Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.

Transkrypt

1 Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna zmiana pewnej wielkości w czasie. Ruch okresowy periodyczny to ruch drgajacy charakteryzujacy się powtarzalnościa wielkości fizycznych np. wychylenia, określajacych ten ruch w regularnych odstępach czasu. dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy to ruch okresowy, dla którego siła działajaca na ciało jest proporcjonalna do przemieszczenia wychylenia F = k x gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności. Z II zasady dynamiki Newtona ma = k x a = k m x Częstość kołowa w ruchu harmonicznym a = d x dt = k m x. ω 0 = k m. 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy d x dt = ω 0 x. Rozwiazanie równania ruchu harmonicznego xt = A cosω 0t + φ 0 gdzie A jest amplituda, φ 0 jest faza poczatkow a, ω 0 = k m jest częstościa drgań własnych harmonicznych układu. 4 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy

2 Okres drgania to najmniejszy czas, po którym faza drgania zmieni się o π ω 0T = π. cosα + π = cosα Ponadto ω 0T = π ω 0 = π T T = π m = π ω 0 k. Odwrotnościa okresu jest częstotliwość drgań f = 1 i T ω 0 = πf. Jednostka częstotliwości jest hertz: Dla fazy poczatkowej φ 0 = π : 1 Hz = 1 s. xt = A cosω 0t π = A sinω0t. 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Prędkość w ruchu harmonicznym vt = dxt = d A cosω 0t + φ 0 = dt dt = ω 0A sinω 0t + φ 0 = = v max sinω 0t + φ 0. Przyspieszenie w ruchu harmonicznym at = dvt dt = d dt = ω0a cosω 0t + φ 0 = = a max cosω 0t + φ 0, at = ω 0 xt. ω 0A sinω 0t + φ 0 = 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Energia w ruchu harmonicznym Energia kinetyczna w ruchu drgajacym E k = mv Energia potencjalna = m A ω 0 sin ω 0t + φ 0. E p = kx = k A cos ω 0t + φ 0. Energia całkowita E = E k + E p = m A ω 0 sin ω 0t + φ 0+ + k A cos ω 0t + φ 0 = = ka E = ka. sin ω 0t + φ 0 + cos ω 0t + φ 0. 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Energia w ruchu harmonicznym... Zasada zachowania energii mechanicznej E = E k + E p = 0. 8 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy

3 Wahadło matematyczne Jeżeli kat ϕ jest bardzo mały, to sin ϕ = ϕ F = mg sin ϕ = mg ϕ. Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi wówczas x = Lϕ F = mgϕ = mg x L = mg L x. Dla małej amplitudy mg L = k dlatego okres drgań wahadła Przykłady zastosowań T = π m k = π L g. 9 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Inne wahadła Wahadło fizyczne to rzeczywiste wahadło o skomplikowanym rozkładzie masy o okresie drgań I T = π mgd gdzie I jest momentem bezwładności wahadła. Obrót krażka w wahadle torsyjnym M = κθ. Okres drgań I T = π κ gdzie κ jest momentem kierujacym wahadła. Przykłady zastosowań 10 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy tłumiony Rzeczywisty oscylator harmoniczny jest tłumiony, bo np. sprężyna nie drga w nieskończoność, tylko po pewnym czasie wytraca swoja energię np. w postaci ciepła. W układzie fizycznym zazwyczaj występuja siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. 11 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy tłumiony... Siła hamujac a tłumiac a ruch czastki jest siła oporu ośrodka F op = b v, gdzie b współczynnik oporu ośrodka. Równania ruchu tłumionego F = k x b v. m d x dx = k x b dt dt, d x dt = k m x b m dx dt. gdzie β = d x dt = ω 0 x β dx dt, b współczynnik tłumienia. m 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy

4 tłumiony... Rozwiazanie równania ruchu tłumionego gdzie β = xt = A 0 e βt cosω tt + φ b m jest współczynnikiem tłumienia Jeżeli amplituda drgań gasnacych to At = A 0 e βt xt = At cosω tt + φ. Okres drgań tłumionych T = π π = ω t ω 0 β. 13 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy tłumiony... Częstość drgań tłumionych ω t = ω 0 β. Możliwe przypadki: 1 ω 0 β > 0 tzw. słabe tłumienie, ω 0 β = 0 tłumienie krytyczne, 3 ω 0 β < 0 układ nie wykonuje drgań, ale wraca do stanu równowagi w sposób aperiodyczny. 14 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Energia w ruchu tłumionym Energia ruchu tłumionego Et = 1 ka = 1 k A 0 e b m t = = 1 ka 0 e b m t = = 1 ka 0 e t τ gdzie czas relaksacji, czyli czas po którym energia układu maleje e-razy Szybkość zmian energii de dt = d dt 1 ka 0 e τ t = 1 ka 0 d dt = 1 τ E. e t τ τ = m b. = = 1 ka 0 1 e τ t = τ Układ tłumiony traci tyle samo energii w jednakowych odstępach czasu. 15 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania wymuszone Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego Jeżeli na układ drgajacy wpływa inny układ drgajacy tzw. siła wymuszajaca, to drgania nazywa się wymuszonymi. Gdy zewnętrzna siła nie występuje drganiami swobodnymi. Siła wymuszajaca to siła powodujaca drgania z częstościa siły zewnętrznej F t = F 0 cosω wt. Równania ruchu wymuszonego gdzie m a + k x + b v = F t m d x dt + k x + b dx dt = F t d x dt + ω 0 x + β dx = α0 cosωw t dt α 0 = F0 m 16 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy

5 Drgania wymuszone Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego... Rozwiazanie równania ruchu wymuszonego gdzie xt = A w cosω wt φ A w = α 0 ω 0 ω w + 4β ω w tgφ = βωw ω 0 ω w Jeżeli ω w = 0 i φ = 0, to A o = α0, ω0 jest statycznym wychyleniem z położenia równowagi pod działaniem siły F 0. Dla ω w amplituda A 0, tg φ 0, a φ π. 17 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Rezonans Rezonans mechaniczny daw Amplituda osiaga wartość maksymalna = 0 dla częstości dωw rezonansowej ω r = ω0 β, i wynosi A r = α 0 β ω 0 β. Przy słabym tłumieniu częstość rezonansowa ω r jest bardzo bliska częstości drgań własnych układu ω 0. Zjawisko rezonansu mechanicznego to szybki wzrost amplitudy wymuszonych drgań mechanicznych przy zbliżaniu się częstości siły wymuszajacej do wartości ω r. Przykładem układu, w którym występuje rezonans mechaniczny słabo tłumiony, jest układ wahadeł sprzężonych. 18 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Rezonans... Rezonans mechaniczny Gdy współczynnik β rośnie, to maksima krzywych rezonansowych szybko maleja, a ω r przesuwa się w stronę niższych częstości. Tłumienie ma silny wpływ na wartość kata przesunięcia fazowego pomiędzy siła wymuszajac a a odpowiedzia układu, jego przemieszczeniem. 19 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Rezonans... Rezonans mechaniczny Rezonans dobry i zły Tańczace na plastrze pszczoły. Silnik np. samochodu przy pewnych prędkościach będzie powodował rezonans mechaniczny w elementach karoserii pojazdu lub urzadzenia. Mosty lub inne obiekty budowlane moga wejść w stan rezonansu mechanicznego pod wpływem uderzeń wody, wiatru lub drgań powstałych w wyniku poruszania się po nich innych obiektów mechanicznych. Budowle moga ulec zniszczeniu pod wpływem rezonansu powstałego w wyniku drgań ziemi lub wiatru. 0 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy

6 Dudnienia Drgania zachodzace w tym samym kierunku Najprostszym przykładem dodawania ruchów harmonicznych jest dodawanie ruchów odbywajacych się wzdłuż jednej prostej. Zasadę superpozycji można zastosować dla drgań x 1t = A cosω 1t + φ 0, x t = A cosω t + φ 0, różniacych się częstościa, tak, że ω 1 > ω. Ponieważ cos α + cos β = cos α β cos α + β, to x wt = x 1t + x t = A cos Amplituda drgań zależy od różnicy częstości. ω1 ω t ω1 + ω cos t + φ 0. Superpozycja dwóch drgań harmonicznych nie jest drganiem harmonicznym. 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Dudnienia... Drgania zachodzace w tym samym kierunku Dla częstości różniacych się nieznacznie dudnienie. Dudnienie to okresowe zmiany amplitudy drgania powstałego ze złożenia dwóch drgań o zbliżonych częstotliwościach. Dudnienia obserwuje się dla wszystkich rodzajów drgań, w tym i wywołanych falami. Górna część rysunku przedstawia dudnienia przy nakładaniu się dwóch drgań o częstościach ω1 = 9, a dolna ω 8 dla ω1 = 9. ω 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Oscylator dwuwymiarowy Drgania wzajemnie prostopadłe Dla dwu drgań prostopadłych o jednakowych częstościach możliwe sa przypadki: xt = A cosωt + φ 1, yt = B cosωt + φ, 1 poczatkowe fazy drgań sa jednakowe, φ 1 = φ takie drgania nazywa się liniowo spolaryzowanymi o równaniu toru y = B A x, poczatkowa różnica faz jest równa π, a równanie toru y = B A x, 3 poczatkowa różnica faz jest równa π/ takie drgania nazywa się eliptycznie spolaryzowanymi o równaniu toru x A + y B = 1. 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Oscylator dwuwymiarowy... Drgania wzajemnie prostopadłe 4 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy

7 Drgania wzajemnie prostopadłe Oscylator dwuwymiarowy... Jeśli częstości drgań składowych sa różne ω 1 = aω 0, ω = bω 0, to torem ruchu jest krzywa zwana krzywa Lissajous. Przykład dla różnicy faz φ = π. 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Literatura Drgania wzajemnie prostopadłe Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t PWN, 005. Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 007. Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t PWN, Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ e-fizyka. Podstawy fizyki. Kakol Z. Żukrowski J. kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy