Rozdział 4. Pochodna funkcji jednej zmiennej 4.1. Pojęcie ilorazu różnicowego

Transkrypt

1 Rozdział 4 Pocodna unkcji jdnj zminnj 4 Pojęci ilorazu różnicowo W rozdzial przdstawiono sytuację Boba i sposób przwidywania jo dołka inansowo W rozdzial 4 zostani szczółowo omówiony matmatyczny aparat dzięki którmu możliw jst zbadani dowolnyc unkcji i wyznaczni ważnyc punktów na wykrsi unkcji np takic jak inansowy dołk Boba Funkcja jj matmatyczny zapis wzór unkcji i raiczn przdstawini wykrs unkcji zbiór arumntów i możliwyc wartości dzidzina i przciwdzidzina unkcji moą opisywać różn zjawiska i procsy: prędkość lub droę poruszania się obiktu w czasi ilość opadów dszczu w każdym dniu liczbę wyprodukowanyc komputrów czy stan studntów na zajęciac w danym dniu Tutaj czas czy dziń to arumnt unkcji a ic wartości to prędkość czy stan opadów Jżli np prędkość obiktu jst stała czyli przyspiszni równ zru to można tn akt przdstawić za pomocą unkcji stałj y = a+b = b czyli współczynnik kirunkowy a = odpowiada za przyspiszni Jżli prędkość obiktu rośni o pwną wilkość w jdnostc czasu czyli przyspiszni dodatni to można tn akt `przdstawić za pomocą rosnącj unkcji liniowj y = a+b czyli współczynnik kirunkowy a > odpowiada dodatnimu przyspiszniu Jżli natomiast prędkość obiktu malj o stałą wilkość w jdnostc czasu czyli przyspiszni ujmn to można tn akt przdstawić za pomocą maljącj unkcji liniowj y = a+b czyli współczynnik kirunkowy a < odpowiada ujmnmu przyspiszniu- opóźniniu rys 4 Wzory unkcji możmy znalźć w każdj dzidzini nauki Na przykład alorytmy wymaają wykonania pwnj liczby działań w clu otrzymania wyniku Liczba opracji a n w zalżności od n danyc moż wynosić np 5n+7 mówimy wtdy o liniowj złożoności alorytmu dla inno alorytmu a n = n złożoność kwadratowa a n = lon złożoność loarytmiczna lub a n = n złożoność wykładnicza

2 9 Rys 4 Trzy unkcj liniow przntując zmianę prędkości w czasi: prędkość vt = t+ [m/s] rośni z stałym przyspisznim m/s prędkość malj t = -t+6 [m/s] z stałym opóźninim - m/s lub prędkość ni zminia się i wynosi 4 m/s Wzór unkcji jst matmatycznym zapism danj unkcji za pomocą oólni rozumianyc symboli Dzięki wzorowi unkcji możmy obliczyć wartości dla pwno arumntu np tmpratura w cwili t prędkość vt = 5t czy złożoność obliczniowa a n = n Innym sposobm zobrazowania unkcji jst sposób raiczny czyli wykrs unkcji w odpowidnim układzi współrzędnyc Graiczny opis dano zjawiska tmpratury prędkości przyspisznia czyli wykonani dokładno wykrsu unkcji jst bardzo ważn przy badaniu własności dano zjawiska Czy tmpratura oranizmu człowika stal rośni czy tż osiąa w pwnj cwili wartość największą a potm orączka spada? Czy przyspiszni zminia się czy tż ruc obiktu jst jdnostajni przyspiszony lub opóźniony? Czy rkwncja studntów na zajęciac jst wysoka stała lub rosnąca przd ssją? Odpowidzi na taki pytania można znalźć na podstawi zbadania własności danj unkcji i jj wykrsu Jaki inormacj o unkcji moą być istotn? Dla jakic arumntów unkcja jst rosnąca maljąca lub stała? Czy unkcja posiada wartość największą maksimum bądź najmnijszą minimum np inansowy dołk Boba z rozdziału w całj dzidzini lub w okrślonyc przdziałac arumntu?

3 Jaki jst kształt wykrsu unkcji? W rozdzial tym zobaczymy jak znalźć odpowidzi na t pytania Pirwsi doszli do tj widzy Nwton i Libniz nizalżni od sibi pod konic wiku XVII Pojawiło się już pojęci przyspiszni Jst to wilkość która ma za zadani pokazać zmianę prędkości z vt w czasi t do vt w czasi t : v t v t a 4 t t Innymi słowy przyspiszni 4 jst stosunkim przyrostu prędkości vt = vt - vt do przyrostu czasu t = t - t : v t a t 4 Można sobi wyobrazić iloraz 4 dla dowolnj unkcji jako stosunk przyrostu różnicy wartości unkcji do przyrostu różnicy arumntów W tn sposób wprowadziliśmy pojęci iloraz różnicowy Dinicja 4 Ilorazm różnicowym unkcji w punktac oraz D nazywamy ułamk Uwaa Warto zauważyć iż w przypadku każdj unkcji liniowj rys 4 iloraz różnicowy w dwóc dowolnyc punktac równy jst współczynnikowi kirunkowmu unkcji liniowj czyli tannsowi kąta nacylnia wykrsu unkcji do dodatnio kirunku osi OX Fakt tn będzi miał swoj konskwncj w przypadku każdj innj unkcji A mianowici przz dwa dowoln punkty krzywj można przprowadzić prostą zwaną siczną rys 4 Wówczas iloraz różnicowy unkcji w dwóc dowolnyc

