2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009

Transkrypt

1 Wybran zstawy gzaminacyjn kursu Matmatyka na Wydzial ZF Uniwrsyttu Ekonomiczngo w Wrocławiu w latach Zstawy dotyczą trybu stacjonarngo Niktór zstawy zawirają kompltn rozwiązania Zakrs matriału w zstawach moż być dlikatni zróżnicowany z względu na zmiany programow w koljnych latach 009 ZARZĄDZANE LUTY 009 ZESTAW A + y + z + t = 9 + y + z + 7t = 9 A Rozwiąż układ równań mtodą liminacji Gaussa y + z t = + y + z + t = 6 0 A Zbadaj okrśloność macirzy A 0 A Rozwiąż równani macirzow (niwiadomą jst macirz X ), XA B C, gdzi 0 A, 0 B 0 0, 0 C 0 0 A Wyznacz przdziały na których funkcja f ( ) ( ) jst rosnąca i wypukła jdnoczśni A Wyznacz największą liczbę naturalną n, dla którj prawdziwa jst nirówność A6 Oblicz pol obszaru ograniczongo krzywymi y = i y = 8 A7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) y y ZESTAW B + y + z t = 6 + y z + t = B Rozwiąż układ równań mtodą liminacji Gaussa + y + z t = 7 + y + z 9t = 9 B Wyznacz macirz przkształcnia liniowgo h f g, jżli przkształcnia n d f : i g : dan są wzorami: f (, y, z) ( y z,7 y z,9 y z), g(, y) (, y, y) B Sprawdzić, czy wktory a = (,, ), b = (,7,), c = (,8,6) tworzą bazę przstrzni liniowj R Odpowidź prcyzyjni uzasadnić B Wyznacz wartości paramtru a dla których funkcja f() = + a + jst wypukła w całj dzidzini B Oblicz całki nioznaczon a) ( ) d, b) + d B6 Oblicz pol obszaru ograniczongo krzywymi y, y i y B7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f(, y) = + y y y

2 ZESTAW C + y + z t = + y + z t = C Rozwiąż układ równań mtodą liminacji Gaussa + 7y + z 9t = 9 + y + z t = 6 0 C Rozwiąż równani macirzow (niwiadoma macirz X) 0 X = C Oblicz granic ciągów a) a =, b) a =, c) a = C Korzystając z dfinicji oblicz pochodną kirunkową funkcji f (, y) y y w punkci p (,) w kirunku wktora a (,) C Oblicz całkę nioznaczoną arctgd C6 Wyznacz wartość paramtru a, dla którgo d C7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji a f (, y) y y 6y 00 ZARZĄDZANE LUTY 00 ZESTAW A + y + z t + u = + y + z + t + u = Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: + y + z + t + u = 7 + 6y + z t + u = 6 Rozwiąż równani (A + X)B = C, gdzi A = 0, B =, C = 7 Wyznacz przkształcni odwrotn do przkształcnia f(, y) = ( + y, + 8y) Dla jakich wartości paramtru a punkt = jst punktm stacjonarnym funkcji f() =? Wyznacz całki nioznaczon: a) + cosd; b) d; c) lnd 6 Oblicz pol obszaru ograniczongo wykrsami krzywych: y =, y =, = 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) y y y ZESTAW B y + z + t + u = + y + z + t u = 7 Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: 7y z t + 7u = 8 + y + 7z + t u = 0 + 8y = Rozwiąż układ równań liniowych mtodą macirzy odwrotnj: + y = Dla jakich wartości paramtru a wktory = (,,), y = (, a, ), z = (,,) tworzą bazę przstrzni liniowj R? Dokładni uzasadnij odpowidź Kwotę a ulokowano w banku na okrs lat Jaka była (nominalna) roczna stopa procntowa jżli po latach (przy stałj stopi i kapitalizacji ciągłj) wartość lokaty wynosiła a? Wyznacz kstrma lokaln funkcji f() = 6 Oblicz pol obszaru ograniczongo wykrsami krzywych:y = ( ) + i y = + 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f(, y) = y y +

