( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Transkrypt

1 List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f + + ; b) f ; c) f e sin + Obliczyć nstępujące grnice: + ) ; b) + + ; c) 8 4 ; d) + sin ; e) 4 Zbdć czy istnieją grnice: ) ; b) ; c) sin ; d) ; e) cos 5 Wyznczyć symptoty funkcji: + ) f ; b) f sin d) f ; e) f + π + ; c) f ; d) cos ; f) f e f ; 6 Sprwdzić ciągłość funkcji: f ) + dl + dl > ; b) sin dl f ; dl c) + + dl f + dl sin dl < f dl dl > ; d) 7 Dl jkiej wrtości prmetru funkcje: sin dl + dl ) f ; b) f ; + dl > dl dl c) f ( ) dl > są ciągłe? f ; d) dl + dl >

2 Przykłdowe rozwiązni: Ad ) W rozwiązniu wykorzystmy definicję grnicy w punkcie: Mmy ztem pokzć Ŝe f g [( ) f g n n n n n ( ) [( ) + n n n n n ( ) + ( ) + + n n n n n Ad ) ( + + ) ( + + ) + + ( + + ) ( ) ( ) poniewŝ w drugiej grnicy trzy osttnie skłdniki są wyrŝenimi oznczonymi postci któryc grnice są równe Ad ) Jest to wyrŝenie postci le korzystjąc z twierdzeni Bezout moŝemy funkcje kwdrtowe rozłoŝyć n czynniki: + ( ) ( ) + ( ) ( + ) + Ad 4) Wrunkiem koniecznym i wystrczjącym n to by funkcj mił grnicę w punkcie jest istnienie i równość jej grnic jednostronnyc Wspóln wrtość grnic jednostronnyc jest wówczs grnicą funkcji + + PoniewŜ grnice jednostronne są róŝne więc bdn grnic nie istnieje Ad 5) Szuknie symptot zczynmy od znlezieni dziedziny funkcji poniewŝ funkcj wymiern moŝe mieć symptoty pionowe tylko w punktc które nie nleŝą do dziedziny f ; + D R \ Ztem obliczmy grnice: + ( + ) Stąd { } ± + ztem prost nie jest prost jest symptotą pionową ± więc funkcj nie m symptoty poziomej moŝe mieć symptotę ukośną : ± +

3 y b + gdzie f i b ( f ) W nszym przykłdzie i b Ztem prost y jest symptotą ukośną + dl f + dl > Jedynym punktem podejrznym o nieciągłość jest f f f Ad 6) Funkcj f jest ciągł w f + + i f + Ztem funkcj jest ciągł w cłej dziedzinie sin dl Ad 7) f dl Punktem podejrznym o nieciągłość jest Funkcj jest ciągł w punkcie gdy grnic funkcji w tym punkcie jest równ wrtości funkcji w tym punkcie ( f ( ) f ( ) ) sin sin sin poniewŝ ( fkt ten dowodzi się wykorzystując twierdzenie o ciągc) Stąd czyli Dl młego i dodtniego zcodzi: sin tg JeŜeli pomnoŝymy te nierówności przez sin (>) to otrzymmy: sin Przecodząc do odwrotności sin cos sin cos sin zmienimy nierówności i otrzymujemy: cos PoniewŜ cos to z sin twierdzeni o funkcjc ( ciągc) otrzymujemy Ŝe Twierdzenie (o grnicc funkcji) : f g f g f g f g ( ± ) ± ( ) f f ( c g ) c g g g Twierdzenie (o oznczonyc grnicc niewłściwyc funkcji): dl c c c c < c < Symbole nzywmy wyrŝenimi nieoznczonymi

