Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz dzidziny następujących funkcji: ) f ) f 5) log 6 ) f ) f 7 Zadani Oblicz granic funkcji: log f 5 6) f 7 8 ) ) ) 8 7 ) 5) 6) 7) 8) 9) 5 5 7 7 7 6 0) 6 ) ) 9) 0) ) ) ) 9 ) 5) 6) 7) 8) ) 0 0 sin 0 5 sin ) 5 0 5) 6) 7) tg 0 8 sin8 0 sin 5 7 Zadani Oblicz granic jdnostronn funkcji: ) 8 6) ln ) 0 5 6) 6 ) ) ) 5) 8 sin ln 7) log 0 8) log 0 9) 0 0) 0 ) ) ) 5) 0 5 7) 0 8) 0 9) 6 0) 6 9 6 9 sin 0 sin 0
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz asymptoty następujących funkcji: 6 ) f ) f 7) f 0) f ln ln ) f 5) f 8) f ) f 7 6 5 ) f 9 6) f 9) f ) Zadani 5 Oblicz pochodn następujących funkcji: 5 ) f 7) f ) ln ) f 6 7 5 8) f sin ) f sin 9) f f ) f sin ln 5) f f ln ln ) f log tg 0) f cos 6) 5 f sin 5) f ) f 7) f 5 6) 0 f ) f sin 8) f sin cos5 Zadani 6 Za pomocą różniczki znajdź przybliżni liczby: ) 8, 0 ) 0,0 ) 5 ) 99 ln 0, 5) 0,98ln 0, 98 Zadani 7 Oblicz granic (zastosowani twirdznia d l'hȏspitala): ) ) ln 5 5 sin 6) 0 ) ln ) 0 5) ln 9) 7) 8) 0 0 sin 0) ) 0 sin ln cos ) ln 0 sin ) ctg cos 0 cos 0 sin ) 6) 0 5) 0 tg
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani 8 Wyznacz przdziały monotoniczności następujących funkcji: ) f ) f 5 7) ) 6 9 f 7 5) f f 6) f ) Zadani 9 Wyznacz kstrma następujących funkcji: f 8) f ln 9) f ) f ) f 5 7) ) 6 9 f 7 5) f f 6) f ) Zadani 0 cos f 8) f ln 9) f cos Wyznacz przdziały wypukłości i wklęsłości następujących funkcji oraz ich punkty przgięcia: ) 9 f 5 ) f 7) f ) f 5) f 8) 8 ) f 6) f sin Zadani Zbadaj przbig zminności następujących funkcji i sporządź ich wykrsy: f ln f ln ln 9) ) f ) f ) f ) Zadani Q d f Nich P oznacza cnę dango dobra w zł, oznacza wilkość popytu na dan dobro w sztukach, wtdy jst funkcją popytu dango dobra względm cny Dla podanych funkcji popytu: Q d ) Q d P 0 5P ) ln P ) d P n P k Q, gdzi k i n są dodatnimi stałymi P Q d P wyznacz: a) dzidzinę b) zbiór wartości funkcji c) popyt krańcowy (+ intrprtacja) d) lastyczność cnową popytu (+ intrprtacja) ) funkcję przychodu całkowitgo f) przychód krańcowy (+ intrprtacja) g) lastyczność cnową przychodu (+ intrprtacja) oraz zbadaj dla jakij cny: h) popyt jst lastyczny i) popyt jst nilastyczny j) przychód osiąga wartość największą
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Koszt zminny wyprodukowania jdnostk pwngo dobra dany jst funkcją VC 69 56, a koszty stał produkcji FC wynoszą 60 Cna tgo dobra, przy którj popyt jst równy podaży, dana jst funkcją P Skonstruuj funkcję zysku i odpowidz na pytania: a) Przy jakij wilkości produkcji opłaca się wytwarzać to dobro? b) Przy jakij wilkości produkcji zysk jst maksymalny? Il wynosi zysk maksymalny? Zadani Nich funkcja kosztów przciętnych pwngo przdsiębiorstwa wyraża się wzorm AC 0, 0, 0 a) Znajdź lastyczność kosztu przciętngo b) Znajdź lastyczność kosztu całkowitgo c) Jaki związk zachodzi pomiędzy lastycznością kosztu całkowitgo i lastycznością kosztu przciętngo w tym przypadku? d) Czy wniosk z punktu c) da się uogólnić?
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani ) R \ ; ODPOWIEDZI DO ZADAŃ 5) 9 ; ) ; ; \ ; ) ; ) ; \ Zadani 6) ;,6 ; ) ) 6 ) 5) 7) 60 8) ) 6) 0 9) 6 7 0) ) ) ) ) 5) 0 6 6) 7) 8) 7 6 9) 0) ) 6 5 ) ) ) 5) 6) 6 7) 0 Zadani ) ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9) ) 6) ) ) ) 5 7) 8) 9) 0) 0 5) 8 0) 8 Zadani ) y 0 asymptota pozioma obustronna, asymptota pionowa obustronna ) y asymptota pozioma obustronna, asymptota pionowa obustronna ) Brak asymptot ) asymptota pionowa obustronna, y asymptota ukośna obustronna 5) asymptota pozioma obustronna, asymptota pionowa obustronna, y asymptota pionowa obustronna 6) asymptota pionowa obustronna, y asymptota pozioma obustronna 7) y asymptota ukośna prawostronna 8) asymptota pionowa obustronna, 5 y 8 asymptota ukośna obustronna asymptota pionowa obustronna, 9) 0 asymptota pionowa prawostronna, y asymptota ukośna obustronna 0) asymptota pionowa obustronna ) y asymptota pozioma obustronna, asymptota pionowa lwostronna, 0 asymptota pionowa prawostronna ) asymptota pionowa prawostronna, y asymptota ukośna lwostronna, y asymptota ukośna prawostronna 5
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani 5 Wzory na pochodn funkcji lmntarnych: C 0 a a ln a gdzi C jst stałą 0 a 0 ln,, R a loga a 0, a, ln a sin cos cos sin Podstawow twirdznia rachunku różniczkowgo: C f C f f g f g f g f g f g f g f g f g g f g f g g ) f 6 ) f ) f sin cos ) f 7) ln 5) 5 9 f 6) f 0 5 ln cos 6 5 5 f 8) f 7sin cos 6 5 5 9) f ln 0) f cos sin ) f 6ln 0 ) f cos ) f ) f sin ln cos ln sin 5) f 6) ln 7 0 sin f 0 7) f cos ln 8) f 5sin cos5 coscos5 sin 5 Zadani 6 Wskazówka: f 0 d f 0 f 0 d ),0008 ), 0, Zadani 7 ) 5) 6) ) 9875 ) 0, 0 5) 0, 0 9) ) 0) ) 0 ) 0 7) ) 5) ) 0 8) ) 6) 0 ) 0 sin 5 6
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani 8 ) Funkcja jst rosnąca w przdzial ) Funkcja jst rosnąca w przdziałach,, ) Funkcja jst rosnąca w przdziałach, ) Funkcja jst rosnąca w przdziałach 5) Funkcja jst rosnąca w przdzial, oraz maljąca w przdzial,,,,, 6) Funkcja jst rosnąca w przdzial 7) Funkcja jst rosnąca w przdziałach, oraz maljąca w przdziałach,, 8) Funkcja jst rosnąca w przdzial,, 9) Funkcja jst maljąca w zbiorz R Zadani 9 0,,,, oraz maljąca w przdzial,, oraz maljąca w przdzial,,,, oraz maljąca w przdzial,, oraz maljąca w przdziałach,,, oraz maljąca w przdziałach,,,,,,,,, oraz maljąca w przdzial,0 f min ) f ma 7, f 6 min ) f ma 7, ) f, f 7 5) f, ma min f min f ma ) f ma 6, min 6) f min, ma Zadani 0 ) Funkcja jst wypukła w przdzial,, wklęsła w przdzial, Punkt przgięcia funkcji to, 6 ) Funkcja jst wypukła w przdzial 0,, wklęsła w przdzial,0 ) Funkcja jst wypukła w przdziałach,0 Punkty przgięcia funkcji to i, 6 ) Funkcja jst wypukła w przdziałach,0 Punkt przgięcia funkcji to 5) Funkcja jst wypukła w przdzial,, wklęsła w przdzial, Punkt przgięcia funkcji to Punkt przgięcia funkcji to 0, 0 0, 0 0, 0, 9 6) Funkcja jst wypukła w przdziałach C, 7) f 0, f min 0 ln 8) min f 9) brak kstrmów 0, oraz,, wklęsła w przdzial oraz,, wklęsła w przdzial 0, k, k k, k, k k wklęsła w przdziałach C 0 Punkty przgięcia funkcji to k, k k C 7) Funkcja jst wypukła w przdzial,, wklęsła w przdzial, Punkt przgięcia funkcji to, 8) Funkcja jst wypukła w przdzial,, wklęsła w przdzial 0, Punkt przgięcia funkcji to, ln 6 9) Funkcja jst wypukła w przdzial,, wklęsła w przdziałach, oraz, Punkty przgięcia funkcji to, ln,, ln f ma 7
