Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Transkrypt

1 Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1

2 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany w ten sposób, że os z ma kierunek pionowy, a osie x i y zlokalizowane są w płaszczyźnie poziomej. Kierunek osi x i y też jest dobierany zwykle na podstawie pewnych przesłanek, np. wzdłuż osi belki. Z tymże te kierunki nie muszą być najważniejszymi i nie ma powodu, żeby sprawdzać inne kierunki lub szukać zastępczych naprężeń według hipotez wytrzymałościowych.

3 Płaski stan naprężenia Można dobrać w taki sposób układ współrzędnych, że naprężenia normalne przyjmą wartości ekstremalne a naprężenia styczne przyjmą wartości zerowe. Naprężenia normalne w takim układzie są nazywane naprężeniami głównymi, a kierunki osi kierunkami głównymi. Metody poszukiwania kierunków głównych zostaną wykonane na przykładzie płaskiego stanu naprężeń (PSN). Naprężenia w PSN w dowolnym układzie współrzędnych: τ yx τ

4 Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi Zależność pomiędzy składowymi tensora stanu naprężeń zostanie wyprowadzona na podstawie równowagi elementu o szerokości b. Zestawienie podstawowych zależności: BC dt da b dt da x b dx da y b dy dx dy ( ) cos dt dt b dx b dy ( ) cos b dt b dt da ( ) x da y cos da da sin ( ) sin ( ) sin ( )

5 Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi Naprężenia na ścianie ukośnej można rozłożyć na kierunki osi x i y tak jak jest to pokazane na rysunku z prawej strony zgodnie z następującymi zależności: y x sin ( ) cos( ) oraz τ x sin ( ) cos( ) τ τ y τ

6 Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi Suma rzutów składowych sił na kierunek osi x: b dy b dy da b dx da b dt da y x b dx τ da cos da sin yx ( ) ( ) Po uwzględnieniu powyższych zależności mamy: da cos da τ x ( ) da sin( ) + da x 0 b dt τ τ yx + x + b dt x 0 BC dt Ostatecznie: ( ) sin( ) τ τ + 0 cos yx x x

7 Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi Suma rzutów składowych sił na kierunek osi y: b dx b dy da b dx da b dt da y x b dy τ da cos da sin ( ) ( ) Po uwzględnieniu powyższych zależności mamy: da sin + da τ + b dt τ ( ) da cos( ) y + da y 0 τ y + + b dt y 0 BC dt Ostatecznie: ( ) cos( ) τ + τ + 0 sin y y

8 Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi Zestawienie równań równowagi: ( ) sin( ) τ yx τ x + x 0 ( ) cos( ) τ + τ + 0 cos sin Składowe naprężeń są równe: cos τ x x τ sin ( ) ( ) y τ y τ Zestawienie równań równowagi: τ τ yx y sin cos ( ) ( ) ( ) τ sin( ) τ sin( ) + cos( ) 0 ( ) τ cos( ) + τ cos( ) + sin( ) 0 cos sin y

9 Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi Zestawienie równań równowagi: ( ) τ sin( ) τ sin( ) + cos( ) 0 ( ) τ cos( ) + τ cos( ) + sin( ) 0 cos sin Z powyższego układu równań wyznaczamy i τ, które są równe: cos ( ) + sin ( ) + τ sin( ) cos( ) ( ) cos( ) sin( ) τ sin ( ) cos ( ) [ ] τ

10 Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o są równe: cos ( ) + sin ( ) + τ sin( ) cos( ) ( ) cos ( ) sin ( ) τ sin ( ) cos ( ) [ ] τ τ sin Podstawiając do powyższych równań zależności: sin 1 cos ( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) otrzymamy: cos cos 1+ cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) sin ( ) + + cos τ sin( ) τ cos( ) ( ) + τ sin( )

11 Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o są równe: + n + cos ( ) + τ sin( ) + t + cos τ sin τ sin( ) τ cos( ) ( ) ( )