4 punktac równy jst tannsowi kąta nacylnia sicznj wykrsu unkcji do dodatnio kirunku osi OX Rys 4 Przykład sicznj y = 5+ dla paraboli = Jaki jst związk ilorazu różnicowo z monotonicznością unkcji? Dla unkcji rosnącj zacodzi: jżli < to < Wówczas iloraz różnicowy jst liczbą dodatnią Dla unkcji maljącj zacodzi: jżli < to > Wówczas iloraz różnicowy jst liczbą ujmną Dla unkcji stałj zacodzi: jżli < to = Wówczas iloraz różnicowy jst równy zro W przypadku dowolnj unkcji liniowj ściślj- ainicznj wimy już w jaki sposób powiązać iloraz różnicowy z monotonicznością unkcji:

5 wykrs liniowj unkcji rosnącj jst nacylony do dodatnio kirunku osi OX pod kątm / i t > ; wykrs liniowj unkcji maljącj jst nacylony do dodatnio kirunku osi OX pod kątm / i t < ; wykrs unkcji stałj jst nacylony do dodatnio kirunku osi OX pod kątm = lub inaczj patrząc = i t = Dowolna unkcja moż posiadać styczną w pwnym punkci rys 4 Jak znalźć współczynnik kirunkowy stycznj? Dla wszystkic innyc unkcji niż liniow nalży znalźć tanns nacylnia sicznj wykrsu przy jak najmnijszj odlłości między arumntami oraz czyli dla - Wtdy siczna stani się styczną w danym punkci wykrsu = = W tym clu rozpatrzony zostani iloraz różnicowy przy warunku czyli = + dla Właśni przy takic warunkac siczna krzywj staj się styczną do krzywj Rys 4 Przykład stycznj y = -⅓ do paraboli = w punkci ⅓ ⅓

6 4 Dinicja i własności pocodnj unkcji Warunk = spowoduj iż w mianowniku ilorazu różnicowo pojawi się zro Taka sytuacja oczywiści ni moż zaistnić Al znając pojęci ranicy unkcji w punkci możliw jst obliczni ranicy ilorazu różnicowo dla Taka ranica jżli istnij ilorazu różnicowo jst z dinicji okrślona jako pocodna dowolnj unkcji w punkci D Pocodna unkcji w punkci D jst oznaczona jako Dinicja 4 Pocodną unkcji w punkci D nazywamy ranicę ilorazu różnicowo w punktac = oraz = + dla : ' Granica ta przdstawia symbol nioznaczony / i wymaa obliczń dla każdo rodzaju unkcji lmntarnj Intrprtacja omtryczna wartości pocodnj unkcji w punkci jst następująca 4: pocodna unkcji w punkci równa jst tannsowi kąta α jaki tworzy styczna do wykrsu unkcji w punkci z dodatnim kirunkim osi OX ' t 4 Znając współrzędn punktu oraz współczynnik kirunkowy stycznj można wyznaczyć równani stycznj do wykrsu unkcji w punkci

7 4 Przykłady oblicznia pocodnj z dinicji: Funkcja stała = c ' c c Wynik tn czyli wartość ilorazu różnicowo dla unkcji stałj został osiąnięty wczśnij Przykład: = = 7 = Funkcja liniowa = a+b a b a b ' a a Wynik tn czyli wartość ilorazu różnicowo dla unkcji liniowj jako współczynnik kirunkowy został takż osiąnięty wczśnij Przykład: = = 7 = Funkcja kwadratowa = a +b+c ' a a b a a b a a b b c a b c Składnik liniowy b+c rozpatrzony został wyżj Pokazaliśmy natomiast ż dla unkcji kwadratowj = a pocodna = a

8 5 Przykład: = = 7 = 4 Przykład wyznacznia stycznj do wykrsu Znajdź równani stycznj do wykrsu unkcji w punkci = 7 Rozwiązani: szukamy stycznj y = a+b ' a ' ' Mając współrzędn punktu = 7 49 oraz współczynnik kirunkowy stycznj a = = 4 korzystamy z równania prostj w postaci: y a y y 4 49 Rys 44 Framnt paraboli y = i styczna w punkci = 7 Uwaa Wzór na pocodną unkcji w punkci D wyznacza wzór na unkcję pocodną Dzidzina unkcji pocodnj jst zbiorm tyc arumntów unkcji dla któryc istnij pocodna

9 6 Własności pocodnj: Pocodna unkcji pomnożonj przz liczbę s = c ' ' c c c c s s s c = c 44 Przykład 44: = 6 = 6 Pocodna sumy dwóc unkcji s = + = + ' ' ] [ ' s s s + = + 45 Przykład 45: = = +6 Pocodna różnicy unkcji s = =

10 7 ' ' ] [ ' s s s = 46 Przykład 46: = -8 = -6 4 Pocodna iloczynu dwóc unkcji s = = ' ' ' s s s = + 47 Przykłady 47: a s = a = a Wówczas: s = a = a + a = a ; b s = a 4 = a Wówczas: s = a = a + a = =4a Na podstawi wzoru na pocodną iloczynu unkcji można uzasadnić wzór na pocodną unkcji pomnożonj przz liczbę: s = c s = +c = c 5 Pocodna ilorazu unkcji s = / = / dla

11 8 ' ' ] [ ' s s s / = ' ' ]' [ 48 Przykłady 48: a s ' s ; b s ' 4 s ; c s ' s ; d 8 5 s ' s ;

12 9 5 8 s s' Omawiając w rozdzial pojęci ranicy unkcji w punkci rozpatrywan były ranic lwostronn i prawostronn Stwirdziliśmy iż ranica obustronna w danym punkci istnij jżli ranica lwostronna równa się prawostronnj Oczywiści ta sama zasada obowiązuj dla ranicy ilorazu różnicowo czyli pocodnj Jżli w jakimś punkci ranic lwostronna i prawostronna ilorazu różnicowo będą różniły się to wtdy pocodna w punkci ni istnij Przykład braku pocodnj: = dla = Rys 45 Wykrs unkcji = ' ' Inny wynik ranicy lwostronnj pocodnj lwostronnj i ranicy prawostronnj pocodnj prawostronnj oznacza brak pocodnj unkcji wartość bzwzlędna w punkci Wykrs unkcji = posiada ostrz w punkci = rys 45

