15. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I

Transkrypt

1 5. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I Fukcj pirwot fukcji f w pwym przdzial (właciwym lub iwłaciwym) azywamy tak fukcj F, którj pochoda rówa si fukcji f w tym przdzial. Zbiór wszystkich fukcji pirwotych fukcji f azywamy całk iozaczo fukcji f i ozaczamy symbolm f ( ) d Poiwa pochoda stałj rówa si zru, a dwi fukcj majc rów pochod rói si co ajwyj o stał, zatm moa apisa f ( ) d F( ) C, C R 5.

2 5.. Podstawow wzory rachuku całkowgo 0 d C α α d C α, α W szczgóloci: d C (dla α 0 ) d C (dla α ) d C (dla α ) d l C a a d C la ( a > 0, a ) ; d C si d cos C cos d si C d tg C cos d arctg C, a a a a 0 d a C a a a a 5. d ctg C si l, 0 d arcsi C, a 0 a a d l α C α sih d cosh C cosh d sih C

3 Z rguły róiczkowaia fukcji złooj oraz z dfiicji całki iozaczoj wyikaj uytcz w rozwizywaiu zada wzory: f ( ) d l f ( ) C f ( ) f ( ) d f ( ) C f ( ) 5.. Własoci całki iozaczoj A f ( ) d A f ( ) d (Czyik stały moa wyłczy przd zak całki.) ( ( ) g( )) d f ( ) d f g( ) d (Całka sumy dwóch fukcji rówa si sumi całk tych fukcji.) Przykłady. Dla fukcji f ( ) 5 si zal pirwot F ( ) spłiajc waruk F 0 ) Rozwizai 5 si d 5 C cos arcsi Szukaa pirwota ma zatm przdstawii F ( ) 5cos arcsi C, (. Stał C wyzaczamy z waruku F ( 0 ) 5cos0 arcsi0 C, C. Ostatczi F ) 5cos arcsi 6 skd 6 (. 5.

4 . Obliczy całki a) 5 d b) ctg d Rozwizai a) 5 d ( 5 / ( 5 / ) / ) ( 9 / d ( 9 / 5 ) / 5 C 5 ) d 6 5 / 5 5 d C 9 / 5 d b) ctg d cos si d d si si si d ctg C 5.. Całkowai przz podstawii i przz czci t Jli fukcja f jst cigła w przdzial (a, b), za fukcja ϕ( ) ma cigł pochod i adto wartoci jj l w przdzial (a, b), to f ( ( )) ϕ ( ) d f ( t ) dt ϕ, przy czym po scałkowaiu prawj stroy aly j wyrazi za pomoc zmij podstawiajc t całkowai przz podstawii. ϕ( ). Jst to tzw. wzór a 5.

5 Przykłady a) d ( l ) Dokoujmy zmiay zmij, przyjmujc l t. Róiczkujc obi stroy dostajmy b) d ( l) d dt t Podstawiamy t, wówczas t skd d lt C oraz d dt d d ( t ) dt l dt, zatm l C zatm d ( t ) t dt t t dt t 7 / / / ( t t t ) dt / 8 7 / / t t t C ( ) ( ) ( ) C

6 Całkujc wzór a róiczk iloczyu fukcji u i v, majcych cigł pochod u i v, otrzymujmy wzór a całkowai przz czci: ( ) d u( ) v ( ) d u( ) v( ) v( ) u Przykład Obliczy całk arctgd Rozwizai Uyjmy wzoru a całkowai przz czci, przyjmujc Wtdy oraz. u arctg, v u arctgd, v arctg d W ostatij całc wydzilamy cz całkowit fukcji wymirj, a astpi całkujmy d d d arctg C Ostatczi arctgd ( ) arctg arctg C 5.6

7 5.. Całkowai fukcji wymirych oraz Fukcj wymir postaci A B ( p q ) A ( a ),,,... (), p q < 0,,,... gdzi A, B, a, p, q ozaczaj pw stał, azywamy ułamkami prostymi. Fukcj wymir P( ) Q( ) Q() moa przdstawi w postaci L( ) W ( ), M ( ), bdc ilorazm wilomiaów P() i gdzi W(), L() i M() s wilomiaami takimi, w ilorazi L( ) M ( ) stopi liczika jst iszy od stopia miaowika. Prawdziw jst twirdzi: Kad fukcj wymir, którj stopi liczika jst iszy od stopia miaowika moa przdstawi jako sum ułamków prostych. 5.7

