Temat VIII. Drgania harmoniczne

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Temat VIII. Drgania harmoniczne"

Eugeniusz Osiński
5 lat temu
Przeglądów:

1 Tema VIII Drgania harmoniczne

2 Równanie ruchu F k Siła k m Równanie ruchu sin cos Położenie równowagi w ruchu drgającym Położenie równowagi o akie położenie, w kórym siły wymuszające ruch równoważą się siła wypadkowa równa jes zeru.

3 Wykres przebiegu ruchu

4 a d d sin d d v sin k m m sin k sin m k k m k m

5 cos sin v p p p p v p p v aan

6 sin sin cos cos sin cos B sin sin B cos v p p v p B B p B cos B sin cos B arcan B an sin

7 sin Paramery

9 mpliuda ruchu harmonicznego mpliudą ruchu harmonicznego nazywamy bezwzględną warość maksymalnego wychylenia od położenia równowagi. Siła wymuszająca drgania harmoniczne Siłą wymuszającą ruch harmoniczny nazywamy siłę proporcjonalną do wychylenia i przeciwnie skierowaną do kierunku wychylenia Okres drgań harmonicznych Okres drgań o czas rwania pojedynczego pełnego cyklu drgań Częsość drgań harmonicznych Częsość układu drgającego jes równa ilości pełnych cykli w jednosce czasu. Herc Drgania zachodzą z częsością jednego herca, gdy w jednej sekundzie mieści się jeden pełny cykl drgań.

10 Energia sin cos m m E k cos m E k ma

11 F s k F k m k k E p sin sin m E p sin ma m E p

12 m E E E p k c sin cos m E c = 8rad/s; = cm; m = g; δ =

13 Wahadło maemayczne m l d d m g sin l d d g sin

14 sin

15 sin l d d g sin l d d g g l d d sin g l

16 l m g m l k l E k E p p ml m E k l m g ml E c l g ` m g l E c

17 Zegary

18 Tarcza gnomonu (zegara cieniowego) pochodzącego z Egipu z XVI wieku p.n.e. Jes o najsarszy znaleziony zegar ego ypu

Szkic przedsawia konsrukcję chińskiego zegara wodnego, z czasów dynasii Song. Szkic pochodzi z książki Xin Yi Xiang Fa Yao z roku 9. Zegar wspomagał obserwacje asronomiczne.

19 Szkic przedsawia konsrukcję chińskiego zegara wodnego, z czasów dynasii Song. Szkic pochodzi z książki Xin Yi Xiang Fa Yao z roku 9. Zegar wspomagał obserwacje asronomiczne. Zamonowany był na dwunasomerowej wieży w Kaifengu. Song zasosował nim mechanizm wychwyowy wynaleziony przez mnicha buddyjskiego Yi Xinga i urzędnika Liang Lingzana w 75 roku. W zegarze zasosowana zosała również nowaorska wówczas przekładnia łańcuchowa. Zegar zosał zdemonowany w 7 roku podczas najazdu Dżurdżenów

20 Zegary z wahadłem Wychwy szpindlowy z kolebnikiem paryskiego zegara z 379 roku konsrukcji Henri De Vick. Rysunek wykonany w roku 849 przez Pierre Dubois.

21 Szkic projeku zegara wahadłowego pomysłu Galileusza. Rysunek wykonany przez ucznia Galileusza Vincenzo Viviani około roku 659. Projek zegara powsał około roku 64.