13 4 i w związku z tym istnij niskończni wil stycznyc do krzywj w tym punkci W każdym innym punkci niż = pocodna istnij Wniosk z powyższo przykładu jst następujący: Ciąłość unkcji w punkci ni zapwnia istninia pocodnj Można jdnak stwirdzić: Jżli istnij pocodna w danym punkci to unkcja jst ciąła w punkci Jżli unkcja posiada pocodną w punkci to mówimy ż jst rózniczkowalna w punkci Jżli unkcja posiada pocodną w każdym punkci pwno przdziału np swojj dzidziny to mówimy ż jst rózniczkowalna w przdzial np w całj dzidzini Czyli: Z różniczkowalności unkcji wynika jj ciąłość Zadania Oblicz z dinicji wartość pocodnj unkcji w punkci : a = +7 = ; b = = -9; c = 7 = - Wyznacz pocodną unkcji: a s b s 4

14 4 c 4 8 s d s 7 5 s 4 Wyznaczani pocodnj z dinicji W rozdzial 4 pokazano własności pocodnj unkcji oraz obliczono pocodn przykładowyc unkcji wilomianowyc i wymirnyc Zobaczmy jak z dinicji znalźć pocodn innyc unkcji lmntarnyc Pocodna unkcji postaci = n dla n N ' n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n = n n- 49 Przykłady 49: a = 7 = 7 6 ;

15 4 b = = +8-7; c s ' s uporządkuj licznik Pocodna unkcji = ' ' 4 Przykłady 4: a 6 ' ; b ' ; c s

16 4 s ' Pocodna unkcji = ' ' 4 Przykłady 4: a 6 6 ' ; b jaka to unkcja wymirna? ' - uporządkuj; c s ' s

17 44 4 Pocodna unkcji = sin ' sin cos cos cos sin sin sin cos sin = cos 4 Przykłady 4: a = 5sin = 5cos; b = 5 4 sin = sin+ 5 4 cos; c s sin s ' sin cos ct sin sin 5 Pocodna unkcji = cos

18 45 ' sin sin sin sin cos cos sin sin cos = - sin 4 Przykłady 4: a = 7cos = -7sin; b = cos = cos- sin; c s cos s ' sin t cos cos 6 Pocodna unkcji = t sin t cos ' cos cos sin sin sin cos t cos cos cos

19 46 t ' t 44 cos 7 Pocodna unkcji = ct cos ct sin ' sin sin cos cos sin cos ct sin sin sin ct ' ct 45 sin 8 Pocodna unkcji = ln dla > ' ln ln ln ln[ ln ] ln ln ln = / 46 Przykłady 46: a = 7ln = 7/; b = ln

20 47 = ln+ / = ln+; c s ln s ' ln ln 9 Pocodna unkcji = lo a dla > oraz a > i a ' lo lo a a [ lo ] a lo lo a a lo a lo a ln ln a ln a lo a = ln a 47 Przykłady 47: a = 7lo = 7/ln; b = lo = lo+ /ln = lo+/ln; lo c s

21 48 ln ln ln ' lo lo lo ln lo s Pocodna unkcji = ' [ ] = 48 Funkcja = c dla dowolnj liczby rzczywistj c jst jdyną unkcją dla którj pocodna jst równa samj unkcji Przykłady 48: a = - = - ; b = = + = + ; c s s '

22 49 Dla pozostałyc unkcji lmntarnyc podamy pocodn bz wyprowadznia: c = c c- 49 dla dowolnj liczby rzczywistj c oraz dzidziny uzalżnionj od liczby c Przykłady 49: a b ' ' ; ; c ' a = a lna dla dowolnj liczby rzczywistj a> 4 Przykłady 4: a ' ln ; b ' ln ln ln ;

23 5 c ' ln ln ln arcsin = arccos = arct = arcct = Zadania Wyznacz dzidzinę oraz pocodną unkcji: a = b s c 5 6 d 8 s sin cos ln 8 ln 4 cos

24 5 i* s ct j = -5 sin k* s sin cos l s 4cos m = 4 ln 5 n* s sin 4ln o = -7lo 5 p* sin s lo q = - 5 r s 6 44 Obliczani pocodnj unkcji lmntarnyc W clu poprawno wyznaczania unkcji pocodnj nalży okrślić pocodną unkcji złożonj: = 4 Wzór 4 oznacza iż pocodna unkcji zwnętrznj o arumnci przmnożona jst przz pocodną unkcji wwnętrznj o arumnci

25 5 Przykłady 4: a = sin = cos; b = = ; c ' ' ; d = lncos5 ' 5sin5 5t5 ; cos5 = ln dla dowolnj unkcji ' ' ' dla dowolnj unkcji ; ' ; dla dowolnj unkcji ' ' ' dla dowolnj unkcji > ;

26 5 sin cos ' cos sin sin ct sin t ; sin i dla dowolnj unkcji ' ' ' dla dowolnj unkcji ; j ln t ' ln t cos ln t cos O dzidzini unkcji pocodnj można powidzić iż czasami jst taka sama jak dzidzina unkcji wyjściowj np dla wilomianów czy unkcji wymirnyc a czasami dzidzina unkcji pocodnj jst podzbiorm dzidziny unkcji wyjściowj np u unkcji wymirnj Spowodowan jst to aktm iż do dzidziny unkcji moą nalżć arumnty dla któryc ni istnij pocodna np unkcja wymirna ni ma pocodnj w punkci = poniważ ni istnij ranica ilorazu różnicowo w punkci = Pocodn wyższo rzędu Jżli wyznaczona została unkcja pocodna to obliczni pocodnj dla unkcji pocodnj oznacza wyznaczni druij pocodnj unkcji pocodnj rzędu :