3 0 ZARZĄDZANE LUTY 0 ZESTAW A y z z Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: y z y z 6 Podaj różn kombinacj liniow wktorów a (,,0,), b (,0,,), c (,,,) dając wktor d (,,,6) Dana jst macirz A Widząc, ż dt( A ) 8 wyznaczyć lmnt macirzy 0 0 odwrotnj do macirzy A stojący w drugim wirszu i trzcij kolumni Jaka była (nominalna) roczna stopa procntowa jżli po dzisięciu latach kapitał wzrósł od a do a? Podaj dokładny wynik (kalkulator potrzbny ni jst) Wyznacz różnicę największj i najmnijszj wartości funkcji f ( ) na przdzial, Wynik podaj w postaci niskracalngo ułamka 6 Wyznacz punkty przgięcia wykrsu funkcji 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f ( ) f (, y) y 6y y ZESTAW B z y z Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: y z y z 7 Podaj różn kombinacj liniow wktorów a (,, 0, ), b (0,,, ), c (,,, ) dając wktor d (,,, 7) z 0 y t Stosując wzory Cramra wyznacz niwiadomą t z układu równań: y t y z t W obliczniach można (al ni trzba) wykorzystać fakt, ż dt( A), gdzi A jst macirzą współczynników tgo układu równań Jaka była (nominalna) roczna stopa procntowa jżli po pięciu latach kapitał wzrósł od a do a? Podaj dokładny wynik (kalkulator potrzbny ni jst) Wyznacz różnicę największj i najmnijszj wartości funkcji f ( ) na przdzial, Wynik podaj w postaci niskracalngo ułamka ln 6 Oblicz całki nioznaczon: a) 7 d ; b) ( ) d 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) y 6y y

4 ROZWĄZANA 0 ZESTAW A Ad z, y z, z R Ad Układ jak w zadaniu Na przykład: d a b a b c a b c Ad a, a 0 Ad Wartość końcowa lokaty wynosi ( ) p a0 a Stąd 0 p, czyli p 00 % Ad f ( ), f (), f (), f () f ( ) Ad 6 f ( ) ( ), f ( ) (6 ) Punkty przgięcia: 0,, Ad 7f (, y) = 6y + 6y, f (, y) = y M = (0,0), M = (,0), M = (,), M = (, ), f 6y (, y) = y f(, y) osiąga lokaln maksimum w punkci M = (,), lokaln minimum w punkci M = (, ) oraz ni osiąga kstrmów w punktach M = (0,0) i M = (,0) ZESTAW B Ad z, y z, z R Ad Układ jak w zadaniu Na przykład: d a b b c a b c Ad dt( A), dt( A ) t, t Ad Wartość końcowa lokaty wynosi ( ) p a a Stąd p, czyli p 00 % Ad f ( ), f (), f (), f () f ( ) ln Ad 6 a) d ln d ln d ln C t b) ( ) d dt d t dt C d dt Ad 7 Ad 7f (, y) = 6y + 6y, f (, y) = y M = (0,0), M = (,0), M = (,), M = (, ), f 6y (, y) = y f(, y) osiąga lokaln maksimum w punkci M = (,), lokaln minimum w punkci M = (, ) oraz ni osiąga kstrmów w punktach M = (0,0) i M = (,0)

5 0 ZARZĄDZANE STYCZEŃ 0 ZESTAW y t Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: z t y z t Rozwiąż równani macirzow A X B, gdzi A 8, B 0 Wyznacz przkształcni odwrotn do przkształcnia liniowgo f : R R dango wzorm f (, y, z) ( z, y z, z) Wyznacz wartości paramtrów a i b dla których zachodzą równości: n n a (n ) ( bn ) a) lim ; b) lim 8 n n n ( n)( n ) Wyznacz kstrma lokaln funkcji f ( ) ( ) ln 6 Wyznacz całki nioznaczon: a) d ; b) d (przz podstaw) 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) 6y y ZESTAW Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: y z t y t z t 6 Oblicz dt( X ) jżli macirz X jst rozwiązanim równania X Wyznacz przkształcni odwrotn do przkształcnia liniowgo f : R R dango wzorm f (, y, z) ( y z, y, y z) Dla jakich wartości paramtru a funkcja f ( ) osiąga kstrma lokaln w punktach a i? Jaki to są kstrma? Wyznacz punkty przgięcia funkcji f ( ) ( 7) 6 Wyznacz całki nioznaczon: a) 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji d ; b) f (, y) y 6y y d (przz części) ZESTAW Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: y z t z t y z t 0 Rozwiąż równani macirzow XB A, gdzi A, B Wyznacz przkształcni odwrotn do przkształcnia liniowgo f : R R dango wzorm f (, y, z) ( y z, y, z) Wyznacz wartości paramtrów a i b dla których zachodzą równości:

6 n n 6 ( n) (n ) a) lim ; b) lim 6 n n a n ( bn )( n ) Wyznacz kstrma lokaln funkcji f ( ) ( 6) 6 Wyznacz całki nioznaczon: a) 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji d 7 ln d (przz części) f (, y) 6y y ; b) ZESTAW Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: z t y z t y z t 0 0 Wyznacz macirz odwrotną do macirzy C A B, gdzi A 0, B 0 0 Wyznacz przkształcni odwrotn do przkształcnia liniowgo f : R R dango wzorm f (, y, z) ( z, y, z) Dla jakich wartości paramtru a funkcja f ( ) osiąga kstrma lokaln w punktach a i? Jaki to są kstrma? Wyznacz punkty przgięcia funkcji f ( ) ( ) d 6 Wyznacz całki nioznaczon: a) ; b) cos( ) d (przz części) 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) 8y y ROZWĄZANA STYCZEŃ 0 ZESTAW Ad y, z 6 y, t, y R, lub (przy innj rdukcji) y, z 0, t, R Ad Poniważ A więc A A Zatm równani A X Stąd mamy X A B AB Ad A, A 0, f (, y, z) ( z, y, z) 0 0 n a n a a lim n n n a Ad a) lim n n n Dalj otrzymujmy a i stąd a 7 B jst równoważn równaniu AX B, stąd mamy a

7 (n ) ( bn ) 8bn 8 b) lim lim b Dalj mamy n ( n)( n ) n n Ad 8 8 b skąd dostajmy b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f Znak pochodnj jst taki sam jak znak funkcji więc funkcja f ( ) osiąga lokaln maksimum w punkci i lokaln i lokaln maksimum w punkci Ad 6 a) d d C t ln ln 6 6 b) d t dt t t C ln ln C dt d 6 6 Ad 7 f (, y) 8 6 y, f y (, y) 6 y Punkty stacjonarn: M (0,0), M 0, f (, y) f (0,0) 6 - funkcja ni osiąga kstrmum f,0 6 - lokaln minimum ZESTAW Ad y, z 0, t, R, lub (przy innj rdukcji) y, z 6 y, t, y R 6 Ad dt ( ) 8, dt 0 0 ( 7) 0, Ad A 0 0, dt A dt 0 0 ( ) A 0 0, f (, y, z) ( y z, y, z) 0 Ad ( a) ( ) a f ( ) 0 dt( X ) 8 9 Dla a a a a Ad ( ) ( 7) ( 7) f ( 7) ( 7) f ( ) ( 7) ( 7) ( 7) ( ) ( ) Punkty przgięcia:, Ad 6 d d C f g b) d d C f g Ad 7 f (, y) y, f (, y) y y Punkty stacjonarn: (0,0) y M, M 8,6

