Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

2 rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie dyskretnym, skupionym na zbiorze {s 1, s 2,... }, wówczas Eh(X ) = h(s i ) P(X = s i ) i

3 rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie dyskretnym, skupionym na zbiorze {s 1, s 2,... }, wówczas Eh(X ) = h(s i ) P(X = s i ) i Nowe! Jeśli (X, Y ) jest wektorem losowym o rozkładzie dyskretnym, skupionym na zbiorze {(s 1, t 1 ), (s 2, t 2 ),... }, wówczas Eh(X, Y ) = i h(s i, t i ) P(X = s i, Y = t i )

4 Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Bolek postawił na czerwone a Tola postawił na pierwsze 12; Jeśli Bolek wygra dostaje 1 żeton. Tola za wygraną otrzymuje 2 żetony. W przypadku przegranej tracą żeton. X A wygrana Bolka oraz X C wygrana Toli. Wyznacz E(X A X C ). Rozkład: P (X A = 1, X C = 1) = 13 37,P (X A = 1, X C = 2) = 6 P (X A = 1, X C = 1) = 12 37, P (X A = 1, X C = 2) = ,

5 rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością f, wówczas Eh(X ) = h(x) f (x) dx R

6 rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością f, wówczas Eh(X ) = h(x) f (x) dx R Nowe! Jeśli (X, Y ) jest wektorem losowym o rozkładzie ciągłym z gęstością f, wówczas Eh(X, Y ) = h(x, y) f (x, y) dx dy R 2

7 Przykład: rozkład jednostajny / prawdopodobieństwo geometryczne Przykład 2 Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie z ilustracji tzn. gęstość (X, Y ) jest dana wzorem { 2 dla 0 1 x y 1, f (x, y) = 0 dla pozostałych (x, y). Wyznacz E(X Y ).

8 wartość oczekiwana i niezależność Przypomnienie Dla dowolnych zmiennych losowych X 1,..., X n E(X X n ) = EX EX n. Ważne Twierdzenie! Jeśli zmienne losowe X 1, X 2,..., X n są niezależne, to EX 1... X n = EX 1... EX n

9 wartość oczekiwana i niezależność Ważne Twierdzenie! Jeśli zmienne losowe X 1, X 2,..., X n są niezależne, to EX 1... X n = EX 1... EX n Przykład 3 (X, Y ) rozkład jednostajny na kwadracie [0, 1] 2 tzn. { 1 dla 0 x, y 1, f (x, y) = 0 dla pozostałych (x, y), f X (x) = { 1 dla 0 < x < 1, 0 w.p.p. f Y (y) = { 1 dla 0 < y < 1, 0 w.p.p. Wyznacz E(XY ) (bezpośrednio i korzystając z twierdzenia).

10 wariancja, przypomnienie Przypomnienie Wariancją zmiennej losowej X nazywamy VarX = E ( (X EX ) 2) Przypomnienie VarX = EX 2 (EX ) 2

11 Definicja Jeśli zmienne losowe X i Y mają wartości oczekiwane oraz E XY <, wówczas ich kowariancja jest zdefiniowana jako cov(x, Y ) = E [ (X EX )(Y EY ) ]

12 Definicja Jeśli zmienne losowe X i Y mają wartości oczekiwane oraz E XY <, wówczas ich kowariancja jest zdefiniowana jako cov(x, Y ) = E [ (X EX )(Y EY ) ] Fakt (prosty wzór na liczenie kowariancji) cov(x, Y ) = EXY EX EY Dowód:...

13 Nierówność Schwarza Jeśli EX 2 <, EY 2 <, wówczas ( E XY ) 2 EX 2 EY 2 a równość zachodzi wtw Dowód: X = ± Y (EX 2 ) 1/2 (EY 2 ) 1/2

14 Nierówność Schwarza Jeśli EX 2 <, EY 2 <, wówczas ( E XY ) 2 EX 2 EY 2 a równość zachodzi wtw Dowód: Wniosek X = ± Y (EX 2 ) 1/2 (EY 2 ) 1/2 cov(x, Y ) VarX VarY a równość zachodzi wtw X i Y są liniowo zależne (tzn. X = ay + b dla pewnych a, b R) Dowód:

15 Wniosek cov(x, Y ) VarX VarY a równość zachodzi wtw X i Y są liniowo zależne (tzn. X = ay + b dla pewnych a, b R) współczynnik korelacji zadany jest wzorem ρ(x, Y ) = cov(x, Y ) VarX VarY = cov(x, Y ) σ X σ Y Wniosek 1 ρ(x, Y ) 1 oraz ρ(x, Y ) = 1 wtw X i Y są liniowo zależne.