27 54 ' ' '' 4 Przykłady wyznacznia druij pocodnj 4: a = cos9 = -9sin9 = -8cos9; b = - = - - = - ; c ' ' '' ; d = lnsin ' cos ct sin 9 '' ; sin sin = ln = ln ' '' ;

28 55 sin cos 6sin cos sin ' sin 8cos sin sin cos 6cos '' ; t cos sin cos cos cos ' t t cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos '' sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos ; ' 4 8 '' ; i ' '' j 6 ct

29 56 ' 6 8cos 6 ct 6 sin 6 sin 4 6 '' 4 8 cos6 6sin6 sin 6 8cos 6 4sin 6 6cos6 8 sin 6 6cos6 sin 6 4cos 6 6cos6 [sin 6 cos 6] 5 sin 6 5 sin 6 6cos6 [sin 6 cos 6 5 sin 6 cos 6] 6cos6 cos 5 sin 6 6 k ln ' '' Analoiczni pocodna rzędu jst pocodną wyznaczoną dla druij pocodnj: '' ' ''' Pocodna rzędu n jst pocodną wyznaczoną dla n- pocodnj: n ' n W koljnyc podrozdziałac najwięcj obliczń dotyczyć będzi pirwszj i druij pocodnj

30 57 Zadania Wyznacz pirwszą i druą pocodną unkcji: a = -sin- b = 5 - c d = ln-5 * sin9 * sin ln 5ct 45 Zastosowani pirwszj i druij pocodnj Pocodna unkcji pozwala zbadać wil intrsującyc własności unkcji Granic unkcji typu / lub / ruła d L Hospitala Dzięki znajomości pocodnj możmy obliczyć ranic unkcji będąc symbolami nioznaczonymi Mówi o tym twirdzni d L Hospitala matmatyk rancuski druij połowy XVII wiku

31 58 Tw 4 - twirdzni d L Hospitala Założnia: unkcj i posiadają pocodn w sąsidztwi punktu ; w sąsidztwi punktu ; jst wyrażnim nioznaczonym typu lub ; ' 4 istnij ranica ' Tza: = ' ' Tw d L Hospitala można równiż zastosować 4 dla i ranic typu lub : = ' 4 ' Ruła d L Hospitala jst prostym i lanckim narzędzim wyznaczania ranic będącyc symbolami nioznaczonymi Przykłady zastosowania ruły d L Hospitala: sin cos a cos z tą ranicą Czytlnik już miał do czyninia b

32 59 c ln d lo ln ln ln ln sin cos sin cos 9 i Czasami istnij koniczność oblicznia koljnyc pocodnyc: Czy rułę d L Hospitala można wykorzystać do innyc ranic nioznaczonyc? Tak lcz nalży przkształcić unkcję dla którj liczona jst ranica

33 6 Jżli to: dla : lub ; dla : lub Można więc wykorzystać rułę d L Hospitala Przykłady zastosowania ruły d L Hospitala w przypadku ranicy unkcji typu [ ]: sin cos a sin cos b W przypadku ranicy typu [ - ] nalży przkształcić unkcję w następujący sposób: 44 W tn sposób 44 otrzymano ranicę typu

34 6 Przykład zastosowania ruły d L Hospitala w przypadku ranicy typu [ - ]: Ekstrmum unkcji Pirwsza pocodna pozwoli na sprawdzni czy w pwnym przdzial okrśloności unkcji tj w podzbiorz dzidziny istnij wartość największa unkcji maksimum lokaln unkcji - órka na wykrsi lub wartość najmnijsza unkcji minimum lokaln unkcji - dołk na wykrsi Jżli wartość największa lub najmnijsza dotyczy całj dzidziny unkcji to mówimy o kstrmum lobalnym odpowidnio maksimum lobaln i minimum lobaln Przypomnijmy sobi związk ilorazu różnicowo z monotonicznością unkcji Uwaa Dla unkcji rosnącj zacodzi: jżli < to < Wówczas iloraz różnicowy równiż pocodna jst liczbą dodatnią Dla unkcji maljącj zacodzi: jżli < to > Wówczas iloraz różnicowy równiż pocodna jst liczbą ujmną Dla unkcji stałj zacodzi: jżli < to = Wówczas iloraz różnicowy równiż pocodna jst równy zro Jak wyznaczyć maksimum lub minimum lokaln unkcji? Załóżmy iż dla pwnyc arumntów < unkcja jst rosnąca natomiast dla arumntów > unkcja jst maljąca Wówczas w punkci istnij maksimum lokaln

35 6 Rys 46 Wykrs unkcji = - z maksimum lokalnym takż lobalnym w punkci = Oznacza to iż na lwo do pocodna unkcji jst dodatnia a na prawo do pocodna unkcji jst ujmna Czyli w punkci pocodna unkcji jst równa zro Jst to zodn z naszą widzą ż styczna w maksimum jst linią poziomą unkcją stałą a unkcja stała ma zrową pocodną Przykład wyznacznia maksimum Dla unkcji z rys 46 pocodna = - jst równa zro tylko dla = Dla <: > unkcja rosnąca natomiast dla > : < unkcja maljąca A co dzij się w minimum lokalnym? Załóżmy iż dla pwnyc arumntów < unkcja jst maljąca natomiast dla arumntów > unkcja jst rosnąca Wówczas w punkci istnij minimum lokaln Rys 47 Wykrs unkcji = z minimum lokalnym takż lobalnym w punkci =

