są takie same oszacować prawdopodobieństwo, że wśród mieszkańców pewnego miasteczka, będzie przynajmniej kobiet Rozwiazanie: Niech (X k ) k=1 będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że X k = 1, jeśli k-ta osoba jest kobietą 0, jeśli k-ta osoba jest mężczyzną Wtedy S jest zmienną losową oznaczającą liczbę kobiet w miasteczku Zauważmy, że dla każdego k = 1,, P (X k = 1) = p = 0, 5, P (X k = 0) = 0, 5 Zatem zmienne losowe X k mają rozkłady zero-jedynkowe Z twierdzenia 2 mamy zatem P (S > ) = 1 P (S ) S , 5 = 1 P , 5 0, 5 1 F( 632, 46) , , 5 0, 5