dr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA

Transkrypt

1 NAZEWNICTWO LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH d n u a n d x + a d n 1 u n n 1 d x a d 2 u n 1 2 d x + a d u 2 1 d x + a u = b( x) Powyższe równanie o niewiadomej funkcji u(x) to równanie różniczkowe zwyczajne nie występują pochodne cząstkowe rzędu n liczba naturalna n to najwyższy rząd występującej pochodnej liniowe funkcja niewiadoma i jej pochodne występują w pierwszej potędze o stałych współczynnikach współczynniki a i (i=1,..,n) nie zależą od zmiennej x Gdy prawa strona równania jest równa b( x), wtedy równanie nazywamy jednorodnym. W przeciwnym razie równanie nazywamy niejednorodnym. WARUNKI BRZEGOWE Rozwiązanie takiego równania istnieje i jest jednoznaczne, jeśli określimy dodatkowo warunki brzegowe (jeśli określone są na krańcach interesującego nas obszaru zmienności zmiennej x) lub warunki początkowe (jeśli wszystkie warunki określone są na początku tego przedziału). Wiemy, że w wyniku różniczkowania, wyrażenia stałe występujące w różniczkowanej funkcji znikają. I tak, najprostsze równanie różniczkowe d u d x = b( x) u= b(x)d x + C ma nieskończenie wiele rozwiązań różniących się między sobą stałą liczbą, tj. stałą całkowania C. Aby określić rozwiązanie zagadnienia jednoznacznie, musimy podać dodatkowe warunki, które spełniać musi funkcja u w ten sposób będziemy mogli wyznaczyć nieznaną stałą. Oczywiście, warunki te muszą być określone dla samej funkcji, nie zaś dla jej pochodnej. Dla równania różniczkowego rzędu n potrzebnych jest n warunków. ROZWIĄZANIE OGÓLNE Rozwiązanie rozważanego równania różniczkowego będziemy konstruować w ogólności w dwóch etapach: wyznaczenie całki ogólnej równania jednorodnego (CORJ), tj. najogólniejszej funkcji u og ( x) spełniającej równanie różniczkowe z pominięciem członu niejednorodnego (przyjmując b( x) ). Całka ogólna nie może być jakimkolwiek rozwiązaniem. Dla równania rzędu n musi to być rozwiązanie zależące w ogólności od n stałych parametrów (stałych całkowania, niezależnych od x), które mogą przyjmować różne wartości. Dla każdej z przyjętych wartości funkcja ta nadal ma spełniać równanie jednorodne. Ostateczne wartości tych stałych wyznaczać będziemy z warunków brzegowych. wyznaczenie całki szczególnej równania niejednorodnego (CSRN) tj. jakiejkolwiek funkcji u sz ( x) spełniającą równanie niejednorodne. Ostatecznym rozwiązaniem będzie suma powyższych dwóch całek, tj. całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) u(x) = u og ( x) + u sz ( x) 216 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3. PL 1