12 Naprężenia i kierunki główne naprężeń Naprężenia główne są naprężenia, które przyjmują wartości ekstremalne. Ekstremum występuje wtedy, gdy pochodna względem zmiennej funkcji (w tym przypadku względem kąta ) ) jest równa zero. Pochodna względem opisana jest wzorem: d ( ) sin( ) + τ cos( ) d 0 0 sin o + τ cos d d ( ) ( ) ( ) o Kąt pomiędzy osiami dowolnego układu współrzędnych i kierunkami głównymi czyli pomiędzy x i n: tan ( ) o τ o

13 Naprężenia i kierunki główne naprężeń Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe: + ( ) + τ sin( ) n + cos o a kąt o musi spełnić równanie: tan ( ) o τ + t + cos o τ sin τ sin( o ) τ cos( o ) ( ) ( ) o o

14 Naprężenia i kierunki główne naprężeń Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe: n t τ τ + τ Naprężenia normalne wzdłuż kierunków głównych przyjmują wartości ekstremalne, a naprężenia styczne są równe zero.

15 Koło Mohra dla naprężeń Naprężenia główne można wyznaczyć na podstawie koła Mohra, które wyznaczamy za pomocą dwóch punktów A i B. Punkty A i B umieszczamy w układzie współrzędnych o osiach i τ.. Punkty te mają następujące współrzędne A(, τ ) i B(, -τ ).

16 Koło Mohra dla naprężeń Naprężenia względem dowolnych osi na podstawie koła Mohra są opisane za pomocą współrzędnych dwóch punktów A i B, które są punktami przecięcia koła Mohra oraz średnicy obróconej o kat, gdzie jest katem pomiędzy osiami układów współrzędnych.

17 Koło Mohra dla naprężeń Wzór na naprężenia główne: + max ± + τ min Długości odcinków na rysunku: OD AC + BC τ ( AB ) ( AC ) + ( BC ) AB ( ) + ( τ ) min OE OD ED max OF OD + ED

18 Koło Mohra dla naprężeń Wzór na naprężenia główne na podstawie Koła Mohra: max OD ± min ED AB OD max min max min AB ED ( ) + ( τ ) ± ± 1 ( ) + ( τ ) + τ

19 Analogia pomiędzy momentami bezwładności i naprężeniami Wzory transformacji pomiędzy dowolnymi układami obróconymi o kąt : momenty bezwładności J + J J J ξ η ξ η J x + cos( ) + J ξη sin( ) J + J J J J ξ η ξ η + cos ( ) J ξη sin ( ) y J η J ξ sin ( ) J cos ( ) J ξη naprężenia + n + cos + t + cos τ sin τ sin( ) τ cos( ) ( ) + τ sin( ) ( ) ( )

20 Analogia pomiędzy momentami bezwładności i naprężeniami Położenie osi głównych oraz wartości ekstremalne wartości głównych : momenty bezwładności I max min J tan Iξ + Iη Iξ Iη ± + I 0 ( ) o J J ξ ξη J η ξη momenty bezwładności względem osi są zawsze dodatnie naprężenia τ max min tan 0 ( ) o + τ ± + τ naprężenia mogą przyjmować wartości ujemne

21 Przykład wyznaczyć naprężenia i kierunki główne naprężeń Dane: Naprężenia główne: + max ± min Wzór na wyznaczenie kierunków głównych: 35.00kPa kPa τ τ yx kPa tan ( ) o τ + τ

22 Przykład wyznaczyć naprężenia i kierunki główne naprężeń Dane: 35.00kPa kPa τ τ yx kPa Naprężenia główne: max min kPa 0.695kPa 35.00kPa kPa max ± + min Wzór na wyznaczenie kierunków głównych: τ kPa tan( o ) tan( o ) 35.00kPa kPa ± + τ ( kPa)

23 Przykład wyznaczyć naprężenia i kierunki główne naprężeń Naprężenia główne: 35.00kPa 0.695kPa 35.00kPa kPa max ± + min max kPa ± kPa min max kPa min kPa Wzór na wyznaczenie kierunków głównych: ( kPa) kPa tan o 35.00kPa kPa ( ) o o o o τ o 0

24 Przykład składowe tensora naprężeń dla całej tarczy

25 Przykład naprężenia główne dla całej tarczy

26 Koniec 6