8 f f (, y) 6y f (0,0) 8,6 - lokaln minimum 8 - funkcja ni osiąga kstrmum ZESTAW Ad y, z y, t 6, y R Ad Poniważ B więc B B Zatm równani XB A jst równoważn równaniu XB A 0 Stąd mamy X AB AB Ad A 0 0, A 0 0, f (, y, z) ( y z, y, y z) 0 n 8 n 8a lim n n a a n Ad a) lim n n a n Dalj otrzymujmy 8 a 6 i stąd ( n) (n ) 8n 8 b) lim lim n ( bn )( n ) n bn b a Ad, stąd mamy 8a 6 Dalj mamy 8 6 skąd dostajmy 8 b b ( ) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) f Znak pochodnj jst taki sam jak znak funkcji 6 więc funkcja f ( ) osiąga lokaln maksimum w punkci i lokaln i lokaln maksimum w punkci Ad 6 a) d d C 7 f g ln b) ln d ln ln ln 8 d d C f g Ad 7 f (, y) 6y, f y (, y) 6 y Punkty stacjonarn: M (0,0), M, 6 6 f (, y) 6 6 f (0,0) - funkcja ni osiąga kstrmum 6 6 f, - lokaln minimum 6 ZESTAW Ad y, z y, t 6, y R

9 0 Ad Poniważ A B mamy C A B B Stąd C B A 0 0 Ad Macirz A jst taka sama jak w zadaniu 0 0 A 0, A B, f (, y, z) ( z, y z, z) 0 0 Ad ( a) (6 ) a f ( ) Dla a a a a Ad ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Punkty przgięcia:, 6 Ad 6 a) d d C f cos( ) g b) cos( ) d sin( ) sin( ) d sin( ) cos( ) C f sin( ) g 9 Ad 7 f (, y) y, f y (, y) 6 y Punkty stacjonarn: M (0,0), M, 6 f (, y) 6 f (0,0) - funkcja ni osiąga kstrmum 6 f, - lokaln maksimum 6 0 UZARZĄDZANE 8 STYCZNA 0 ( trmin) ZESTAW y t Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: y z y z t 0 Rozwiąż równani macirzow: A X B, gdzi A 7, 0 B Oblicz g (,,), gdzi g f f, i f : R R, f (, y, z) ( y z, y z, y z) Jaka będzi wartość końcowa pięcioltnij lokaty w wysokości a przy nominalnj rocznj stopi procntowj p 6% i kapitalizacji: a) półrocznj, b) ciągłj? (Wynik podać w postaci odpowidnigo wyrażnia) Wyznacz ilość kstrmów lokalnych funkcji f ( ) ( a) w zalżności od wartości par a 6 Obliczyć pol obszaru ograniczongo liniami y,, y 8 7 Wyznaczyć kstrma lokaln funkcji f (, y) 6 y y

10 ZESTAW Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: y z t y t z t Rozwiąż równani macirzow: AX A X, gdzi A z Wyznacz niwiadomą z z układu równań: y 0 y z Wyznacz kstrma lokaln funkcji f ( ) Wyznacz ilość punktów przgięcia funkcji f ( ) ( a) w zalżności od wartości paramtru a 7 6 Wyznacz całki nioznaczon: a) d ; b) sin( ) d (przz części) 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) y 6y y ZESTAW y z 0 Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: y t z t 0 Rozwiąż równani macirzow: AX A, gdzi A Oblicz dt A 0 A 9, gdzi A Oblicz granic funkcji f ( ) w wszystkich punktach ni nalżących do dzidziny Wyznacz kstrma lokaln funkcji f ( ) 7 6 Wyznacz całki nioznaczon: a) d ; b) 7 d (przz podstawini) 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) y y ZESTAW Rozwiąż układ równań liniowych mtodą liminacji Gaussa: 0 Rozwiąż równani macirzow X X y z 6 y t z t z t

