Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Transkrypt

1 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny: x (n) (t) + a n 1 x (n 1) (t) a 1 x (t) + a 0 x(t) = 0, (1) F (λ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0. Załóżmy, że ten wielomian ma pierwiastki λ 1, λ 2,..., λ m o krotnościach k 1,..., k m odpowiednio. Wówczas funkcje postaci: e λ 1t, te λ 1t,..., t k 1 1 e λ 1t e λ 2t, te λ 2t,..., t k 2 1 e λ 2t. e λmt, te λmt,..., t km 1 e λmt tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania (1), tzn. jeśli powyższe funkcje oznaczymy jako x 1,..., x n, wtedy każde rozwiązanie x równania (1) jest postaci gdzie c 1, c 2,..., c n C. x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t), Zadanie 1. Rozwiązać jednorodne równanie różniczkowe: y (7) (t) 3y (6) (t) + 5y (5) (t) 7y (4) (t) + 7y (3) (t) 5y (t) + 3y (t) y(t) = 0. Rozwiązanie. Wielomian charakterystyczny: F (λ) = λ 7 3λ 6 + 5λ 5 7λ 4 + 7λ 3 5λ 2 + 3λ 1 = 0. Widać, że λ = 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Dzieląc trzy razy przez λ 1 otrzymujemy Zatem F (λ) = (λ 1) 3 (λ 4 + 2λ 2 + 1). F (λ) = (λ 1) 3 (λ + i) 2 (λ i) 2. 1

2 Pierwiastki wielomianu λ 1 = 1, k 1 = 3, λ 2 = i, k 1 = 2, λ 1 = i, k 1 = 2, zatem układ fundamentalny rozwiązań ma postać: e t, te t, t 2 e t e it, te it e it, te it Zatem każde rozwiązanie możemy zapisać w postaci: gdzie c 1,..., c 7 C. y(t) = c 1 e t + c 2 te t + c 3 t 2 e t + c 4 e it + c 5 te it + c 6 e it + c 7 te it, Ponieważ dla dowolnego t R mamy więc także e it = cos t + i sin t, e it = cos t i sin t, a zatem układem fundamentalnym jest także e t, te t, t 2 e t cos t, sin t, t cos t, t sin t. Komentarz: Funkcję e t można zapisać w postaci szeregu Taylora: e t = n=0 dla dowolnego t R. Powyższego zapisu możemy użyć jako definicji funkcji e z dla z C, mianowicie e z = n=0 Z kryterium Weierstrassa szereg ten jest zbieżny dla każdego z C, czyli funkcja jest dobrze zdefiniowana. W ten sam sposób rozwijając w szereg Taylora funkcje sinus i cosinus możemy otrzymać ich definicje dla dowolnego z C. Okazuje się, że wtedy dla z C t n n! z n n!. e iz = cos z + i sin z, czyli w szczególności dla z = t R otrzymujemy e it = cos t + i sin t. 2

3 Metoda rozwiązywania (Niejednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). x (n) (t) + a n 1 x (n 1) (t) a 1 x (t) + a 0 x(t) = f(t), (2) gdzie a 0,..., a n 1 C, f : R C. Niech x 1,..., x n będzie fundamentalnym układem rozwiązań oraz x(t) = c 1 x 1 (t) +...+c n x n (t) rozwiązaniem ogólnym rozwiązania jednorodnego. Dowodzi się, że każde rozwiązanie równania (2) jest postaci x(t) = c 1 (t)x 1 (t) c n (t)x n (t), gdzie funkcje c 1,..., c n można wyznaczyć z układu równań c 1(t)x 1 (t) +... c n(t)x n (t) = 0 c 1(t)x 1(t) +... c n(t)x n(t) = 0. c 1(t)x (n 2) 1 (t) +... c n(t)x (n 2) n (t) = 0 c 1(t)x (n 1) 1 (t) +... c n(t)x (n 1) n (t) = f(t) Zadanie 2. Rozwiązać niejednorodne równanie różniczkowe: y (x) 7y (x) + 19y (x) 13y(x) = 13x 3 57x 2 10x Rozwiązanie. Równanie jednorodne: Wielomian charakterystyczny: y (x) 7y (x) + 19y (x) 13y(x) = 0. F (λ) = λ 3 7λ λ 13. Widać, że λ = 1 jest pierwiastkiem wielomianu, zatem i dalej F (λ) = (λ 1)(λ 2 6λ + 13). F (λ) = (λ 1)(λ 3 2i)(λ 3 + 2i). Pierwiastki równania: λ 1 = 1, k 1 = 1, λ 2 = 3 +2i, k 2 = 1, λ 3 = 3 2i, k 3 = 1. Układ fundamentalny rozwiązań: e x e (3+2i)x e (3 2i)x. 3