36 6 Oznacza to iż na lwo do pocodna unkcji jst ujmna a na prawo do pocodna unkcji jst dodatnia Czyli w punkci pocodna unkcji jst równa zro Jst to zodn z naszą widzą ż styczna w minimum jst linią poziomą unkcją stałą a unkcja stała ma zrową pocodną Przykład wyznacznia minimum Dla unkcji z rys 47 pocodna = jst równa zro tylko dla = Dla < : < unkcja maljąca natomiast dla > : > unkcja rosnąca Twirdzni 4 Funkcja posiada kstrmum lokaln w jżli: = w punkci unkcja zminia się z rosnącj w maljącą maksimum lub z maljącj w rosnącą minimum czyli pocodn dla pwnyc arumntów oraz takic ż < < są przciwnyc znaków: < Przykład braku kstrmum Dlaczo ni wystarczy znalźć mijsc zrow pocodnj? Rys 48 Wykrs unkcji = bz kstrmum

37 64 Dla unkcji z rys 48 pocodna = jst równa zro dla = al unkcja w tym punkci ni zminia monotoniczności pozostaj rosnąca i ni posiada minimum lub maksimum Można mówić o punkci przięcia w = czyli zmiani kształtu z wypukłj na wklęsłą lub inaczj z wypukłj ku órz na wypukłą ku dołowi Drua pocodna a wypukłość unkcji Wypukłość unkcji w całj dzidzini lub w poszczólnyc przdziałac moż być dwojakio rodzaju: wypukła ku dołowi np parabola = dy drua pocodna > dla wszystkic arumntów z dano przdziału; wypukła ku órz np parabola = - dy drua pocodna < dla wszystkic arumntów z dano przdziału Dinicja 4 Punkt przięcia jst to punkt w którym unkcja zminia wypukłość czyli punkt w którym drua pocodna zminia znak Jak zastosować druą pocodną przy wyznaczaniu kstrmum? Zamiast badać monotoniczność unkcji w okolicy mijsca zrowo pocodnj często wyodnij i szybcij można wykorzystać druą pocodną Twirdzni 4 Założni: = Tza: jżli > to w punkci istnij minimum lokaln; jżli < to w punkci istnij maksimum lokaln

38 65 Przykład zastosowania twirdznia 4 Dla unkcji z rys 46 pocodna = - jst równa zro tylko dla = natomiast = - < Istnij więc maksimum lokaln unkcji = - w punkci = Dla unkcji z rys 47 pocodna = jst równa zro tylko dla = natomiast = > Istnij więc minimum lokaln unkcji = w punkci = Twirdzni 4 ni rozstrzya przypadku dy = oraz = Wówczas w punkci moż istnić zarówno kstrmum np unkcja = 4 posiada minimum dla = jak równiż punkt przięcia np unkcja = 5 posiada punkt przięcia dla = Zatm jżli pirwsza i drua pocodna zrują się dla pwno to najbzpicznij ustalić znak pocodnj w otoczniu punktu i na podstawi monotoniczności unkcji w otoczniu punktu rozstrzynąć czy mamy do czyninia z maksimum minimum lub punktm przięcia Wszystki dotycczas omówion własności unkcji lmntarnyc oraz sposoby ic badania znajdą zastosowani w koljnym podrozdzial Zadania Okrśl monotoniczność unkcji i znajdź kstrma unkcji Okrśl wypukłość unkcji i znajdź punkty przięcia unkcji: a 5 b c 4 d 4 8 5

39 66 46 Badani przbiu zminności unkcji W clu dokładno narysowania wykrsu unkcji koniczn jst zbadani własności unkcji wynikającyc z jj wzoru oraz z pirwszj i druij pocodnj Do omówinia pozostała jszcz bardzo ważna kwstia asymptot Uwaa Asymptota jst to prosta do którj wykrs unkcji zbliża się w niskończoności lcz jj ni osiąa Rozróżniamy asymptoty pionow i ukośn Asymptoty pionow przcodzą przz t wartości któr ni nalżą do dzidziny unkcji al do dzidziny unkcji nalży przdział a lub b dla pwnyc a b Funkcja moż posiadać asymptotę pionową obustronną lub jdnostronną Przykład unkcji z asymptotą pionową obustronną: D = - - -

40 67 Rys 49 Wykrs unkcji przz punkt = = - z pionową asymptotą obustronną przcodzącą W przypadku obustronnj asymptoty pionowj wyznaczamy dwi ranic dla : dla asymptoty prawostronnj dla asymptoty lwostronnj Przykład unkcji z asymptotą pionową prawostronną: ln D =

41 68 Rys 4 Wykrs unkcji ln z pionową asymptotą prawostronną przcodzącą przz punkt = W przypadku prawostronnj asymptoty pionowj wyznaczamy ranicę dla + : ln Przykład unkcji z asymptotą pionową lwostronną: D = - Rys 4 Wykrs unkcji z pionową asymptotą lwostronną przcodzącą przz punkt =

42 69 W przypadku lwostronnj asymptoty pionowj wyznaczamy ranicę dla - : Asymptoty ukośn są unkcjami ainicznymi tj ic wykrsy są liniami prostymi czyli mają postać y = a+b Jdną z możliwyc asymptot ukośnyc jst unkcja stała czyli mamy wtdy do czyninia z asymptotą poziomą W clu sprawdznia czy unkcja posiada asymptotę poziomą badamy dwi ranic dla ± : Jżli t dwi ranic są taką samą liczbą czyli: c c wówczas unkcja stała y = c jst szukaną asymptotą poziomą obustronną i innyc asymptot ukośnyc dana unkcja ni posiada np dla unkcji z rys 49 asymptotą poziomą obustronną jst prosta y = Jżli natomiast t dwi ranic są inną liczbą czyli wówczas unkcja stała y = c jst szukaną asymptotą poziomą prawostronną a unkcja stała y = c jst szukaną asymptotą poziomą lwostronną i innyc asymptot ukośnyc dana unkcja ni posiada np unkcja z rys 4 ma asymptotę poziomą jdnostronną y = c c W przypadku dy