11 z Rozwiąż układ równań mtodą macirzy odwrotnj: y z y z 6 Oblicz granic funkcji f ( ) w wszystkich punktach ni nalżących do dzidziny Wyznacz punkty przgięcia funkcji f ( ) ( ) 6 Wyznacz całki nioznaczon: a) cos( ) 7 d ; b) 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) y 6y ZARZĄDZANE lutgo0 (trmin poprawkowy) d (przz części) Rozwiąż układ równań mtodą rdukcji macirzy: y t y z t 7y z Dana jst macirz A kwadratowa stopnia taka, ż dt( A) 0 l jst równy wyznacznik macirzy B A A? Odpowidź prcyzyjni uzasadnij Podaj przykłady macirzy kwadratowych stopnia (różnych od macirzy jdnostkowj), któr są odwrotn sam do sibi czyli A A Wskazówka: rozwiązania moższ (ni jst to koniczn) poszukać a wśród macirzy postaci A b (0) Oblicz f (dzisiąta pochodna funkcji f ( ) w punkci ) dla funkcji Dana jst funkcja f ( ) Któr z poniższych zdań są prawdziw: (a) W otoczniu punktu funkcja f ( ) jst rosnąca i wypukła (b) W otoczniu punktu funkcja f ( ) jst rosnąca i wklęsła (c) W otoczniu punktu funkcja f ( ) jst maljąca i wypukła (d) W otoczniu punktu funkcja f ( ) jst maljąca i wklęsła Odpowidzi prcyzyjni uzasadnić 6 Podaj przykład wartości paramtru a, dla którgo pol obszaru ograniczongo liniami a ( a ) jst równ? f ( ) y y i, 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) y y 0 ZARZĄDZANE lutgo 0 ( trmin) ZESTAW Rozwiąż układ równań liniowych mtodą rdukcji macirzy: Dana jst macirz A 0 a) Wyznacz macirz 0 b) Jaka macirz jst macirzą odwrotną do macirzy A z y t y z t ( ) B A AA

12 Przkształcni liniow f : R R dan jst wzorm f (, y, z) ( z, y t, y z t) Podaj przykład różnych wktorów z przstrzni liniowj R, któr przkształcni f przprowadza na wktor a (,, ) 7 6 Oblicz granic funkcji: a) lim ; b) lim ; c) lim Wyznacz liczbę kstrmów lokalnych funkcji f ( ) a 7 w zalżności od wartości paramtru a Prcyzyjni uzasadnić rozwiązani 6 6 Oblicz całkę nioznaczoną (przz podstawini): d 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji: f (, y) y y ZESTAW y z Rozwiąż układ równań liniowych mtodą rdukcji macirzy: t y z t 0 0 Dana jst macirz A a) Wyznacz macirz B A ( AA) b) Jaka macirz jst macirzą odwrotną do macirzy A Przkształcni liniow f : R R dan jst wzorm f (, y, z) ( y z, t, y z t) Podaj przykład różnych wktorów z przstrzni liniowj R, któr przkształcni f przprowadza na wktor a (,,) 7 Oblicz granic funkcji: a) lim ; b) 9 9 lim ; c) lim Wyznacz liczbę kstrmów lokalnych funkcji f ( ) b w zalżności od wartości paramtru b Prcyzyjni uzasadnij rozwiązani 6 Oblicz całkę nioznaczoną (przz podstawini): d 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji: f (, y) y y 7 ZESTAW y z 9 Rozwiąż układ równań liniowych mtodą rdukcji macirzy: y z t y z t 6 Dla jakich wartości paramtru a układ wktorów (,0, a,), y (,,,7), z (0,,,) jst liniowo zalżny? 0 Rozwiąż równani macirzow ( A X ) B A, gdzi A, B Oblicz granic funkcji: a) ; b) f ( ) lim 8 Wyznacz kstrma lokaln funkcji 6 Oblicz całkę nioznaczoną (przz części): 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji: lim d (, ) f y y y

