t) x 2 a)x 2 4x + 3 < 0 b) 3x 2 21x 30 > 0 c) x > 1 x d)2 x 2x + 3 < 1 e) > 1 < 1 m)3 n)2

Transkrypt

1 Zestaw I - Równania i nierówności kwadratowe logarytmiczne i wyk ladnicze.. Rozwi azać równania: a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) 2 4 = 0 e) = 0 f) = 0 g)2 2 2 = 0 h)4 3(2) 4 = 0 i) (4) + 2 = 0 j)3 2+ 4(3) + = 0 k)(2) 2 + = 0 l)log 2 ( 4) = 0 m)log 2 (8 2) 2 log 2 (2 ) = n)log 2 ( 4) 2 = 0 o)(log()) 3 4 log() = 0 p)(log()) 3 + (log()) 2 = 0 q)log ( + 2) = 2 r) log() + log() = s) 3 = 2 2 t) 2 2 = u)2 sin() = 0 v)2 sin(2) + 3 = 0 w)sin() = cos() )(sin() cos()) 2 = sin(2) y)(cos()) 4 (sin()) 4 = z)2(cos()) cos() 2 = 0 2. Rozwi azać nierówności: a) < 0 b) > 0 c) > d) < e) > +2 f) g) h) < 0 i) < 0 j) > 0 k)4 2 0 l)2 3 < m) (3) 2 > 0 n)2 (+) 4 (+) o)2 2+ 3(2) + 0 p)( + )(2 ) < 0 q)log( 2 3) 0 r)2 log 4 ( + ) s)log 2 ( ) + log 2 ( + ) 2 t)log 4 ( + ) 2 u)log 2 ( 2 ) 2 v)log ( + 2) < log 2 ( + ) w) )sin() > y)sin(2) > (3) 2 2 z)4(cos()) 2 3 > 0 3. Wyznaczyć dziedzinȩ funkcji: a)y = ( ) b)y = c)y = (2 + 3) ( 2 ) + d)y = log ( ) e)y = log (3 2 8) f)y = log( 2 + 2) g)y = log( ) h)y = log(4 2 5 ) i)y = log() j)y = (log 2 ( + 2)) k)y = 4 (log ()) 2 2

2 l)y = (2 log() (log()) 2 ) m)y = 5 log 3+ ( ) Zestaw II - Ci agi liczbowe.. Oblicz podane granice: a) n 2 n +5 b) n log 2 (n + 3) log c) 2 (n+) n log 3 (n+) n+3 d) n 2n 2 + 4n e) 3 +6 n n+ f) n 2n 2 +3n 6n 2 +4n g) n (4 n + 2) h) n 3 n 2 n 4 n 3 n i) n 3 2n+ 7 9 n +4 j) n n5 n 2 n 3 n+ k) n 2 n n! l) n 2n! n n m) n (n 2 +)(2n )! (2n+)!+ n) n (0 n) o) n n n 2 + p) n ( n n + 2) q) n ( n 2 + 4n + n 2 + 2n) r) n n n Korzystaj ac z twierdzenia o trzech ci agach obliczyć granice: 2n+( ) a) n n 3n+2 2n b) 2 +sin(n!) n 4n 2 cos(n 2 ) n c) n 3 + sin(n) d) n+ n 2n + 3 e) n n 3 n + 5 n + 7 n n f) n ( 2 3 )n + ( 3 4 )n n g) 3 n +2 n n 5 n +4 n h) n+2 n 3 n + 4 n+ 3. Korzystaj ac z definicji liczby e obliczyć granice: a) n ( + n )3n 2 2