2 WYZNACZANIE CORJ W rozpatrywanym przypadku liniowego równania różniczkowego zwyczajnego o stałych współczynnikach znalezienie całki ogólnej równania jednorodnego jest bardzo proste. Przyjmijmy, że u(x) = e rx. Po zróżniczkowaniu i podstawieniu do równania jednorodnego otrzymujemy: (a n r n +a n 1 r n a 2 r 2 +a 1 r+a )e rx = Obie strony możemy podzielić przez e rx ponieważ funkcja ta jest zawsze różna od. Otrzymujemy w ten sposób równanie charakterystyczne: a n r n +a n 1 r n a 2 r 2 +a 1 r+a = Jest to równanie algebraiczne ze względu na zmienną r. Możemy je rozwiązać kolejnym pierwiastkom tego równania odpowiadają rozwiązania równania różniczkowego zgodnie z poniższym schematem: r jest pojedynczym pierwiastkiem rzeczywistym równania charakterystycznego rozwiązaniem jest funkcja u(x) = C 1 e rx r jest k-krotnym pierwiastkiem rzeczywistym równania charakterystycznego rozwiązaniem jest funkcja u(x) = (C 1 +C 2 r+...+c k r k 1 ) e rx r jest pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego rozwiązaniem jest funkcja u (x) = e R (r) [C 1 sin (x I(r)) + C 2 cos( x I(r))] R( r) oznacza część rzeczywistą liczby r, zaś I(r) jej część urojoną. Całka ogólna jest sumą wszystkich rozwiązań uzyskanych zgodnie z powyższym schematem. Przykładowo: Równanie jednorodne: Równanie charakterystyczne: d u 7 d u6 d u5 d u4 d u3 d u d x d x d x d x d x 3+32 d x 33 d u 2 d x +1 = r 7 8r r 5 34 r 4 +7 r r 2 33 r+1 = {r 1 =2 r 2 = 1 r 3 =r 4 =r 5 =3 r 6 =2 i, r 7 = r 6 =2+i Całka ogólna równania jednorodnego: u og ( x) = C 1 e 2 x + C 2 e ( 1) x + (C 3 +C 4 x+c 5 x 2 )e 3 x + e 2 x [C 6 sin (1 x)+c 7 cos(1 x)] UWAGA: Pierwiastki zespolone zawsze występują parami, tj. jeden z nich zawsze jest sprzężeniem, któregoś z pozostałych. Sprzężone liczby zespolone różnią się jedynie znakiem części urojonej. Jest obojętne, którą z nich weźmiemy do wzoru funkcja cosinus jest parzysta, więc nie ma to znaczenia, sinus zaś jest nieparzysta i wtedy zamiast np. stałej C 6 wyznaczyć musimy stałą -C 6, co nie ma znaczenia dla dalszych rachunków. 216 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3. PL 2

3 WYZNACZANIE CSRN Całkę szczególną możemy znaleźć na różne sposoby. W praktyce, w podstawowych zagadnieniach fizycznych znajduje się ją tzw. metodą przewidywania. Ponieważ chodzi nam o jakiekolwiek rozwiązanie szczególne, poszukujemy zatem rozwiązania tego samego typu, co niejednorodny człon równania b( x). Jeśli b( x) jest funkcją funkcją trygonometryczną, wykładniczą lub wielomianową, to u sz ( x) przewidywać będziemy w postaci funkcji odpowiednio trygonometrycznej (o tym samym okresie), wykładniczej (o tym samym wykładniku) lub wielomianowej (tego samego stopnia) ze stałymi współczynnikami. Przykład FUNKCJA TRYGONOMETRYCZNA: Równanie: 4 d u 5 u = 3 cos(2 x) d x Przewidujemy: u = Asin (2 x)+b cos(2 x) Podstawiamy: 4 [2 A cos(2 x) 2 Bsin (2 x)] 5[ A sin(2 x)+ B cos(2 x)] = 3cos(2 x) Porównujemy: ( 8 B 5 A)sin(2 x) + (8 A 5 B)cos(2 x) sin(2 x) + 3 cos(2 x) { 5 A 8 B = 8 A 5 B = 3 {A = B = u sz = 24 sin(2 x) 15 cos(2 x) Przykład FUNKCJA WYKŁADNICZA: Równanie: 2 d u x +u = 21 e 4 d x Przewidujemy: u = A e 4 x Podstawiamy: 2 [ 4 A e 4x ]+ Ae 4 x = 21e 4x Porównujemy: 7 Ae 4 x 21e 4x A = 3 u sz = 3e 4 x Przykład FUNKCJA WIELOMIANOWA: Równanie: Przewidujemy: Podstawiamy: Porównujemy: d u d x +2 u = 4 x2 2 u = A x 2 +B x+c [2 A x+ B]+2( A x 2 +B x+c) = 4 x 2 2 (2 A) x 2 +(B 2 A)x+(2C B) 4 x 2 2 { 2 A = 4 { A = 2 B 2A = B = 4 u sz = 2 x 2 +4 x 8 2C B = 2 C = Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3. PL 3

