Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI

Transkrypt

1 GRANICA FUNKCJI Granica uncji. - dowolna liczba rzczywista. O, = - ; + - otoczni liczby puntu o prominiu, S, = - ;, + - sąsidztwo liczby puntu o prominiu, Nich uncja będzi orślona w sąsidztwi puntu, g nich będzi liczbą lub +, lub -. Dinicja granicy uncji wg Hingo. Granica uncji w punci jst równa g, jżli dla ażdgo ciągu n argumntów uncji, zbiżngo do, o wyrazach różnych od, ciąg n wartości uncji ma granicę równą g. Zapis: Analogiczni orślamy: i Dinicja granicy uncji wg Cauch'go. S, Uwaga. a powyższ dinicj granicy uncji są równoważn, b rachun granic sończonych ja dla granic ciągów, c symbol nioznaczon ja dla granic ciągów. Przyład. Granic jdnostronn uncji. Nich uncja będzi orślona w lwostronnym sąsidztwi puntu, g nich będzi liczbą lub +, lub -. Dinicja. Granica lwostronna uncji w punci jst równa g, jżli dla ażdgo ciągu n argumntów uncji, zbiżngo do, o wyrazach mnijszych od, ciąg n wartości uncji ma granicę równą g. Zapis: lub Analogiczni orślamy granicę prawostronną: Zapis: lub

2 Twirdzni. Funcja ma w punci granicę g wtdy i tylo wtdy gdy istniją granic jdnostronn uncji w punci i są on równ g tzn.: Przyład.,, granic jdnostronn są różn zatm ni istnij. Nitór granic sin sin,, gdzi stała,,,, gdzi stała, Funcja ciągła. Funcja orślona w otoczniu puntu jst ciągła w punci, gdy istnij granica uncji w punci i jst równa wartości uncji w tym punci, tzn. Analogiczni orślamy jdnostronną ciągłość uncji. Funcja jst ciągła w przdzial, gdy jst ciągła w ażdym punci tgo przdziału. Funcja jst ciągła gdy jst ciągła w ażdym punci swojj dzidziny. Przyład Funcja ni jst ciągła dla =, granica jst inna niż wartość uncji w tym punci. Jst to przyład niciągłości usuwalnj. Przyład Funcja ni jst ciągła dla =, granic jdnostronn w tym punci, chociaż istniją i są właściw, to są różn. Jst to przyład niciągłości I rodzaju. Przyład sin Funcja ni jst ciągła dla =, ni istniją nawt granic jdnostronn uncji w tym punci. Jst to przyład niciągłości II rodzaju. Przyład uncja Dirichlta gdy wymirn Funcja ni jst ciągła w żadnym punci. gdy niwymirn Twirdzni o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu uncji Jżli uncj i g są ciągł w punci, to: a uncj + g, g są ciągł w punci ; b uncja g jst ciągła w punci ;

3 c uncja g jst ciągła w punci, o il g. Uwaga. Powyższ twirdzni jst prawdziw taż dla uncji ciągłych jdnostronni. Twirdzni o ciągłości uncji złożonj Jżli. uncja jst ciągła w punci,. uncja g jst ciągła w punci y =, to uncja złożona g jst ciągła w punci. Twirdzni o ciągłości uncji odwrotnj Jżli uncja jst ciągła i rosnąca na przdzial [a,b], to uncja odwrotna i rosnąca na przdzial [a,b]. jst ciągła Prawdziw jst taż analogiczn twirdzni dla uncji maljącj. Uwaga Funcj lmntarn są ciągł w swoich dzidzinach. Twirdzni o monotoniczności uncji ciągłj i różnowartościowj Nich uncja będzi ciągła na przdzial [a,b]. Wówczas, uncja jst różnowartościowa na przdzial [a,b] wtdy i tylo wtdy, gdy jst maljąca albo rosnąca na tym przdzial. Twirdzni. Funcja ciągła w przdzial domniętym osiąga w tym przdzial wartość najmnijszą i wartość najwięszą. Twirdzni własność Darbou. Załadamy, ż uncja jst ciągła w przdzial domniętym <a, b>. Jśli a b oraz a b lub b a to istnij c <a, b>, ż c = g. Wnios. Jśli a, b mają różn znai to istnij c a, b, ż c =. Powyższy wnios pozwala w prosty sposób wyznaczać przybliżon mijsc zrow dowolnj uncji ciągłj w danym przdzial, jśli istnij nalży dzilić dany przdział na podprzdziały na ońcach tórych uncja ma różn znai np. mtodą połowinia. Asymptoty. Asymptota pionowa. Prosta = a jst pionową asymptotą prawostronną uncji jśli uncja jst orślona w pwnym lwostronnym sąsidztwi puntu a oraz a Prosta = a jst pionową asymptotą lwostronną uncji jśli uncja jst orślona w pwnym prawostronnym sąsidztwi puntu a oraz a Prosta = a jst pionową asymptotą obustronną uncji jśli ta prosta jst pionową asymptotą prawostronną i jst pionową asymptotą lwostronną uncji.

4 asymptota pionowa Asymptota pozioma. Prosta y = c jst poziomą asymptotą prawostronną uncji jśli c Prosta y = c jst poziomą asymptotą lwostronną uncji jśli c Prosta y = c jst poziomą asymptotą obustronną uncji jśli ta prosta jst poziomą asymptotą prawostronną i jst poziomą asymptotą lwostronną uncji. y= c asymptota pozioma Asymptota uośna. Prosta y = a + b a jst uośną asymptotą prawostronną uncji jśli a oraz a b Prosta y = a + b a jst uośną asymptotą lwostronną uncji jśli a oraz a b Prosta y = a + b a jst uośną asymptotą obustronną uncji jśli ta prosta jst uośną asymptotą prawostronną i jst uośną asymptotą lwostronną uncji. Uwaga. Dla dużych wartość uncji w punci jst w przybliżniu równa a + b tzn.: a + b

5 . Na podstawi dinicji granicy a Hingo wyaż, ż 8 b Cauchy'go wyaż, ż GRANICA FUNKCJI - zadania. Oblicz: 8 a [-] b 5 8 [ -,5] c 6 [ ] d [] [ ] [,5] sin g 6 [,5] h 5 8 [] i [ /] j 5 8 [ ] [ ] l sin [] sin. Oblicz granic jdnostronn uncji: a dla = [- = -, + = ] b dla = [- =, + = - ] c dla = [- =, + = ] d dla = [- =, + = ]. Wyznacz asymptoty uncji: a [ =, y = ] b 7 [ = -, y = - ] 5

6 6 c [ = -, =, y = - ] d [y = -, y = ] [ =, y = ] 5. Sprawdź, ż uncja jst ciągła: a 6 9 b c 6. Sprawdź, ż uncja ni jst ciągła: a 9 b c 7. Dla jaij wartości paramtru uncja jst ciągła w punci : a = [] b = [] c = []