3 b) n ( + n ) 2n c) n ( n2 +2 n 2 ) 2n2 + d) n ( n2 n 2 ) 2n2 3 e) n ( n+4 n+3 )5 2n f) n ( n2 +2 n 2 ) 2n2 + g) n ( n n+ )n h) n ( 3n+ 3n+2 )6n i) n ( n2 +3n+2 n 2 +2n )3n+ Zestaw IV - Granice funkcji:. Obliczyć granice: +4 a) b) 3 8 c) d) e) 2 +2 f) ( ) g) h) i) ) 2 2 j) k) l) m) ( +) n) o) 2 (+2)(3 ) p) q) r) s) 0 n t) Obliczyć granice: a) b)

4 c) + d) 0 e) 0 + f) g) h) i) j) Obliczyć granice: a) 0 b) 0 ( ) 2 2 c) d) e) 2 ( 2) 2 f) 7 g) 5 + (+) 3 h) 8 i) 3 5 ) (+) 2 3 j) k) 2 6 l) m) 2 9 n) 4 ( 2 9)( 2 6) 2 4. Obliczyć granice: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )(4 ) e) ( 5 4) f) ( ) g) ( )( 2)( + 3)( + 4) h) i)

5 j) ( k) ( 7 2) +2 3 l) m) n) ( )(5 2) o) 4+5 ) p) q) r) s) t) u) + v) + w) Obliczyć granice: a) ( + ) b) ( + )2 c) ( + 5 ) d) ( )5 e) ( 2 ) f) ( )2 g) ( )22 h) ( )22 i) 0 ( + ) j) 0 ( 3) k) 0 ( + 2) 6. Obliczyć granice w punkcie 0 : a) { 5 dla R \ { } f() = + 2 dla 0 = b) f() = { dla R \ { 3 2 } dla 0 = 3 2 5

6 c) d) e) 0 = 0 f) 0 = 2 g) 0 = 2 h) 0 = 3 f() = f() = f() = f() = f() = f() = { (2+) 2 (+) 3 dla R \ { } 2 dla 0 = { dla R \ {0} 2 dla 0 = 0 { 4 2 dla < 0 6 dla 0 { dla < dla 2 { dla < 2 2 dla 2 { dla R \ {3} 5 dla = 3 Zestaw V - Pochodna funkcji.. Dana jest funkcja f() = 2 + m +. Dla jakiej wartości parametru m prawdziwa jest równość f ( 3) = 2? 2. Dana jest funkcja f() = 2 + b + c. Wyznaczyć b i c tak aby dla = 2 funkcja ta mia la wartość 3 a jej pochodna f () wartość Obliczyć pochodn a funkcji: a) y = b) y = e ( ) 3 c) y = 2 + d) y = e) y = f) y = 3 cos() 4 sin() + 5 g) y = e cos() h) y = 4 ( 2 + ) 6

7 i) y = e j) y = cos() k) y = 5 tg() l) y = ln( ) m) y = ln sin() sin() n) y = sin(2) o) y = (cos(3)) 4 p) y = 2 e r) y = arcsin( 2) s) y = arcctg 2 ln t) y = u) y = sin()+cos() +ln v) y=ln arc cos(2) w) y = (ln 3 sin ( + 3)) 4 ) y=arc sin ( ( ) y) y=arc cos 3) + z) cos( + )2 4. Obliczyć pochodn a funkcji: a) y = arc cos() b) y = 22 c) y = (sin()) tg(2) d) y = ( ) e) y = ( + 3) 5 (sin()) f) y = 2 sin() log (2) 5. Dana jest funkcja f()= e. Obliczyć: a)f (-) b)f ( 2 ) c) f (-) d)f ( 2 ) 6. Wyznaczyć przedzia ly monotoniczności funkcji: a) f() = (3 ) 3 b) f() = e c) f() = 2 3s+4 3 d) f() = e) f() = 2 sin() + cos(2) dla 0 2π f) f() = 2 e g) f() = ln( ) 7. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji: a) f() = e b) f() = cos() c) f() = sin() 8. Obliczyć przybliżon a wartość funkcji: a) f() = sin() dla = z dok ladności a do b) f() = e dla = z dok ladności a do Wyznaczyć ekstrema funkcji: a) f() = b) f() =

