Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkowe w praktycznych zastosowaniach w elektrotechnice.

Transkrypt

1 Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkow w prakycznych zasosowaniach w lkrochnic. Przypomnini: Dfinicja pochodnj: Granica ilorazu różnicowgo-przyros warości funkcji do przyrosu argumnów-przy przyrości argumnów dążącym do zra. Przykład: W obwodzi prądu niusalongo o równaniu: i 3 znajduj się dławik o oporz czynnym =, i indukcyjności =, H. Obliczyć warość spadku napięcia

2 U i di na dławiku w chwili =s. ozwiązani: Obliczamy pochodną: di (3 ) ' ( ) Sąd: U (3 ) 3 ( ) A dla =: U 4 6,86[ V] Skorzysaliśmy z wzorów:

3 ( )' f ( ) g( ) ( g( f ( ))' ( )' f ( ) g( ) g'( f ( )) f '( ) f ( ) g( ) Przykład: Poncjał lkryczny V wzdłuż pwnj drogi zminia się wdług wzoru: V 3 sin Obliczyć warości składowj naężnia pola lkryczngo wzdłuż drogi w punkci =. ozwiązani: Obliczamy: dv d ( 3 ( ) sin ) ' 3 ( )sin ( ) cos Podsawiając = orzymujmy 3

4 dv 3 ( ) sin ( ) cos 3 d Skorzysaliśmy z wzoru: (sin )' cos ( r )' r r f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) ( g ( f ( ))' g ' ( f ( )) f ' ( ) Przykład: Ilość lkryczności q, jaka przpłynęła przz pwn urządzni od chwili = wyraża się wzorm Wyznaczyć naężni prądu w chwili =. 4.

5 ozwiązani: Mamy dq i ( ) ' ( ) Podsawiając = orzymujmy i ( ) [ A] Przypomnini: Poszukiwani ksrmum lokalngo funkcji. Warunk koniczny:. Warunk dosaczny (wysarczający): o minimum lokaln w o maksimum lokaln w 3. Warunk dosaczny (wysarczający, alrnaywny): Gdy: 5

6 dla dla o maksimum lokaln w Gdy: dla dla o minimum lokaln w Przykład: Naężni prądu I w obwodzi zawirającym oporność czynną, indukcyjność i pojmność połączon w szrg wyraża się wzorm: I U gdzi U js napięcim prądu zminngo przyłożongo do obwodu. Obliczyć, dla jakij warości pulsacji naężni prądu I w danym obwodzi osiąga maksimum. 6

7 7 ozwiązani: Obliczamy pochodną naężnia prądu względm pulsacji : ' U d di Jako pochodna złożonj funkcji argumnu : U d di 3 Skorzysaliśmy z wzoru: ) '( )) ( '( ))' ( ( ( 3 ' f f g f g Poniważ U,, i są dodani, więc pochodna saj się równa, gdy

8 , a sąd Ponao di d U 3 ( ) Sąd funkcja rośni (pochodna js dodania) dla i malj (pochodna js ujmna) dla Dla warości funkcja (naężni) osiąga maksimum. Przypomnini: ałka oznaczona: Jżli funkcja f js ciągła na przdzial 8 o.

9 b a f ( ) d F( b) F( a) gdzi F js dowolną funkcją pirwoną funkcji f na ym przdzial [zn. F ()=f()] Przykład: Skuczną warość naężnia prądu lkryczngo zminngo okrśla wzór: J T T i gdzi T js okrsm zmian. 9

10 Obliczyć skuczną warość naężnia prądu sinusoidalngo zminngo i J m sin T ozwiązani: Mamy: J T T i Jm sin T T T Obliczamy: sin T T 4 4 cos sin T 4 T Zam orzymujmy: T T 4 J Jm T sin4 J m Skorzysaliśmy z wzorów:

11 cosad sina a sin d ( cos) d Przypomnini: ałka niwłaściwa I rodzaju: a f ) d f ( ) d ( lim T T a b f ) d f ( ) d ( lim S b S Przykład: Poncjał dowolngo punku A odlgłgo o A od odosobniongo ładunku punkowgo wyraża się wzorm:

12 Q V A Kd, gdzi K 4 A, -sała dilkryczna. Wyznaczyć poncjał punku A. ozwiązani: V A A Kd Q 4 A d Q 4 B B A lim d Q 4 lim B B A Q 4 lim B B A Q 4 A Skorzysaliśmy z całki nioznaczonj: d

13 Przykład: Kondnsaor o pojmności zosał naładowany do napięcia U. Obliczyć nrgię sraconą w oporz, przz kóry kondnsaor js rozładowany. ozwiązani: Prąd wyładowania kondnsaora okrśla wzór: i U gdzi czas liczony od chwili zamknięcia obwodu, a -sała czasu równa Enrgię lkryczna sraconą w oporz wyznaczamy z wzoru A i ozładowani kondnsaora poprzz opór rwa niskończni długo, dlago całkowia nrgia sracona w oporz przy rozładowaniu kondnsaora js całką niwłaściwą: 3

14 A i U U U lim U lim U U Skorzysaliśmy z całki nioznaczonj: a d a a Przykład: harakr zmian naężnia prądu lkryczngo pwngo impulsu wywołango w obwodzi js okrślony nasępującą zalżnością: 4

15 i 5 Wyznaczyć całkowiy ładunk lkryczny q i jaki przpłyni w obwodzi wskuk wywołania jdngo impulsu. ozwiązani: q i 5 5lim Obliczamy przz części całkę: Sąd q 5 5 lim poniważ 5

16 lim Przypomnini: ównani różniczkow I rzędu liniow: dy d p( ) y q( ) ozwiązując o równani najpirw znajdujmy całkę ogólną równania różniczkowgo liniowgo jdnorodngo: dy d y p( ) y p( ) d Po czym zasępujmy sałą funkcją () i rozwiązujmy równani: ( ) ( g( )) p ( ) d d Sąd rozwiązani ogóln ma posać: y ( ( g( )) p( ) d d ) p( ) d 6

17 Przykład: Między naężnim prądu I w chwili a siłą lkromooryczną E w obwodzi o oporz i samoindukcji ( i sał) zachodzi zalżność: (*) di I E Znalźć wzór okrślający zalżność naężnia prądu I w funkcji czasu, jśli w chwili = włączono sałą siłę lkromooryczną. ozwiązani: Zauważmy, ż wymagany wzór odpowiada syuacji I()=. Ponao równani (*) js r. r. liniowym. ozwiązujmy j: Najpirw liniow jdnorodn: di di I I I 7

18 8 Nasępni uzminniamy sałą : E I E E I ) ( ) ( ) ( Korzysamy z warunku począkowgo I()=. Sąd: E E A rozwiązani o: E I Oznacza o, ż naężni prądu I z upływm czasu szybko dąży do sałj warości E. Wzór opisuj procs usalania się prądu w obwodzi z bigim czasu.