22 Szkic mechanizmu drugiego zegara wahadłowego wykonanego przez Huygensa. Rysunek auora z roku około 673.

24 Oscylaory sprzężone m d d a k a k b a d m d b k b a k b

25 a b a a k k m d d b a b b k k m d d b a b a k m d d b a b a k m 3 d d a b b a d d k m 3 d d k m cos cos

26 cos b a cos b a m k m k 3 ; cos b a cos b a cos cos a cos cos b

27 Przypadki szczególne cos b a cos b a cos b a a = b a = - b cos b a cos b a cos b a

28 Drgania własne Zbiór drgań harmonicznych prosych, kórych suma odwarza ruch drgający danego układu fizycznego nazywamy drganiami własnymi ego układu Częsości własna Częsości własne danego układu drgającego są o częsości jego drgań własnych

29 Przebieg drgań ciężarków przy warunkach począkowych: a = dla =, = =, oraz = oraz =π. Częsości drgań własnych wynoszą =rad/s, =3rad/s

30 Dudnienia cos cos cos cos cos cos śr mod cos cos mod śr

31 paramery: =rad/s; =98rad/s; =m; = = =rad/s; 3 =99rad/s; =m; = =.

32 paramery: =rad/s; =98rad/s; =m; = =

33 =rad/s; 5 =5rad/s; =m; = =. =rad/s; =98rad/s; =m; =.5; = =.

34 Składanie drgań w dwóch wymiarach

35 Składanie drgań = cos ω y = y sin ω y + δ y B/ Y kszał nieokreślone 9 nieokreślone nieokreślony 45 9 nieokreślony / 6,6-3 /3 8,4?? Wybrane przypadki składania dwóch drgań harmonicznych

36 Złożenie drgań harmonicznych o ej samej częsości przebiegających wzdłuż osi i y daje w ogólnym przypadku, jako or wypadkowy, elipsę. W zależności od warości przesunięcia fazowego y punk przebiega ą elipsę lewo lub prawoskręnie.

38 Fazory Definicja: Fazor Fazorem nazywamy obracający się wekor reprezenujący ruch harmoniczny. Fazorowi nadajemy nasępującą inerpreację: częsość obrou fazora odpowiada częsości drgań, ką fazora odpowiada fazie drgań; ką en będziemy również nazywać fazą fazora, długość fazora odpowiada ampliudzie drgań

41 Nieciągłości fazowe Powiedzmy, że mamy dwa nakładające się przebiegi o ej samej ampliudzie, ale różnej częsości. Wiemy, że w akiej syuacji ką między fazorami zmienia się i w pewnym momencie różnica między fazorami będzie równa π. Dwa przeciwnie usawione fazory, przesunięe w fazie o π dodadzą się do zera.

44 / =,8

46 Drgania łumione F T Siła łumiąca m k Równanie ruchu oscylaora harmonicznego łumionego m Rozwiązanie równanie ruchu oscylaora harmonicznego łumionego sin e

47 sin e e cos sin e e sin cos sin cos m

48 Rozwiązanie równanie ruchu oscylaora harmonicznego łumionego e sin

49 kg kg M, kg; k 3 ;,4 ;, m s s k rad M 5,477 ;,5s; M s, kg m s

50 m.34.5 ( )

51 ( ) ( ) 3( ) =,5s; =,5s e e e,65

52 Dobroć Q energia zmagazynowana energia sracona w jednym okresie Q Przykłady warości dobroci Q wybranych układów drgających skorupa ziemska dla fal sejsmicznych 5-4 rezonaor mikrofal z wnęką z miedzi sruna forepianu lub skrzypiec wzbudzony aom 7 wzbudzone jądro 57 Fe 3

53 Drgania wymuszone

54 F F sin harmoniczna siła wymuszająca F sin k m Równanie ruchu oscylaora harmonicznego wymuszonego ; m sin k m F m Rozwiązanie równania ruchu oscylaora harmonicznego wymuszonego sin

55 cos sin sin cos sin sin

56 cos sin sin arcg sin

57 F F sin << an To oznacza, że sin() a cos() F /k

58 >> an cos, sin oraz F M

59 cos sin φ π/

60 Mos w Tacoma zawalił się na skuek drgań pobudzonych przez silny wiar w lisopadzie 94 roku.

62 Millenium Bridge w Londynie. Owary czerwca, zosał zamknięy czerwca. Duży ruch pieszych (ok. osób na moście) powodował wzbudzanie silnych drgań konsrukcji mosu. Do czasu modyfikacji konsrukcji mosu (luy ) ruch pieszych był na moście limiowany.