4 Zatem ogólna postać rozwiązania równania jednorodnego dana jest wzorem: y(x) = c 1 e x + c 2 e (3+2i)x + c 3 e (3 2i)x. Szukamy rozwiązania równania niejednorodnego postaci y(x) = c 1 (x)e x + c 2 (x)e (3+2i)x + c 3 (x)e (3 2i)x, gdzie funkcje c 1, c 2, c 3 są dane układem równań c 1(x)e x + c 2(x)e (3+2i)x + c 3(x)e (3 2i)x = 0 c 1(x)e x + c 2(x)(3 + 2i)e (3+2i)x + c 3(x)(3 2i)e (3 2i)x = 0 c 1(x)e x + c 2(x)(3 + 2i) 2 e (3+2i)x + c 3(x)(3 2i) 2 e (3 2i)x = 13x 3 57x 2 10x Zadanie 3. Rozwiązać równanie różniczkowe: y (t) 2y (t) + y(t) = et t. Rozwiązanie. Rozwiązujemy równanie jednorodne: Wielomian charakterystyczny: y (t) 2y (t) + y(t) = 0. F (λ) = λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2. Pierwiastki λ = 1, k = 2. Zatem układ fundamentalny ma postać: e t, te t. Wzór ogólny rozwiązania równania jednorodnego: gdzie c 1, c 2 C. y(t) = c 1 e t + c 2 te t, Rozwiązujemy równanie niejednorodne. Rozwiązanie ma postać y(t) = c 1 (t)e t + c 2 (t)te t, gdzie funkcje c 1, c 2 spełniają układ równań: c 1(t)e t + c 2(t)te t = 0 c 1(t)e t + c 2(t)(e t + te t ) = et t. Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy c 2(t)e t = et t, 4

5 czyli c 2 (t) = ln t + a 2, gdzie a 2 C. Podstawiając c 2 do pierwszego równania otrzymujemy c 1 (t) = t + a 1, gdzie a 1 C. Zatem rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego ma postać y(t) = ( t + a 1 )e t + (ln t + a 2 )te t. Zadanie 4. Rozwiązać metodą eliminacji układ równań: u (t) = 3u(t) v(t) + t v (t) = u(t) v(t) + t 2 gdzie u(0) = 3 i v(0) = Rozwiązanie. Z pierwszego równania wyznaczamy v v(t) = u (t) 3u(t) + t. (3) Różniczkując otrzymujemy v (t) = u (t) 3u (t) + 1. Podstawiając do drugiego równania otrzymujemy u (t) 3u (t) + 1 = u(t) + u (t) + 3u(t) t + t 2, co daje równanie liniowe niejednorodne u (t) + 4u (t) + 4u(t) = t 2 + t + 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne u (t) + 4u (t) + 4u(t) = 0. Wielomian charakterystyczny F (λ) = λ 2 + 4λ + 4 = (λ + 2) 2. Pierwiastki λ = 2, k = 2. Zatem układ fundamentalny e 2t, te 2t. Ogólna postać rozwiązania równania jednorodnego: u(t) = c 1 e 2t + c 2 te 2t (c 1, c 2 C). 5

6 Rozwiązujemy równanie niejednorodne. Szukamy rozwiązania postaci: u(t) = c 1 (t)e 2t + c 2 (t)te 2t, gdzie funkcje c 1, c 2 spełniają układ równań { c 1 (t)e 2t + c 2(t)te 2t = 0 c 1(t)( 2)e 2t + c 2(t)(e 2t 2te 2t ) = t 2 + t + 1. Można go zapisać w postaci { c 1 (t) + c 2(t)t = 0 2c 1(t) + c 2(t)(1 2t) = ( t 2 + t + 1)e 2t. Mnożąc pierwsze równanie przez 2 i dodając do drugiego otrzymujemy c 2(t) = ( t 2 + t + 1)e 2t, co daje ( c 2 (t) = 1 ) 2 t2 + t e 2t + a 2 (a 2 C). Podstawiając c 2 do pierwszego równania otrzymujemy c 1(t) = (t 3 t 2 t)e 2t i c 1 (t) = ( 1 2 t3 5 4 t t 3 8) e 2t + a 1 (a 1 C). Zatem postać ogólna rozwiązania równania niejednorodnego ( 1 u(t) = 2 t3 5 4 t ) t 3 ( + = 1 4 t t a 1e 2t + a 2 te 2t. Możemy obliczyć pochodną u 1 ) 2 t2 + t t + a 1 e 2t + a 2 te 2t u (t) = 1 2 t a 1e 2t + a 2 (e 2t 2te 2t ). Podstawiając do (3) otrzymujemy ( v(t) = 1 ) 2 t+3 4 2a 1e 2t +a 2 (e 2t 2te 2t ) 3 ( 1 4 t2 + 3 ) 4 t 3 8 +a 1e 2t +a 2 te 2t +t = 3 4 t2 3 4 t (( a 1 a 2 )e 2t a 2 te 2t ). 6

7 Ostatecznie rozwiązanie ogólne ma postać gdzie a 1, a 2 C. u(t) = 1 4 t t a 1e 2t + a 2 te 2t v(t) = 3 4 t2 3 4 t (( a 1 a 2 )e 2t a 2 te 2t ), Biorąc pod uwagę warunki początkowe otrzymujemy: 3 8 = u(0) = a 1 a 1 = = v(0) = 3 8 a 2 a 2 = 2 8, czyli funkcje spełniające układ równań i warunki początkowe mają postać u(t) = 1 4 t t te 2t v(t) = 3 4 t2 3 4 t e 2t 2 8 te 2t. 7