43 7 lub nalży sprawdzić czy istnij asymptota ukośna obustronna lub jdnostronna postaci y = a+b Jak znalźć współczynniki a oraz b badamy osobno ranic dla + lub -? Z własności asymptoty można napisać równani: czyli a [ a b] b Dziląc obustronni przz otrzymujmy: [ a b ] [ a ] a 45 Taki sam wzór 45 na współczynnik a można wyprowadzić tak: a b a b a b b a a Stąd: a

44 7 Współczynnik b 46: a b b a 46 W przypadku a = ± asymptota ukośna ni istnij i ni obliczamy współczynnika b W przypadku a ± oraz b = ± asymptota ukośna takż ni istnij Uwaa Jżli sprawdziliśmy wczśnij iż istnij asymptota pozioma obustronna y = c to ni wyznaczamy asymptoty ukośnj poniważ: b a c a c Jżli sprawdziliśmy wczśnij iż istnij asymptota pozioma jdnostronna y = c lub y = c to sprawdzamy istnini asymptoty ukośnj tylko dla druij strony Przykład wyznaczania asymptoty ukośnj: Funkcja ta odpowiada inansom Boba z rozdziału Granic dla ± : Brak asymptoty poziomj sprawdzamy istnini asymptoty ukośnj y = a+b:

45 7 a a b a b a Asymptota ukośna obustronna jst więc prostą o równaniu y = Oznacza to iż stan inansów naszo Boba z rozdziału po przzwyciężniu dołka inansowo będzi miał się dobrz i będzi stal rósł Rys 4 Wykrs unkcji dla > z asymptotą ukośną y = unkcja posiada takż asymptotę pionową =

46 7 Rys 4 Wykrs unkcji dla < z asymptotą ukośną y = unkcja posiada takż asymptotę pionową = Przykłady wyznaczania asymptot zostaną umiszczon poniżj przy badaniu przbiu zminności unkcji Koljność czynności przy badaniu unkcji jst następująca: Okrślamy własności unkcji na podstawi wzoru: a dzidzina unkcji b zbiór wartości unkcji pod warunkim iż można o znalźć za pomocą lmntarnyc mtod c mijsca przcięcia wykrsu z osiami układu współrzędnyc mijsca zrow i punkt przcięcia z osią OY d parzystość lub niparzystość ranic unkcji na końcac przdziałów okrśloności dzidziny asymptoty Okrślamy własności unkcji na podstawi pirwszj i druij pocodnj: a przdziały monotoniczności b kstrma lokaln unkcji

47 74 c przdziały wypukłości d punkty przięcia unkcji Wszystki zbran inormacj pozwolą narysować wykrs unkcji Przykład : Dzidziną jst zbiór liczb rzczywistyc mianownik jst zawsz różny od zra: D = R Wartościami unkcji są liczby z przdziału ] Brak mijsc zrowyc licznik nidy ni będzi zrm Punkt przcięcia z osią OY: = = czyli punkt o współrzędnyc Funkcja parzysta: Granic dla ± : Asymptot pionowyc brak poniważ dzidziną jst zbiór liczb rzczywistyc Asymptota pozioma obustronna - prosta y = wyznaczona na podstawi ranic dla ± Badani pocodnyc: ' '' Pocodna < dla > unkcja maljąca dla >

48 75 Pocodna > dla < unkcja rosnąca dla < Mijsc zrow pocodnj: = = Dla = zruj się pocodna i unkcja zminia się z rosnącj w maljącą istnij więc maksimum w punkci o współrzędnyc Dodatkowo wystąpini maksimum potwirdza akt iż drua pocodna = - < Mijsca zrow druij pocodnj: = dla oraz Wypukłość unkcji: > dla oraz wypukła ku dołowi; < dla - unkcja w tyc przdziałac jst - unkcja w tym przdzial jst wypukła ku órz Istniją więc punkty przięcia o współrzędnyc: i 4 4 Wszystki ustalnia odnośni naszj unkcji pozwalają na wykonani wykrsu: Rys 44 Wykrs unkcji

49 76 Przykład : 5 Dzidziną jst zbiór liczb rzczywistyc z wyjątkim ⅓ : D = R \ {⅓} Jdno mijsc zrow: = 5 Punkt przcięcia z osią OY: = = 5 czyli punkt o współrzędnyc 5 Funkcja ni jst ani parzysta ani niparzysta: Granic dla ± : 5 5 Granic dla ⅓: 5 5 Asymptota pionowa obustronna: = ⅓ Asymptota pozioma obustronna - prosta y = / wyznaczona na podstawi ranic dla ±

50 77 Badani pocodnyc: 5 ' 78 '' 4 Pocodna > dla wszystkic arumntów z dzidziny- unkcja stal rosnąca brak kstrmum Mijsca zrow pirwszj i druij pocodnj ni istniją Wypukłość unkcji: > dla - unkcja w tym przdzial jst wypukła ku dołowi; < dla - unkcja w tym przdzial jst wypukła ku órz Brak punktów przięcia Wszystki ustalnia odnośni naszj unkcji pozwalają na wykonani wykrsu: Rys 45 Wykrs unkcji 5

51 78 Przykład : Dzidziną jst zbiór liczb rzczywistyc różnyc od : D = R \ {} Mijsca zrow: brak Punkt przcięcia z osią OY: = = - czyli punkt o współrzędnyc - Funkcja ni jst ani parzysta ani niparzysta: Granic dla ± : Granic dla : Asymptota pionowa obustronna: = Asymptota pozioma lwostronna - prosta y = wyznaczona na podstawi ranicy dla - Asymptota pozioma ni jst obustronna sprawdzamy istnini asymptoty ukośnj y=a+b: a

52 79 a Asymptota ukośna ni istnij Badani pocodnyc: ' '' [ ] Pocodna < dla < unkcja maljąca dla < Pocodna > dla > unkcja rosnąca dla > Mijsc zrow pocodnj: = = Dla = zruj się pocodna i unkcja zminia się z maljącj w rosnącą istnij więc minimum lokaln w punkci o współrzędnyc Dodatkowo wystąpini minimum lokalno potwirdza akt iż drua pocodna = > Mijsc zrow druij pocodnj ni istnij Wypukłość unkcji: > dla - unkcja w tym przdzial jst wypukła ku dołowi; < dla Brak punktów przięcia - unkcja w tym przdzial jst wypukła ku órz Wszystki ustalnia odnośni naszj unkcji pozwalają na wykonani wykrsu:

53 8 Rys 46 Wykrs unkcji Przykład 4: Jak dokładni przanalizować stan inansów Boba z rozdziału i jak wyliczyć jo dołk inansowy? Dzidziną jst zbiór liczb rzczywistyc różnyc od : D = R \ {} Mijsca zrow: brak Punkt przcięcia z osią OY: brak Funkcja jst niparzysta: Granic dla ± : Granic dla :

54 8 Asymptota pionowa obustronna: = Brak asymptoty poziomj sprawdzamy istnini asymptoty ukośnj y = a+b: b b a a a a Asymptota ukośna obustronna jst więc prostą o równaniu y = Badani pocodnyc: ' '' 4 Pocodna < dla - unkcja maljąca Pocodna > dla > lub < - unkcja rosnąca Pocodna posiada dwa mijsca zrow Mijsc zrow pocodnj: = = Dla = zruj się pocodna i unkcja zminia się z maljącj w rosnącą istnij więc minimum lokaln w punkci o współrzędnyc To jst właśni dołk inansowy Boba Dodatkowo wystąpini minimum lokalno potwirdza akt iż drua pocodna = > Mijsc zrow pocodnj: = - - = Dla = - zruj się pocodna i unkcja zminia się z rosnącj w maljącą istnij więc maksimum lokaln

55 8 w punkci o współrzędnyc -- Dodatkowo wystąpini maksimum lokalno potwirdza akt iż drua pocodna - = - < Mijsc zrow druij pocodnj ni istnij Wypukłość unkcji: > dla - unkcja w tym przdzial jst wypukła ku dołowi; < dla Brak punktów przięcia - unkcja w tym przdzial jst wypukła ku órz Wszystki ustalnia odnośni naszj unkcji pozwalają na wykonani wykrsu który w dwóc symtrycznyc częściac znajduj się na rys 4 i 4: Rys 47 Wykrs unkcji Zadania Zbadaj przbi zminności następującyc unkcji: ln

56 8 4 5 * arct 47 Inżynirski zastosowania pocodnj Przypomnijmy iż intrprtacja omtryczna wartości pocodnj unkcji w punkci jst następująca: pocodna unkcji w punkci jst równa tannsowi kąta α jaki tworzy styczna do wykrsu unkcji w punkci z dodatnim kirunkim osi OX ' t Znając współrzędn punktu oraz współczynnik kirunkowy stycznj można wyznaczyć równani stycznj do wykrsu unkcji w punkci Przykład wyznacznia stycznj do wykrsu Znajdź równani stycznj do wykrsu unkcji 5 w punkci = Rozwiązani: szukamy stycznj y = a+b ' 6 5 a ' ' 7 Mając współrzędn punktu = oraz współczynnik kirunkowy stycznj a = = 7 korzystamy z równania prostj w postaci: y a

57 84 y 7 y 7 Rys 48 Parabola i styczna Pojęci stycznj do wykrsu jst istotn w wilu działac nauk tcnicznyc Rozważyć nalży równiż izyczną intrprtację pocodnj Na przykład prędkość v 47 poruszania się obiktu w czasi t = t - t można traktować jako pocodną wzlędm czasu t przbytj droi st - st : v t t s t t s t t t s t t t s t s' t 47 Z koli przyspiszni p 48 poruszająco się obiktu w czasi t można uważać za pocodną prędkości vt wzlędm czasu t: p t v' t v t t t v t t v t t t t v t 48

58 85 Oznacza to iż przyspiszni p poruszająco się obiktu w czasi t można uważać za druą pocodną 49 przbytj droi st st wzlędm czasu t: p t v' t s'' t 49 W czasi t = t t moą zminiać się inn wilkości izyczn np tmpratura ciała wówczas pocodna unkcji tmpratury ciała T 4 w zalżności od czasu t jst szybkością zmiany tmpratury ciała w cwili t T ' t T t t t T t t T t t t t T t 4 lub ładunk lktryczny wtdy pocodna unkcji ładunku lktryczno Q 4 w zalżności od czasu t jst natężnim prądu I w czasi t I t Q' t Q t t t Q t t Q t t t t Q t 4 W wilu obliczniac inżynirskic korzystn jst np z wzlędu na czas obliczń zastąpini skomplikowanj unkcji za pomocą wilomianu Możmy posłużyć się następującym twirdznim: Tw 44 - twirdzni Taylora Jżli unkcja jst klasy C n- w przdzial [ ] tzn wszystki pocodn do rzędu n- włączni są unkcjami ciąłymi w tym przdzial i ma n tą pocodną w przdzial to istnij taki punkt c ż: '! ''! c n! n n n n! n

59 86 Powyższy wzór Taylora w tw 44 pozwala rozwinąć unkcję spłniającą założnia tw Taylora na prawo od punktu w sumę wilomianów Ostatni składnik rozwinięcia unkcji nazywa się rsztą Taylora: n c R n n! n Dla = otrzymamy wzór Maclaurina 4 czyli przybliżni dowolnj unkcji spłniającj założnia tw Taylora w otoczniu punktu = Mówimy o rozwinięciu unkcji w szr Maclaurina: ' ''! n n! n c n! n n 4 Przykład zastosowania wzoru Maclaurina 4 dla unkcji = : n = dla każdo n n = =! n n! n n! c Przybliżani danj unkcji kończymy dla ustalono n pozwalająco uzyskać żądaną dokładność obliczń Na przykład n składników rozwinięcia Maclaurina unkcji dla dowolno naturalno n przyjmi postać:! n n 4!