63 naliza Fourierowska sin cos f n n n n n k B n k p p d f p p n n k d cos f p p n n k B d sin f

64 Przebieg prosokąny i szereg Fouriera dla odpowiednio: a) jednego, rzech i pięciu wyrazów n (3.4); b) pięnasu wyrazów n

66 Widmo sygnału

Liczby zespolone + = r = ; akie r nie isnieje wsród liczb rzeczywisych i = Definicja: Jednoska urojona Jednoska urojona jes równa pierwiaskowi kwadraowemu z

67 Liczby zespolone + = r = ; akie r nie isnieje wsród liczb rzeczywisych i = Definicja: Jednoska urojona Jednoska urojona jes równa pierwiaskowi kwadraowemu z liczby minus jeden. Definicja: liczby urojone Liczba r jes liczbą urojoną gdy da się przedsawić jako iloczyn jednoski urojonej i i liczby rzeczywisej różnej od zera.

68 Definicja: liczby zespolone Liczba z jes liczbą zespoloną, gdy daje się przedsawić w posaci z=a+i b, gdzie a i b są liczbami rzeczywisymi. Definicja: dodawanie liczb zespolonych Niech w będzie liczbą zespoloną posaci w=a+ib, a z będzie liczbą zespoloną posaci z=c+id, wedy suma ych liczb zespolonych w+z jes liczbą zespoloną, kóra wyraża się wzorem w + z = a + c + i b + d

69 Definicja: mnożenie liczb zespolonych Niech w będzie liczbą zespoloną posaci a+ib, a z będzie liczbą zespoloną posaci, wedy iloczyn ych liczb zespolonych w+z jes liczbą zespoloną, kóra wyraża się wzorem w z = a + ib c + id = ac + iad + ibc + i bd = ac bd + i ad + bc

70 Definicja. Funkcja * sprzężenia zespolone Funkcja * w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jes zdefiniowana wzorem z = a ib Definicja: Moduł liczby zespolonej Funkcja moduł liczby zespolonej w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jes zdefiniowana wzorem z = z z

71 Twierdzenie Moduł liczby zespolonej z=a+ib jes równy pierwiaskowi z sumy kwadraów części rzeczywisej i urojonej z = a + b Fak. W zbiorze liczb zespolonych nie można zdefiniować operacji < lub >

72 Rysunki płaszczyzna rganda z = z cos θ + isin θ

73 Definicja: Faza liczby zespolonej Fazą liczby zespolonej z nazywamy ką reprezenacji rygonomerycznej jej

74 e iφ = cos φ + isin φ Posać wykładnicza

76 Wymagania Oscylaor harmoniczny, siła, równanie ruchu, rozwiązanie Podsawowe paramery rozwiązania dla oscylaora harmonicznego i ich znacznie Energia oscylaora harmonicznego Co o są drgania własne i częsości własne Dudnienia Fazory zapis zespolony, liczby zesplone Drgania harmoniczne łumione, siła równanie ruchu Drgania harmoniczne wymuszone, siła równanie ruchu Zjawisko rezonansu

77 Zadanie Zadanie. Mała kulka o masie m zosała przyczepiona do sprężyny. Sprężyna zosała naciągnięa i puszczona swobodnie w wyniku czego kulka zaczęła poruszać się ruchem harmonicznym. Całość leży poziomo na sole. Jeżeli zaniedbamy opory ruchu, o o drgającej kulce można powiedzieć, że: a) częsość drgań kulki jes ym większa im mniejsza jes ampliuda ych drgań; b) energia poencjalna kulki jes największa w punkcie najmniejszego wychylenia; c) im większa jes sała sprężysości ej sprężyny ym większa częsość drgań kulki; d) suma energii kineycznej i poencjalnej kulki jes sała (nie zmienia się w czasie).

Podobne dokumenty

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /