Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz dzidziny następujących funkcji: ) f ) f 5) log 6 ) f ) f 7 Zadani Oblicz granic funkcji: log f 5 6) f 7 8 ) ) ) 8 7 ) 5) 6) 7) 8) 9) 5 5 7 7 7 6 0) 6 ) ) 9) 0) ) ) ) 9 ) 5) 6) 7) 8) ) 0 0 sin 0 5 sin ) 5 0 5) 6) 7) tg 0 8 sin8 0 sin 5 7 Zadani Oblicz granic jdnostronn funkcji: ) 8 6) ln ) 0 5 6) 6 ) ) ) 5) 8 sin ln 7) log 0 8) log 0 9) 0 0) 0 ) ) ) 5) 0 5 7) 0 8) 0 9) 6 0) 6 9 6 9 sin 0 sin 0
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz asymptoty następujących funkcji: 6 ) f ) f 7) f 0) f ln ln ) f 5) f 8) f ) f 7 6 5 ) f 9 6) f 9) f ) Zadani 5 Oblicz pochodn następujących funkcji: 5 ) f 7) f ) ln ) f 6 7 5 8) f sin ) f sin 9) f f ) f sin ln 5) f f ln ln ) f log tg 0) f cos 6) 5 f sin 5) f ) f 7) f 5 6) 0 f ) f sin 8) f sin cos 5 Zadani 6 Za pomocą różniczki znajdź przybliżni liczby: ) 8 0 ) 00 ) 5 ) 99 ln 0 5) 098 ln 0 98 Zadani 7 Oblicz granic (zastosowani twirdznia d l'hȏspitala): ) ) ln 5 5 sin 6) 0 ) ln ) 0 5) ln 9) 7) 8) 0 0 sin 0) ) 0 sin ln cos ) ln 0 sin ) ctg cos 0 cos 0 sin ) 0 5) 6) 0 tg
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani 8 Wyznacz przdziały monotoniczności następujących funkcji: ) f ) f 5 7) ) 6 9 f 7 5) f ) f Zadani 9 f 8) f ln 6) f 9) f Wyznacz kstrma następujących funkcji: ) f ) f 5 7) ) 6 9 f 7 5) f ) f Zadani 0 f cos f 8) f ln 6) 9) f cos Wyznacz przdziały wypukłości i wklęsłości następujących funkcji oraz ich punkty przgięcia: ) 9 f 5 ) f 7) f f ln f ln ln ) f 5) f 8 8) ) f 6) f sin Zadani Zbadaj przbig zminności następujących funkcji i sporządź ich wykrsy: 9) ) f ) f ) f ) Zadani f Nich P oznacza cnę dango dobra w zł Q d oznacza wilkość popytu na dan dobro w sztukach wtdy jst funkcją popytu dango dobra względm cny Dla podanych funkcji popytu: ) Q d P 0 5P ) Q d P ln P ) d P n k Q gdzi k i n są dodatnimi stałymi P Q d P wyznacz: a) dzidzinę b) zbiór wartości funkcji c) popyt krańcowy (+ intrprtacja) d) lastyczność cnową popytu (+ intrprtacja) ) funkcję przychodu całkowitgo f) przychód krańcowy (+ intrprtacja) g) lastyczność cnową przychodu (+ intrprtacja) oraz zbadaj dla jakij cny: h) popyt jst lastyczny i) popyt jst nilastyczny j) przychód osiąga wartość największą
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Koszt zminny wyprodukowania jdnostk pwngo dobra dany jst funkcją VC 69 56 a koszty stał produkcji FC wynoszą 60 Cna tgo dobra przy którj popyt jst równy podaży dana jst funkcją P Skonstruuj funkcję zysku i odpowidz na pytania: a) Przy jakij wilkości produkcji opłaca się wytwarzać to dobro? b) Przy jakij wilkości produkcji zysk jst maksymalny? Il wynosi zysk maksymalny? Zadani Nich funkcja kosztów przciętnych pwngo przdsiębiorstwa wyraża się wzorm AC 0 0 0 a) Znajdź lastyczność kosztu przciętngo b) Znajdź lastyczność kosztu całkowitgo c) Jaki związk zachodzi pomiędzy lastycznością kosztu całkowitgo i lastycznością kosztu przciętngo w tym przypadku? d) Czy wniosk z punktu c) da się uogólnić?