16 Przykład 4 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2], Y = 3X 2 Oblicz cov(x, Y ) oraz ρ(x, Y )

17 Przykład 4 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2], Y = 3X 2 Oblicz cov(x, Y ) oraz ρ(x, Y ) Przykład 5 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2], Y = 2X + 4 Oblicz cov(x, Y ) oraz ρ(x, Y )

18 Przykład 4 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2], Y = 3X 2 Oblicz cov(x, Y ) oraz ρ(x, Y ) Przykład 5 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2], Y = 2X + 4 Oblicz cov(x, Y ) oraz ρ(x, Y ) Przykład 6 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [ 1, 1], Y = X 2 Oblicz cov(x, Y ) oraz ρ(x, Y ) (Wsk.: EX k = 0 dla k nieparz. i EX k = 1 k+1 dla k parz.)

19 W ogólności Jeśli współczynnik korelacji ρ(x, Y ) bliski jest +1, świadczy to o jakimś związku pomiędzy zmiennymi losowymi (duży X duży Y ; mały X mały Y ) Jeśli współczynnik korelacji ρ(x, Y ) bliski jest 1, świadczy to o jakimś związku pomiędzy zmiennymi losowymi (duży X mały Y ; mały X duży Y ) Jeśli współczynnik korelacji ρ(x, Y ) bliski jest 0, to hipotetyczny związek między zmiennymi losowymi jest daleki od zależności liniowej

20 ρ = 0.95

21 ρ = 0.6

22 ρ = 0.3

23 ρ = 0

24 ρ = 0.3

25 ρ = 0.6

26 ρ = 0.95

27 ρ = 0.95

28 ρ = 0.95

29 ρ = 0.95

30 ρ = 0.95

31 ρ = 0

32 Definicja Jeśli cov(x, Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi.

33 Definicja Jeśli cov(x, Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi. Przypomnienie Jeśli X i Y są niezależne, to EXY = EX EY. Fakt Jeśli zmienne losowe X oraz Y są niezależne, to są one nieskorelowane, czyli cov(x, Y ) = 0 oraz ρ(x, Y ) = 0

34 Definicja Jeśli cov(x, Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi. Przypomnienie Jeśli X i Y są niezależne, to EXY = EX EY. Fakt Jeśli zmienne losowe X oraz Y są niezależne, to są one nieskorelowane, czyli cov(x, Y ) = 0 oraz ρ(x, Y ) = 0 UWAGA!!! cov(x, Y ) = 0 X i Y niezależne.

35 Różnica między zmiennymi losowymi niezależnymi a nieskorelowanymi X i Y niezależne cov(x, Y ) = 0 (tzn. X i Y nieskorelowane i EXY = EX EY ) cov(x, Y ) = 0 (tzn. X i Y nieskorelowane i EXY = EX EY ) X i Y niezależne Przykład 7 Dla wektora losowego (X, Y ) z rozkładem zadanym tabelą pokaż, że cov(x, Y ) = 0 ale X i Y są zależne. Y X

36 Przypomnienie dla dowolnych stałych a, b R oraz dowolnej zmiennej losowej X Var(aX + b) = a 2 VarX E(aX + b) = aex + b E(X 1 + X 2 ) = EX 1 + EX 2

37 1 2 cov(x, X ) = VarX cov(x, Y ) = cov(y, X ), 3 kowariancja jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, czyli dla dowolnych a, b R oraz zmiennych losowych X 1, X 2, Y Dowód: cov(x 1 + X 2, Y ) = cov(x 1, Y ) + cov(x 2, Y ) cov(ax 1 + b, Y ) = a cov(x 1, Y )

38 1 2 cov(x, X ) = VarX cov(x, Y ) = cov(y, X ), 3 kowariancja jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, czyli dla dowolnych a, b R oraz zmiennych losowych X 1, X 2, Y cov(x 1 + X 2, Y ) = cov(x 1, Y ) + cov(x 2, Y ) cov(ax 1 + b, Y ) = a cov(x 1, Y ) Uwaga: z 1, 2 i 3 wynika też, że cov(y, X 1 + X 2 ) = cov(y, X 1 ) + cov(y, X 2 ) cov(y, ax 1 + b) = a cov(y, X 1 )

39 1 2 cov(x, X ) = VarX cov(x, Y ) = cov(y, X ), 3 kowariancja jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, czyli dla dowolnych a, b R oraz zmiennych losowych X 1, X 2, Y cov(x 1 + X 2, Y ) = cov(x 1, Y ) + cov(x 2, Y ) cov(ax 1 + b, Y ) = a cov(x 1, Y ) Przykład 8 Wiemy, że cov(x i, X j ) = 1, 1 i < j 3 i VarX i = 2, 1 i 3. Wyznacz cov(2x 1 + 7X 2 + 5, 3X 1 2X 3 + 4) =?

40 Twierdzenie Jeśli zmienne losowe X 1,..., X n mają wariancję, to istnieje wariancja ich sumy i Var(X X n ) = 1 i n VarX i i<j n cov(x i, X j ) Dowód dla n = 2

41 Twierdzenie Jeśli zmienne losowe X 1,..., X n mają wariancję, to istnieje wariancja ich sumy i Var(X X n ) = 1 i n VarX i i<j n cov(x i, X j ) Dowód dla n = 2 Wniosek Jeśli zmienne losowe X 1,..., X n mają wariancję i są parami nieskorelowane (np. są niezależne), to Var(X X n ) = 1 i n VarX i

42 Przypomnienie Jeśli zmienne losowe X 1,..., X n mają wariancję, to istnieje wariancja ich sumy i Var(X X n ) = 1 i n VarX i i<j n cov(x i, X j ) Przykład 9 Zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny z parametrami n, m i N oblicz VarX.

43 Przypomnienie Jeśli zmienne losowe X 1,..., X n mają wariancję i są parami nieskorelowane (np. są niezależne), to Var(X X n ) = 1 i n VarX i Przykład 10 Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p oblicz VarX

44 Przypomnienie Jeśli zmienne losowe X 1,..., X n mają wariancję i są parami nieskorelowane (np. są niezależne), to Var(X X n ) = 1 i n VarX i Przykład 10 Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p oblicz VarX Przykład 11 Korzystając ze znajomości wariancji zmiennej losowej o rozkładzie geometrycznym z parametrem p (równa (1 p)/p 2 ), wyznacz wariancję zmiennej losowej o rozkładzie ujemnym dwumianowym z parametrami r i p.

45 Rozkłady łączne - krótkie podsumowanie wektor losowy (X, Y ) o rozkładzie dyskretnym o rozkładzie ciągłym definicja opis rozkładu P (X B) = własności rozkładu F (s, t) = dystrybuanta w punkcie (s, t) R 2 rozkłady brzegowe niezależne gdy Eh(X, Y ) = skupiony na przeliczalnej liczbie wartości (atomów) A = {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...} podanie prawdopodobieństw atomów P (X = x, Y = y) dla (x, y) A = {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...} istnieje funkcja f (gęstość) taka, że P ((X, Y ) B) = B f (x, y) dx dy podanie gęstości f : R 2 R + (x,y) B P (X = x, Y = y) B f (x, y)dx dy 2 Jeśli A zb. atomów f (x, y) 0, (x, y) R (x,y) A P (X = x, Y = y) = 1 R 2 f (x, y)dx dy = 1 t = x i s y i t P (X = x i, Y = y i ) A zbiór atomów P (X = x) = P (X = x, Y = y) y:(x,y) A P (Y = y) = P (X = x, Y = y) x:(x,y) A i P (X = x i, Y = y i ) = P (X = x i ) P (Y = y i ) i h(x i, y i )P (X = x i, Y = y i ) f X (x) = f Y (y) = ( s f (x, y)dx ) dy f (x, y)dy R f (x, y)dx R f (x, y) = f X (x)f Y (y) dla prawie wszystkich (x, y) R 2 h(x, y)f (x, y)dx dy