60 87 Stąd liczba Eulra moż zostać przybliżona 4 dla = :!! n! Przykład zastosowania wzoru Maclaurina 4 dla unkcji ln oraz n = 4: ln ; ' ' ; '' '' ; ''' ''' 4 ; ln 44 Dzięki rozwinięciu unkcji ln w szr Maclaurina 44 można przybliżyć wartość unkcji dla bardzo małyc Na przykład dla = otrzymamy przybliżni: ln 995 Przykład zastosowania wzoru Maclaurina 4 dla unkcji oraz n = : ; ' ' ;

61 88 '' 4 '' ; Dzięki rozwinięciu unkcji w szr Maclaurina 45 można przybliżyć wartość unkcji dla bardzo małyc Na przykład dla = otrzymamy przybliżni: Wyprowadź na podstawi wzoru Maclaurina 4 poniższ przybliżnia unkcji: sin cos arct 5 7! 5! 7! 4 6! 4! 6! Wzór dla unkcji arc t moż posłużyć do przybliżnia liczby podstawiając = : arct Dzięki wzorom Taylora tw 44 i Maclaurina 4 oblicznia na wilu unkcjac sprowadzają się do szybszyc i ktywnijszyc obliczń na wilomianac

62 89 Pocodna unkcji moż znalźć zastosowania w zadaniac z trścią w któryc występuj pwna wilkość najmnijsza lub największa Przykład: jaki prostokąt o danym ustalonym obwodzi s ma największ pol P? Rozwiązani: a+b = s a+b = s b = s-a; Pa = a b = as-a P a = s-a P a = dla a = s/ b = s-a = s-s/ = s/ P a = - < istnij więc maksimum unkcji P czyli największ pol Boki a oraz b są taki sam szukany prostokąt o maksymalnym polu jst więc kwadratm W to typu zadaniac z wilkością maksymalną lub minimalną nalży ustalić wzór unkcji z jdną zminną i obliczoną pocodną przyrównać do zra Za pomocą druij pocodnj upwniamy się czy mamy do czyninia z maksimum albo minimum unkcji Ćwicznia Znajdź równani stycznj do wykrsu unkcji w punkci = Rozwiń unkcję w szr Maclaurina dla podano n: a n = 7; b ln n = 5; c sin n = 4; d cos n = 6

63 9 48 Zadania Oblicz z dinicji wartość pocodnj unkcji w punkci : a = -+7 = ; b = = -; c = -57 = - Wyznacz dzidzinę unkcji oraz pocodną unkcji: a s b s 7 c s 5 4 d s s = 5 7 = s i 6 j 5 k s 6 l sin m cos 4 5ln 8

64 9 ln 4 n * cos o * s t p = -5 4 sin q * s sin cos r s cos s = ln t s ln u = -7lo 8 v * sin s lo = y z Wyznacz pirwszą i druą pocodną unkcji: a = -sin- b = 5- c d = ln5 sin

65 9 * sin ln 5t 4 Okrśl monotoniczność unkcji i znajdź kstrma unkcji Okrśl wypukłość unkcji i znajdź punkty przięcia unkcji Wyznacz asymptoty: a b c d Zbadaj przbi zminności następującyc unkcji: a b c ln d * ln 6 Znajdź równani stycznj do wykrsu unkcji 5 w punkci = 7 Rozwiń unkcję w szr Maclaurina dla podano n:

66 9 a b n = 5; n = ; c sin n = 4; d cos n = 5 8 Oblicz ranicę korzystając z ruły d L Hospitala: a ln sin 5 cos b sin cos cos c Odpowidzi a ; b 7; c a D = R \ {}; b D = R \ {4}; c D = R \ {4}; d D = R; D = R \ {}; D = R; D = R; D = R; i D = [ ; j D = [ ; k D = ; l D = R \ {} 6 cos 6sin ' ; m D = ; n D = \ {}; o D = \ {½ +k k N}; p D = R; q D = R \ {¼ +k k C}; cos sin r D = R \ {½ +k k C} s ' ; s D = cos = +ln; t D = \ {}; u D = ; v D = \ {}; D = R = 6+ ; y D = R; ln ' ; z D = R ' ln ln

67 94 a = 6cos- = sin-; c ' '' ; d 9sin 6 cos ' 9sin 6 ' 6 '' ; 4 a unkcja maljąca w przdzial - ½ rosnąca w przdzial ½ minimum wirzcołk paraboli w punkci ½ -5 unkcja wypukła ku dołowi brak punktów przięcia brak asymptot; c unkcja rosnąca brak kstrmum i punktów przięcia wypukła ku dołowi w przdzial - ¼ wypukła ku órz w przdzial ¼ asymptota pionowa = ¼ asymptota pozioma y = -¼ 6 y = -4+8 n 7 a n b ' n n '' 4 ; 6 ; c ' cos '' 4sin ''' 8cos 4 ; d ' 6sin '' cos ''' 4sin 4 48 cos a /5; b / dopiro trzci pocodn dają wynik; c /