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani ) R \ ; ODPOWIEDZI DO ZADAŃ 5) 9 ; ) ; ; \ ; ) ) ; \ Zadani ; 6) ; 6 ; ) ) 6 ) 7) 5) 60 8) ) 6) 0 9) 6 7 0) ) ) ) ) 5) 0 6 6) 7) 8) 7 6 9) ) 0) 6 5 ) ) ) 5) 6) 6 7) 0 Zadani ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) 5) 0) 0 ) ) ) ) 5) 5 6) 8 7) 8) 9) 8 0) Zadani ) y 0 asymptota pozioma obustronna asymptota pionowa obustronna ) y asymptota pozioma obustronna asymptota pionowa obustronna ) Brak asymptot ) asymptota pionowa obustronna y asymptota ukośna obustronna 5) asymptota pozioma obustronna asymptota pionowa obustronna y asymptota pionowa obustronna 6) asymptota pionowa obustronna y asymptota pozioma obustronna 7) y asymptota ukośna prawostronna 8) asymptota pionowa obustronna y 8 asymptota ukośna obustronna 5 asymptota pionowa obustronna 9) 0 asymptota pionowa prawostronna y asymptota ukośna obustronna 0) asymptota pionowa obustronna ) y asymptota pozioma obustronna asymptota pionowa lwostronna 0 asymptota pionowa prawostronna ) asymptota pionowa prawostronna y asymptota ukośna lwostronna y asymptota ukośna prawostronna 5
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani 5 Wzory na pochodn funkcji lmntarnych: C 0 a a ln a gdzi C 0 a 0 ln log a ln sin cos a cos sin a 0 jst stałą R a a Podstawow twirdznia rachunku różniczkowgo: C f C f f g f g f g f g f g f g f g f g g f g f g g ) f 6 ) f ) f sin cos ) f 7) ln 5) 5 9 f 6) f 0 5 ln cos 6 5 5 f 8) f 7 sin cos 6 5 5 9) f ln 0) f cos sin ) f 6ln 0 ) f cos ) f ) f sin ln cos ln sin 5) f 6) ln 7 0 sin f 0 7) f cos ln 8) f 5sin cos5 coscos5 sin 5 Zadani 6 Wskazówka: f 0 d f 0 f 0 d ) 0008 ) 0 Zadani 7 ) 9875 ) 0 0 5) 0 0 ) 5) 9) 0 ) 0 ) 0) ) ) 0 7) ) 5) ) 0 8) ) 6) 6) 0 sin 5 6
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani 8 ) Funkcja jst rosnąca w przdzial ) Funkcja jst rosnąca w przdziałach oraz maljąca w przdzial ) Funkcja jst rosnąca w przdziałach ) Funkcja jst rosnąca w przdziałach 5) Funkcja jst rosnąca w przdzial 6) Funkcja jst rosnąca w przdzial 7) Funkcja jst rosnąca w przdziałach oraz maljąca w przdziałach 8) Funkcja jst rosnąca w przdzial 9) Funkcja jst maljąca w zbiorz R Zadani 9 0 oraz maljąca w przdzial oraz maljąca w przdzial oraz maljąca w przdzial oraz maljąca w przdziałach oraz maljąca w przdziałach oraz maljąca w przdzial f min ) f ma 7 f 6 min ) f ma 7 ) f f 7 5) f ma min min f ma ) f ma 6 fmin 6) f min ma Zadani 0 ) Funkcja jst wypukła w przdzial wklęsła w przdzial Punkt przgięcia funkcji to 6 ) Funkcja jst wypukła w przdzial 0 wklęsła w przdzial 0 Punkt przgięcia funkcji to 0 0 0 7) f 0 f min 0 ln 8) min f 9) brak kstrmów ) Funkcja jst wypukła w przdziałach 0 Punkty przgięcia funkcji to 0 0 i 6 ) Funkcja jst wypukła w przdziałach 0 oraz wklęsła w przdzial Punkt przgięcia funkcji to 0 0 5) Funkcja jst wypukła w przdzial wklęsła w przdzial Punkt przgięcia funkcji to 9 6) Funkcja jst wypukła w przdziałach C 0 oraz wklęsła w przdzial k k k k k k wklęsła w przdziałach C Punkty przgięcia funkcji to k k k C 7) Funkcja jst wypukła w przdzial wklęsła w przdzial Punkt przgięcia funkcji to 0 8) Funkcja jst wypukła w przdzial wklęsła w przdzial 0 Punkt przgięcia funkcji to ln 6 9) Funkcja jst wypukła w przdzial wklęsła w przdziałach oraz Punkty przgięcia funkcji to ln ln 0 f ma 7