4 List / Pocodne funkcji Z definicji policzyć pocodne nstępującyc funkcji w punkcie : ) f() ; b) f() ; c) f() Sprwdzić czy funkcj y m pocodną w punkcie Obliczyć pocodne nstępującyc funkcji: ) f() b) f() ( + ) e c) f() d) f() + e) f() g) f() ln(+ ) ) f() e f) f() 5 + e sin i) f() tg j) f() cos 4 Obliczyć nstępujące grnice przy pomocy reguły de L Hospitl: ) sin b) c) ln d) ln e) e + 5 Korzystjąc z róŝniczki I rzędu obliczyć przybliŝoną wrtość wyrŝeń: ) 69 b) () c) ( ) d) sin o e) e f) ln(9) 6 Wyznczyć przedziły monotoniczności ekstrem loklne przedziły wypukłości i wklęsłości orz punkty przegięci funkcji: ) f() b) f() + + c) f() sin [ π ] + 4 d) f() e e) f() f) f() g) f() + 4 ) f() e i) f() j) f() k) f() ln l) f ł) f sin sin m) f e 4 4 n) f + 7 Przeprowdzić pełne bdnie i nszkicowć wykresy funkcji z zdni 6 ln 8 Wyznczyć elstyczność dl funkcji liniowej: f + b orz dl funkcji g nstępnie je porównj 9 Wykonj wykres elstyczności cenowej popytu jeŝeli funkcj popytu d p p + dl cen ze zbioru [6] α

5 Przykłdowe rozwiązni: Ad ) Pocodn funkcji w punkcie f ' ' f ( + ) f ( ) f ( ) Stąd jest równ grnicy (o ile istnieje): ( + ) + + ( + ) f ' Ad ) f ' Grnic t nie istnieje poniewŝ + Ad ) Korzystmy z fktów Ŝe pocodn jest przeksztłceniem liniowym (tzn Ŝe α f β g ' α f ' β g ' ' : ( ) + + ) i z f ' 5 ' ' ' ' 5 ' 4 Ad c) Korzystmy z wzoru n pocodną funkcji złoŝonej: ( f g ) ' f ' g g ' W tym przykłdzie: g 5 + i f wtedy g ' 5 i f ' 5 Ztem ( 5 + )' ( ) 5 + f H f ' Ad 4 Reguł de L Hospitl : g g ' ) sin e c) + H cos ; H e H e Ad 5 Dl młyc zcodzi: f '( ) ' f + f + f ) Dl tego przykłdu f f ( 7) i '( 7) ( + ) f f ztem + 69 i 7 8 ; f ' f 7 : Ad 6) Korzystmy z nstępującego twierdzeni:

6 JeŜeli dl kŝdego [ b] funkcj f spełni wrunek: f ()> to jest rosnąc n [ b]; f ()< to jest mlejąc n [ b] JeŜeli f zmieni w punkcie c znk to w c jest ekstremum JeŜeli f > to jest wypukł n [ b]; jeŝeli f < to f jest wklęsł n [ b] JeŜeli f zmieni znk w c to c nzywmy punktem przegięci 8 f ' ( )' + 6 ; f ' > ( ) 8 i f ' < ; w punkcie 8 funkcj m mksimum loklne w m f " f ' ' 6 f " > ( ) orz minimum loklne + ; f " < ( ) W punkcie funkcj m punkt przegięci Ad 8 Dl funkcji f ( ) elstyczność f względem określmy z wzoru: E JeŜeli f + b to E + b ; dl g α α α E α α Pierwsz elstyczność jest funkcją zmiennej drug nie zleŝy od rgumentu E ' f f JeŜeli f ( ) jest funkcj popytu w zleŝności od ceny wówczs gdy < to mówimy Ŝe popyt jest nieelstyczny czyli wzrost ceny powiększ docód JeŜeli E > to mówimy Ŝe popyt jest elstyczny czyli wzrost ceny prowdzi do spdku docodu Pocodne wŝniejszyc funkcji elementrnyc: c c ( )' c ; ( sin ) ' cos ; ( cos ) ' sin ; ( tg) ' ; ( ctg) ' ; cos sin ( c) ' ; ( )' ln ; ( e )' e ; ( ln ) ' ; ( log ) ' ; ln ( rcsin ) ' ; ( rccos ) ' ; ( rc tg) ' ; ( rc ctg) ' + + Twierdzeni o pocodnej funkcji: f ± g ' f ' ± g ' ; f g ' f ' g + f g ' ; ( ) f f ' g f g ' ( ) g g ( ) ( o ) c f ' c f ' ; ' ; f g ' f ' g g ' ; f y ' gdy y f f '