4 DRGANIA HARMONICZNE NIETŁUMIONE Równanie ruchu: m ẍ+k x = P (t) m ẍ - pozorna siła bezwładności, k x - siła w sprężynie, zgodnie z prawem Hooke'a proporcjonalna do jej wydłużenia P (t) - zewnętrzna siła wymuszająca (zmienna w czasie) [P] = N x - wychylenie od położenia równowagi [x] = m m - masa drgająca [m] = kg k - sztywność układu [k] = N / m mẋ. kx Sztywność sprężyny określa nam wielkość wychylenia statycznego A st, gdy stała siła wymuszająca P st =const. przyłożona jest quasistatycznie (tak wolno, że nie zachodzą zjawiska bezwładnościowe i człon z przyspieszeniem może być pominięty): k x = P st A st = P st k P(t) DRGANIA SWOBODNE NIETŁUMIONE Równanie ruchu drgań swobodnych, tj. bez siły wymuszającej drgania spowodowane są zadaniem początkowego wychylenia lub początkowej prędkości: ω = k m ẍ+ω 2 x = - częstość drgań własnych [ω ] = rad s f = ω - częstotliwość drgań własnych [ f 2π ] = Hz = 1 s T = ν 1 = 2 π ω - okres drgań własnych [T ] = s Rozwiązanie: x(t) = A 1 sin(ω t ) + A 2 cos(ω t ) A 1 = v ω A 2 = x x wychylenie pczątkowe v prędkość początkowa lub po przekształceniach: ω = k m A = A A 2 2 x(t) = Asin(ω t+ϕ) - częstość drgań własnych [ω ] = rad s A = x 2 + v 2 - amplituda drgań [ A] = m 2 ω ϕ = arctg A 2 A 1 ϕ = arctg x ω v - kąt przesunięcia fazowego [ϕ] = rad 216 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3. PL 4

5 DRGANIA WYMUSZONE Najważniejszym przypadkiem są drgania wymuszone siłą harmonicznie zmienną: P (t) = P sin(λt) P - amplituda wymuszenia [P ]=N λ - częstość kołowa wymuszenia [λ]= rad s Równanie ruchu: ẍ+ω 2 x = P m sin(λt) Rozwiązanie szczególne: x(t) = P m(ω 2 λ 2 ) sin(λt) Pod wpływem harmonicznie zmiennej siły wymuszającej, układ drga z częstością równą częstości wymuszenia. Amplituda tych drgań jest zależna od stosunku częstości wymuszenia do częstości drgań własnych układu. Jeśli częstości te są równe, zachodzi zjawisko rezonansu mechanicznego, tj. niekontrolowanego wzrostu amplitudy drgań. W przypadku drgań nietłumionych amplituda rośnie do nieskończoności w rzeczywistości każdy układ ma przynajmniej minimalne tłumienie materiałowe lub konstrukcyjne. 216 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3. PL 5

6 DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE Podstawowym modelem tłumienia jest tzw. tłumienie wiskotyczne (lepkie), w którym siła tłumiąca (opór stawiany przez ośrodek, w którym porusza się ciało) jest proporcjonalna do prędkości ciała. Równanie ruchu: m ẍ+c ẋ+k x = P (t) x - wychylenie od położenia równowagi [x] = m m - masa drgająca [m] = kg k - sztywność układu [k] = N / m c - współczynnik tłumienia układu [c] = N s / m P (t) - zewnętrzna siła wymuszająca (zmienna w czasie) [P] = N kx mẋ. P(t). cx Wprowadza się też inne miary tłumienia, niekiedy nazywane tak samo jak inne trzeba wtedy zwrócić uwagę na definicję.: β = c 2 m - współczynnik tłumienia [β] = kg s γ = c = c c kr 2 k m - bezwymiarowy współczynnik tłumienia [γ] = 1 ξ = 2 γ - bezwymiarowy współczynnik tłumienia [ξ] = 1 c kr = 2 km = 2 m ω = 2 ω k - współczynnik tłumienia krytycznego [c] = N s m Δ = ln A n = 2π γ A n+1 1 γ 2 - logarytmiczny dekrement tłumienia [Δ] = 1 Wartości logarytmicznego dekrementu tłumienia dla wybranych typów konstrukcji: Rodzaj konstrukcji Δ Rodzaj konstrukcji Δ Belki i ramy stalowe,4 Konstrukcje szkieletowe z wypełnieniem murowanym Kratownice stalowe,1 Konstrukcje murowe,25 Konstrukcje cienkościenne,2 Stropy i filary murowane,15 Belki i ramy żelbetowe,15 Budynki murowane (7 25m wys.),3 Stropy żelbetowe,25 Ściany kamienne na zaprawie cem.,3 Budynki żelbetowe,2 Belki drewniane, zwykłe i klejone,1,25 Elementy sprężone,5 Stropy i belki drewniane, Fundamenty,35 gwoździowane, Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3. PL 6