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani ) f Dzidzina: R \ Mijsca zrow: 0 Punkt przcięcia z osią OY: Asymptoty: a) pozioma: brak b) pionow: c) ukośna: y w 00 obustronna 5 Przdziały monotoniczności: i obustronna a) Funkcja jst rosnąca w przdziałach: b) Funkcja jst maljąca w przdziałach: 9 6 Ekstrma lokaln: f ma f 9 min 7 Przdziały wypukłości i wklęsłości: a) Funkcja jst wypukła w przdziałach: b) Funkcja jst wklęsła w przdziałach: 8 Punkt przgięcia: 9 Wykrs: 00 0 0 8
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Dzidzina: Mijsca zrow: 0 ) f R Punkt przcięcia z osią OY: Asymptoty: a) pozioma: y 0 w b) pionow: brak c) ukośna: brak 5 Przdziały monotoniczności: 00 i a) Funkcja jst rosnąca w przdzial: b) Funkcja jst maljąca w przdziałach: 6 Ekstrma lokaln: f f ma 7 Przdziały wypukłości i wklęsłości: a) Funkcja jst wypukła w przdzial: b) Funkcja jst wklęsła w przdzial: 8 Punkt przgięcia: 9 Wykrs: 00 min 0 0 9
Tmat : Funkcj jdnj zminnj ) f R \ Dzidzina: Mijsca zrow: brak Punkt przcięcia z osią OY: Asymptoty: a) pozioma: brak b) pionow: c) ukośna: y 0 obustronna w 5 Przdziały monotoniczności: i a) Funkcja jst rosnąca w przdziałach: b) Funkcja jst maljąca w przdziałach: 6 Ekstrma lokaln: f 0 ma 7 Przdziały wypukłości i wklęsłości: a) Funkcja jst wypukła w przdzial: b) Funkcja jst wklęsła w przdzial: 8 Punkt przgięcia: brak 9 Wykrs: 0 0 f min 0
Tmat : Funkcj jdnj zminnj ) f Dzidzina: Mijsca zrow: R \ Punkt przcięcia z osią OY: 0 7 Asymptoty: a) pozioma: brak b) pionow: obustronna c) ukośna: y 5 w i 5 Przdziały monotoniczności: a) Funkcja jst rosnąca w przdziałach: 0 b) Funkcja jst maljąca w przdzial: 7 6 Ekstrmum lokaln: f ma 0 7 Przdziały wypukłości i wklęsłości: a) Funkcja jst wypukła w przdzial: b) Funkcja jst wklęsła w przdziałach: 8 Punkt przgięcia: 9 Wykrs: 0 0
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani ) Q d P 0 5P a) D Q : P 08 b) : Q 00 ZW Q MQ P c) 5 d) P EQ D P P 8 ) RP 0P 5P Q d P ln ) P a) D Q : P 0 b) : Q 0 ZW Q P EQ D P ln P R P P P ln c) MQP d) ) P k ) Q P AP d a) D Q : P 0 b) : Q 0 ZW Q k c) MQ P AkP d) P k EQ D ) R P AP k MR P 0 0 f) P g) ER P P 8 P 8 h) EQ D P P 8 i) P P 0 EQ D j) P f) MRP ln P g) ERP ln P ln P h) P P EQ D i) EQ D P P 0 j) P k f) MRP A kp ER P g) k h) P EQ D dla każdgo P gdy k i) EQ D P dla każdgo P gdy k 0 j) brak rozwiązania (al moż są jakiś uwagi?) Zadani 6 69 8 60 a) 0 b) 7 Zadani a) EAC b) ETC 7 675 0 0 0 0 6 0 0 0 c) ETC EAC d) Tak Poniważ TC AC ETC to: TC AC AC AC AC EAC TC AC AC AC