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani ) f Dzidzina: R \, Mijsca zrow: 0 Punkt przcięcia z osią OY: Asymptoty: a) pozioma: brak b) pionow: c) ukośna: y w 0,0 obustronna, 5 Przdziały monotoniczności: i obustronna, a) Funkcja jst rosnąca w przdziałach:,, b) Funkcja jst maljąca w przdziałach:,, 9 6 Ekstrma lokaln: f ma, 7 Przdziały wypukłości i wklęsłości: f min, a) Funkcja jst wypukła w przdziałach:, b) Funkcja jst wklęsła w przdziałach:, 8 Punkt przgięcia: 9 Wykrs: 0,0 9,0,,, 0,, 8
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Dzidzina: Mijsca zrow: 0 ) f R Punkt przcięcia z osią OY: Asymptoty: a) pozioma: y 0 w b) pionow: brak c) ukośna: brak 5 Przdziały monotoniczności: 0,0 i a) Funkcja jst rosnąca w przdzial:, b) Funkcja jst maljąca w przdziałach:, 6 Ekstrma lokaln:, f f ma 7 Przdziały wypukłości i wklęsłości: min,, a) Funkcja jst wypukła w przdzial:, b) Funkcja jst wklęsła w przdzial:, 8 Punkt przgięcia: 9 Wykrs: 0,0,0,, 0, 9
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj ) f R \ Dzidzina: Mijsca zrow: brak Punkt przcięcia z osią OY: Asymptoty: a) pozioma: brak b) pionow: c) ukośna: 0, obustronna y w 5 Przdziały monotoniczności: i a) Funkcja jst rosnąca w przdziałach: b) Funkcja jst maljąca w przdziałach: 6 Ekstrma lokaln: f 0, ma 7 Przdziały wypukłości i wklęsłości: a) Funkcja jst wypukła w przdzial: b) Funkcja jst wklęsła w przdzial: 8 Punkt przgięcia: brak 9 Wykrs:,0 0, f min,,,,,, 0
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj ) f Dzidzina: Mijsca zrow: R \ Punkt przcięcia z osią OY: 0, 7 Asymptoty: a) pozioma: brak b) pionow: obustronna c) ukośna: y 5 w i 5 Przdziały monotoniczności: a) Funkcja jst rosnąca w przdziałach:,0,, b) Funkcja jst maljąca w przdzial: 6 Ekstrmum lokaln: f ma 0 7 Przdziały wypukłości i wklęsłości: a) Funkcja jst wypukła w przdzial: b) Funkcja jst wklęsła w przdziałach: 8 Punkt przgięcia: 9 Wykrs:,0 7 0,,,,,
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani ) Q d P 0 5P a) D Q : P 0,8 b) : Q 0,0 ZW Q MQ P c) 5 d) P EQ D P P 8 ) R P 0P 5P Q d P ln ) P a) D Q : P 0, b) :Q 0, ZW Q P EQ D P ln P R P P Pln c) MQP d) ) P ) k Q d P AP a) D Q : P 0, b) : Q 0, ZW Q k c) MQ P AkP d) P k EQ D k ) R P AP MR P 00 f) P g) ER P P 8 P 8 h) EQ D P P,8 i) P P 0, EQ D j) P f) MRP ln P g) ERP ln P ln P h) P P, \ EQ D i) Brak takigo P j) P k f) MR P A k P ER P g) k h) P EQ D dla każdgo P, gdy k i) EQ D P dla każdgo P, gdy k 0, j) brak rozwiązania (al moż są jakiś uwagi?) Zadani 6 69 8 60 a),0 b) 7 Zadani a) EAC b) ETC 7 675 0, 0, 0 0, 6 0 0, 0 c) ETC EAC d) Tak Poniważ TC AC ETC, to: TC AC AC AC AC EAC TC AC AC AC