8 c) f() = d) f() = ln( + ) e) f() = ln( + 2 ) f) f() = ln g) f() = ( 2 2)ln h) f() = sin() + cos() 4 2 dla π π Obliczyć a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 0 ln ( sin() ) (2 ln) +(ln) ( π arcctg) 0 ln 2 ln e e sin() tgln e ( 0 arctg ) ln + 8

9 l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) 0 +( + e ) 0 +(ctg ln2 ) 0 +(arctg) sin() 0 tg ln ( ) 3 2 e lnln( ) + ( ( ) 2 ln ) (2 e 2 ) (2 + 2 e 3 ) ( ) 2 2 (sin())tg π 2. Wyznaczyć przedzia ly wypuk lości wklȩs lości i punkty przegiȩcia funkcji: a) f() = ln(4 + 2 ) b) f() = c) f() = (2 ln)ln 9

10 d) f() = ln e) f() = ( )e 2 f) f() = 2+ln g) f() = h) f() = +2 e i) f() = 2arctg j) f() = k) f() = (ln 2 3ln + ) l) f() = ln arctg Zestaw VI - Badanie przebiegu zmienności funkcji:. Uzupe lnić komentarzewype lnić tabelkȩ i narysowac wykres funkcji: ( 2) ( 2 2) (2 + ) f() = + 2 f() = f() = 2 f() = f() = + f() = = [f() + ] = 0 f() + = + [f() + ] = 0 f() f () < 0 ( 4) (4 + ) f () > 0 ( 4 4) f () = 0 = 4 lub = 4 f () > 0 ( 2) (0 2) f () < 0 ( 2 0) (2 + ) f (0) = 0 f( 4) = 5 f(4) = 5 f(0) = 0 2. Uzupe lnić komentarzewype lnić tabelkȩ narysowac wykres funkcji: 0

11 ( ) ( + ) f() = 0 f() = + f() = + + f() = 0 f() = 0 + f() = 0 f() = 0 f(3) = f(7) = 2 f(5) = 5 f () < 0 ( ) ( ) (5 + ) f () > 0 ( 5) f () = 0 = lub = 5 f () > 0 ( 3) (7 + ) f () < 0 ( ) (3 7) f (3) = f (7) = 0 f( 4) = 5 3. Zbadać przebieg zmienności funkcji: a) f() = b) f() = ln 2 2ln c) f() = ( + ) 3 + d) f() = e) f() = ( )3 2 f) f() = e g) f() = e (+) 2 h) f() = e 2 i) f() = 2 ln j) f() = ln k) f() = ln 2 l) f() = ln( ) m) f() = 2arctg n) f() = ln( ) o) f() = 32 2 ( 2 ) 3 p) f() = ( )2 (+) 3 q) f() = 2e 2 r) f() = 2arctg()

12 s) f() = t) f() = u) f() = ln cos() v) f() = arcsin Zestaw VII - Ca lki nieoznaczone. Stosuj ac metodȩ podstawiania obliczyć: a) b) c) d) d + 2 d d ( 2 + 3) 6 d e) f) g) 3 ( 2 ) 3 d 3d 3 + d h) + 2 d 2

13 i) d j) 2 9 d k) l) m) e 2 d + e6 e 2 d e e 4 d n) o) e 2 d e 2 e d p) q) ln d ln d 3

14 r) s) sin() cos() d sin() cos()d t) u) v) sin( 2 )d cos( 2 )d cos(ln) d 2. Ca lkuj ac przez czȩści obliczyć: a) cos d b) sin d c) sin cos d d) 2 e d e) e cos d 4

15 f) g) e sin d ln 2 d h) i) j) ln 2 d lnd ln 2 d k) l) m) sin 2 d cos 2 d 2 sin d n) o) 2 cos d e 2 cos d 5

16 p) e 2 sin d q) e d r) s) ( )e d 2 e 3 d t) u) v) w) 2 e d 2 lnd lnd e d 6