7 DRGANIA SWOBODNE TŁUMIONE Równanie ruchu: ẍ + 2 γω ẋ + ω 2 x = TŁUMIENIE PODKRYTYCZNE (c < c kr γ < 1) x(t) = e γω t [ A 1 sin (ω 1 t) + A 2 cos(ω 1 t)] ω 1 = ω 1 γ 2 A 1 = v +γω x ω 1 A 2 = x Po przekształceniach, rozwiązanie można zapisać w odmiennej postaci: x(t) = e γω t A sin(ω 1 t + ϕ) ω 1 = ω 1 γ 2 - częstość drgań własnych tłumionych [ω 1 ] = rad s A = x 2 + (v +γ ω x ) 2 - amplituda drgań [ A] = m 2 ω 1 ϕ = arctg v +γω x ω 1 x - kąt przesunięcia fazowego [ϕ] = rad Logarytmiczny dekrement tłumienia jest równy logarytmowi stosunku dwóch kolejnych amplitud wychylenia ciała wykonującego drgania. Zakładając, że punkty maksymalnego wychylenia leżą w pobliżu obwiedni drgań zadanej funkcją wykładniczą, możemy wyznaczyć logarytmiczny dekrement tłumienia: e γω t Δ = ln A n e γω t = ln A n+1 e = γω T = γω 2 π γω (t +T 1 ) 1 ω 1 Δ = 2πγ 1 γ 2 TŁUMIENIE KRYTYCZNE (c = c kr γ = 1) x(t) = e ω t [ A 1 t+a 2 ] A 1 = v +ω x A 2 = x [ A 1 ] = m s [ A 2 ] = m TŁUMIENIE NADKRYTYCZNE (c > c kr γ > 1) A 1 = x ω [γ(γ+ γ 2 1) 1]+v γ 2 1 2ω (γ 2 1) A 2 = x ω [γ(γ γ 2 1) 1] v γ 2 1 2ω (γ 2 1) x(t) = A 1 e ω t ( γ γ 2 1) + A 2 e ω t (γ+ γ 2 1) [ A 1 ] = m [ A 2 ] = m 216 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3. PL 7

8 DRGANIA WYMUSZONE TŁUMIONE Ponownie rozpatrujemy drgania wymuszone siłą harmonicznie zmienną: Równanie ruchu: ẍ + 2 γω ẋ + ω 2 x = P sin (λ t) m Rozwiązanie szczególne: x(t) = Asin( λt + ϕ) P A = m (ω 2 λ 2 ) 2 +4 γ 2 ω 2 λ 2 - amplituda drgań [ A]=m ϕ = arctg( ω 2 λ λ) 2 2γ ω - kąt przesunięcia fazowego [ϕ]=rad Jeśli porównamy amplitudę ustalonych drgań wymuszonych układu tłumionego z wychyleniem statycznym, uzyskamy wielkość zwaną współczynnikiem dynamicznym lub współczynnikiem zwielokrotnienia drgań: ω 2 η = A = A st (ω 2 λ 2 ) 2 +4 γ 2 ω 2 λ 2 Jest to funkcja trzech parametrów: częstości drgań własnych układu nietłumionego, częstości wymuszenia oraz parametru tłumienia. Określa ona przyrost amplitudy drgań wywołanych siłą zmienną harmonicznie z częstością λ w porównaniu z wychyleniem jakie uzyskałoby się przy statycznym przyłożeniu maksymalnej wartości tej siły P. Maksymalny przyrost tej amplitudy znajdziemy wyznaczając ekstremum lokalne tej funkcji: d η d λ = 2ω 2 λ(ω 2 λ 2 2 γ 2 ω 2 ) [(ω 2 λ 2 ) 2 +4 γ 2 ω 2 λ 2 ] = λ =ω 3/ 2 max 1 2γ 2 η max = 1 2γ 1 γ 2 Dla układów o małym tłumieniu λ max ω oraz η max = 1/2 γ, w szczególności, gdy γ ekstremalny wzrost amplitudy drgań występuje dla λ=ω. Zachodzi wtedy zjawisko rezonansu układu nietłumionego omówione poprzednio. 216 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3. PL 8

9 216 Paweł Szeptyński Creative Commons BY-NC-SA 3. PL 9