Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Transkrypt

1 Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

2 Siły oporu (tarcia) są zwykle proporcjonalne do prędkości ciała*: F oporu rv r dx dt Oscylator mechaniczny w obecności sił tarcia (tłumienie): ma rv kx Obwód RLC (opór R odpowiada za tłumienie): L RI di dt q C * A przedtem było (patrz wykład 3.), że do kwadratu prędkości! Nieoduczeni ci wykładowcy, albo kłamią na wykładach

3 Ogólne równanie drgań tłumionych (straty energii na oporze ośrodka, proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia, czyli prędkości): x x x Dla oscylatora mechanicznego: r m k m

4 Ogólne rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej rozwiązań szczególnych: t N x t N x t x 1 1 gdzie: t A x1, 1, exp t

5 t A x1, 1, exp Rodzaje rozwiązań: 1) dla oba pierwiastki są rzeczywiste i ujemne, więc rozwiązaniem jest aperiodyczne, wykładnicze malenie x od A do zera; t ) dla występuje tzw. tłumienie krytyczne jest to minimalna wartość tłumienia, przy której ruch jest aperiodyczny;

6 x 1, Rodzaje rozwiązań: 3) dla mamy drgania gasnące oscylacje o zanikającej amplitudzie: A exp t A x1, 1, exp t exp i t t

7 Ograniczając się do jednego rozwiązania (znak plus przy fazie) i pisząc rozwiązanie w postaci funkcji harmonicznej: A x t A exp t r m t A exp t t sin nazywamy amplitudą drgań gasnących; to współczynnik tłumienia; to częstość własna drgań układu tłumionego; k m to częstość drgań swobodnych układu;

8 x t A exp t sin t Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi nigdy nie powtarzają się największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko umownie można nazwać częstością kątową w tym sensie, że wskazuje ona, ile razy w ciągu sekund drgający układ przechodzi przez położenie równowagi! Podobnie: T nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.

9 Współczynnik tłumienia mówi nam o stosunku kolejnych amplitud drgań gasnących: A A n n1 exp T Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń, następujących po sobie w odstępie czasu T (umownego okresu) nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia : ln A A n n1 T

10 Oznaczmy przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejszy się e-krotnie. Wtedy: 1 albo: 1 czyli: współczynnik tłumienia jest wielkością fizyczną równą odwrotności odstępu czasu, w ciągu którego amplituda zmniejsza się e-razy. Czas nazywamy czasem relaksacji. Podobnie: gdy przez N oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu których amplituda zmaleje e-razy, okaże się, że: czyli: dekrement logarytmiczny tłumienia jest wielkością równą odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejszy się e-razy. 1 N

11 DRGANIA WYMUSZONE Oprócz siły sprężystej i siły oporu, działamy na układ dodatkową siłą okresową siłą wymuszającą F: F t F cos t Ogólne równanie ruchu oscylatora mechanicznego przybiera wtedy postać: d x m dt r dx dt kx Jest to równanie różniczkowe niejednorodne. F cost

12 DRGANIA WYMUSZONE d x m dt r dx dt Spodziewamy się rozwiązania powyższego równania różniczkowego w postaci drgania harmonicznego z częstością, równą częstości siły wymuszającej F, ale amplituda tych drgań powinna zawierać informacje o masie m, tłumieniu i wielkości siły wymuszającej F a także częstości własnej układu : kx F cos t xt Asin t m F??

13 DRGANIA WYMUSZONE Można pokazać, że: A m 4 F Amplituda A ustalonych drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej F i odwrotnie proporcjonalna do masy m układu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia. Faza początkowa ma teraz sens różnicy faz między amplitudą drgań wymuszonych A i amplitudą siły wymuszającej F ściślej: ponieważ użyliśmy funkcji cosinus do opisu siły wymuszającej i funkcji sinus do opisu drgania x(t), to szukaną różnicą faz będzie: tan

14 DRGANIA WYMUSZONE Analizując wyrażenie na amplitudę drgań wymuszonych: A m 4 F możemy zauważyć, że w przypadku braku tłumienia (=), gdy częstość siły wymuszającej F równa jest częstości drgań własnych układu, amplituda ta rośnie do nieskończoności!

15 DRGANIA WYMUSZONE Natomiast w obecności tłumienia, maksimum wyrażenia na amplitudę A uzyskamy dla: Zjawisko to nazywamy rezonansem. Ale co to jest rezonans? Niedobry wykładowca nie podał definicji, żeby ją na ściądze zapisać

16 DRGANIA WYMUSZONE Przykład obwodu elektrycznego: siła elektromotoryczna, wymuszająca drgania, jest równa: E t exp it Wtedy: równanie opisujące ruch ładunku elektrycznego w obwodzie (= prąd elektryczny!): d q L dt Rozwiązanie ogólne w postaci: gdzie: q L q q dq R dt exp i t q C R L exp it R / L tg