Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa

Transkrypt

1 Arkusz - krt prcy Cłk oznczon i jj zstosowni. Cłk niwłściw Zdni : Obliczyć nstępując cłki oznczon 5 d 5 d d Zuwżmy, ż d, Stąd d, d + ] ln d cos sin d d ]. d + d 5, d d + 7 d. d 7 7 ] d + d d + d ln ln ln +. sin sin + cos cos +. cos d sin d sin cos. d + + +C d ln +C sin d cos+c cos d sin+c Zdni. n zjęcich Obliczyć nstępując cłki oznczon: d d 5 d Zdni : Obliczyć przz części nstępując cłki oznczon sin + 5 cos d b cos d sin + C f g d b b f g sin d cos + C f g d d + C ln d f ln g f g d

2 ] ln ln ln d ln ] d ln ] f g cos cos d f g cos d sin ] sin sin d sin ] ] cos cos cos 8. sin sin d + cos Zdni. n zjęcich Obliczyć nstępując cłki oznczon: ln d cos d 8 Zdni : Obliczyć przz podstwini nstępując cłki oznczon f f d ln f + C d rc tg + C + + d tg d f {}}{ + + f d ln + ln f sin cos d sin cos d ln + ln + ln 5 ln ln 5. f {}}{ sin cos f d ln cos ln f ln cos + ln cos ln + ln ln + ln + ln ln ln ln. sin t sin cos d dt t t cos d t 5 dt t sin t dt t sin t 5 5. ln ln t d ln }{{ } d d dt t t t dt t t ln dt t ln t 7. Zdni. n zjęcich Obliczyć przz podstwini nstępując cłki oznczon:

3 ctg d ln sin cos d 5 ln d 5 d ln ln Zdni : Obliczyć pol obszrów ogrniczonych krzywymi f +, g + D b g f d. Aby obliczyć pol obszru w pirwszym kroku nszkicujmy wykrsy funkcji f prbol wyznczymy mijsc zrow: brk i współrzędn wirzchołk:, i funkcji g prost wystrczy wyznczyć dw punkty nlżąc do wykrsu:, i,. W drugim kroku wyznczymy rgumnty będą to w tym przypdku grnic cłkowni, dl których wrtości funkcji f i g są równ. W tym clu rozwiązujmy równni f g, czyli + +. Stąd otrzymujmy równni kwdrtow, skąd i osttczni lub. Podstwijąc do wzoru funkcji f lub g otrzymujmy punkty przcięci wykrsów tych funkcji, orz, 5. Szkicujmy wykrsy funkcji f i g orz zznczny w ukłdzi współrzędnych szukny obszr D. y 5 D Wyznczmy wrtość szukngo pol obszru D. g f d + ] + + d d Zdni. n zjęcich Obliczyć pol obszrów ogrniczonych krzywymi: prbolą y i prostą y + prbolmi y i y + 8 Zdni 5: Obliczyć długość łuku krzywj. Jżli Γ jst krzywą dną opism jwnym y f,, b], to jj długość jst równ Γ b + f d. f,, ]. Mmy f i wdług wzoru Γ + d d d. Zdni 5. n zjęcich Obliczyć długość łuku krzywj f, gdzi, ]. Odp.

4 Zdni : Obliczyć objętość bryły V powstłj z obrotu trpzu krzywoliniowgo prostokątwokół osi O Objętość bryły V R powstłj z obrotu trpzu krzywoliniowgo T wokół: i osi O jst równ b V f d, ii osi Oy jst równ b V f d. T {, y R :, y } Nich f dl, ]. Stosując powyższy wzór mmy V d d. Zuwżmy, ż brył V jst wlcm o wysokości h i prominiu podstwy r. Z wzoru n objętość wlc dostjmy ntychmist V r h. y T Zdni. n zjęcich Obliczyć objętość bryły V powstłj z obrotu trpzu krzywoliniowgo prostokąt T {, y R :, y } wokół osi Oy. Odp. Zdni 7: Obliczyć nstępując cłki niwłściw pirwszgo rodzju: ln d ε + +ε ln d. Obliczymy drugą cłkę nioznczoną. Mmy ln d }{{ ln d ln t } d dt t dt t + C ln + C. dt t t dt t + C Wrcjąc do wyjściowj cłki otrzymujmy ε + +ε d ] ln ln ] ln ln + ε ln ln + ε + +ε ε +. Zdni 7. n zjęcich Obliczyć nstępując cłki niwłściw pirwszgo rodzju: ln d Zdni 8: Obliczyć nstępując cłki niwłściw drugigo rodzju: + rc tg A rc tg d + A + + d.

5 Obliczymy drugą cłkę nioznczoną. Mmy rc tg + d rc tg + d rc tg t t d dt t dt t + + C rc tg + C. dt Wrcjąc do wyjściowj cłki otrzymujmy A rc tg A d ] A + + A + rc tg A] A + rc tg 8. A + rc tg A ] rc tg Zdni 8. n zjęcich Obliczyć nstępując cłki niwłściw drugigo rodzju: + d 5