8 Rozwamy fukcj wymir P( ) Q( ) (ułamk iskracaly, liczik jst stopia iszgo i miaowik) i jj rozkład a ułamki prost. Naly ajpirw rozłoy miaowik Q() a czyiki pirwsz. Czyikowi ( a) odpowiada bdzi ułamk prosty A a ; gdy ( a) wystpuj w potdz k-tj, odpowiada mu suma k ułamków A a A Ak. k ( a) ( a) Podobi czyikowi kwadratowmu p q przyporzdkujmy ułamk prosty A B, p q za czyikowi ( p q ) k sum A B p q A B Ak Bk. k ( p q ) ( p q ) 5.8

9 Przykłady. Rozłoy ułamk właciwy a ułamki prost a) 6 Rozkładamy miaowik ułamka a czyiki: ( ) Naly zal stał A, B, C, D taki, 6 A B C D Moc to stroami przz ( ) otrzymujmy 6 A ( ) B( ) C( ) D Współczyiki przy tych samych potgach zmij : A D, A B, B C 6, C, skd dostajmy A, B, C i D, zatm 6 5.9

10 b) Miaowik 9 0 przdstawia si jako iloczy 9 0 ( 5 )( ), skd A B 5 C Po przmoiu stroami przz ( 5 )( ) dostajmy 7 ( A B )( ) C( 5 ) Współczyiki przy jdakowych potgach : A C, A B C, B 5C 7, Std A, B, C i ostatczi:

11 Całkowai fukcji wymirych sprowadza si zatm do całkowaia wilomiaów i ułamków prostych. t Ułamk prosty typu a, co daj A ( a ) A ( a ) całkujmy podstawiajc A( a ) d, Al a, Przy całkowaiu ułamka prostgo typu A B ( p q ), p q < 0,,,... fukcj podcałkow moa przdstawi w postaci A B A p D ( p q ) ( p q ) ( p q ) gdzi Zatm ( D B A B Ap p q ) d A ( p p q ) d D ( d, p q ) Pirwsz z całk po prawj stroi obliczamy podstawiajc t p q, w drugij za przkształcamy trójmia p q do postaci kaoiczj p p q i przyjmujc p jako 5.

12 ow zmi i ozaczajc ( u du a ) p q jako a otrzymujmy całk, któr wylicza si za pomoc wzoru rkurcyjgo dla,,... : ( d a ) a ( a ) ( ) a ( d a ) Wyzaczy całk fukcji wymirj a) 5 d Trójmia ma wyróik ujmy, wic fukcja podcałkowa jst ułamkim prostym. Wyrazimy liczik tgo ułamka za pomoc pochodj miaowika. Skoro ( ), zatm 5 d ( ) 9 d d 9 Dla pirwszj całki mamy: d l( ) Dla drugij całki zapiszmy d d ( ) d 5.

13 i astpi stosujc podstawii t dostajmy, Ostatczi d arctg( ) 5 d l ( ) arctg( ) C b) d J d d d d d Ostatia całka: ( )( )( ) skd A B C D Po oblicziach A 0, B, Zatm d Ostatczi wic J C i arctg l D. d arctg C l C 5.

14 6... Obliczy całki a) ( 5 ) d 5 7 d) ( ) 6 b) 5.5. Zadaia 6 d / d ) ( a ) d h) g) d j) ( cos ) d k) m) d ) c) ( a)( f) b) d ( ) si d i) tg d 0 5 si d l) d o) si cos d d d 6... Obliczy całki 7 a) ( ) d b) d c) 5 ) ) d d) d g) 5 5 d 5 ( f) d d h) si cos d i) j) ctg d k) m) ( ) p) d 8 d l) ) d 5 tg cos q) s) cosh sih d / d 5 6 d 6 7 o) d 9 r) l d cos 9 si cos si d d 5.

15 6... Obliczy całki a) ( ) ) d d f) b) ( 0 5) d d l c) d l d) g) d h) d si si d 6... Korzystajc z wzoru a całkowai przz czci obliczy całki a) cos d b) l d c) d d) l d 5 ) arcsi d f) l d g) l( ) d h) sih d i) cos d j) d cos k) ( ) d ) arcsi ) d m) si d l) l d ( o) ( ) ld 5.5