13 ZESTAW y z t 6 Rozwiąż układ równań liniowych mtodą rdukcji macirzy: y z 9 y z t Dla jakich wartości paramtru a układ wktorów (,,, 0), y (, a,0,), z (7,,,) jst liniowo zalżny? Rozwiąż równani macirzow A( B X ) B, gdzi A, 0 B Oblicz granic funkcji: a) lim 8 ; b) lim 6 f ( ) Wyznacz przdziały monotoniczności funkcji 6 Oblicz całkę nioznaczoną (przz części): sin( ) d 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji: f (, y) y y y ZARZĄDZANE lutgo 0 ( trmin poprawkowy) y z t Rozwiąż układ równań: y z t t T Rozwiąż równani macirzow A( X B) B, gdzi A 0, B z Stosując wzory Cramra wyznacz niwiadomą y układu równań: y z y z 7 7 Wyznacz przdziały monotoniczności i kstrma lokaln funkcji f ( ) 9 Wyznacz punkty przgięcia funkcji f ( ) ( ) 7 6 Oblicz pol obszaru ograniczongo wykrsami funkcji f ( ) i g( ) 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) 6y y 0 NFORMATYKA W BZNESE 9 stycznia 0 ( trmin) y z t 7 y y t Rozwiąż układ równań: y z t 9 y z 7t y z Rozwiąż układ równań mtodą macirzy odwrotnj: y z y z 7 Zbadaj liniową nizalżność układu wktorów: (,,0,), y (,0,, ), z (,6, 6,9) Wyznacz kstrma lokaln funkcji f ( ) ( 6) 7 Oblicz całki nioznaczon: a) log d (przz części): b) d (przz podst)

14 6 Oblicz pol obszaru ograniczongo wykrsami funkcji 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f ( ), g( ) f (, y) y y ZARZĄDZANE 9 czrwca 0 ( trmin) ZESTAW y z t Rozwiąż układ równań: 7y t y z t 0 Rozwiąż równani macirzow: ( A X ) B B A, gdzi A 0, B 0 Wyznacz przkształcni liniow odwrotn do przkształcnia f : dango wzorm f (, y, z) ( y, z, y z) n 7n lim n 7 Oblicz granic: a) lim n Wyznacz kstrma lokaln i punkty przgięcia funkcji f ( ) ( ) 6 Oblicz pol obszaru ograniczongo krzywymi, y i y 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji 8 Oblicz całki: a) ln d ; b) ; b) f (, y) y 8 y 0 6 d 7 ZESTAW 7y t Rozwiąż układ równań: y z t y z t 0 Rozwiąż równani macirzow: D( X C) C D, gdzi C 0, D 0 Wyznacz przkształcni liniow odwrotn do przkształcnia f : dango wzorm f (, y, z) ( y z, y, z) n 9n lim n 9 Oblicz granic: a) n Wyznacz kstrma lokaln i punkty przgięcia funkcji f ( ) (7 ) 6 Oblicz pol obszaru ograniczongo krzywymi, y 0 i y 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji f (, y) y 8y 0 8 Oblicz całki: a) sin ; b) lim 7 d ; b) 6 ln 7 d

15 06 FR 8 stycznia 06 ( trmin) Sprawdź, czy wktory (,,, 0), (,,, ), (,,,), (,,, ) tworzą bazę przstrzni liniowj Dany jst oprator liniowy A: : A(,, ) ( a,, ) Dla jakich wartości paramtru a istnij oprator odwrotny? Wyznacz macirz opratora odwrotngo Wyznacz wartości własn i odpowiadając im wktory własn opratora liniowgo A: : A(,, ) (,, ) n n Oblicz granicę ciągu an n 7 n! Zbadaj zbiżność szrgu n n n 6 Wyznacz przdziały monotoniczności i kstrma lokaln funkcji ( ) 7 Wyznacz kstrma lokaln funkcji 8 Oblicz całkę ( y ) ddy D f (, y) y 6y y y f, gdzi D jst obszarm ograniczonym liniami y, NFORMATYKA W BZNESE 0 lutgo 06 ( trmin) y z Rozwiąż układ równań liniowych mtodą rdukcji macirzy: z t y z t Wyznacz przkształcni odwrotn do przkształcnia liniowgo f : R R dango wzorm f (, y, z) ( y z, y, z) Rozwiąż równani macirzow AXB C, gdzi A 0, B 0, C Podaj dwa różn wktory własn dla największj wartości własnj przkształcnia liniowgo f (, y, z) (7,y z,8y z) Oblicz granic: a) 9 lim 6 Wyznacz kstrma lokaln funkcji ; b) f ( ) ( ) lim 7 Dla jakij wartości paramtru a zachodzi równość d 8? 8 Wyznacz kstrma lokaln funkcji ; c) a (, ) 6 f y y y y y y lim i y 6