Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Transkrypt

1 Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

2 DRGANIA HARMONICZNE Przypomnienie: Druga zasada dynamiki Newtona: Ruch harmoniczny to taki, dla którego: a d x F kx F m Siła jest proporcjonalna do wychylenia (z położenia równowagi) i przeciwnie do niego skierowana (prawo Hooke a). F - siła harmoniczna Ogólne równanie różniczkowe drgań harmonicznych: ma t t ma kx mx kx

3 Siły oporu (tarcia) są zwykle proporcjonalne do prędkości ciała*: F oporu bv dx b Oscylator mechaniczny w obecności sił tarcia (tłumienie): ma bv kx Obwód RLC (opór R odpowiada za tłumienie): L RI di q C * A przeem było (patrz wykład 3.), że do kwadratu prędkości! Nieoduczeni ci wykładowcy, albo kłamią na wykładach

4 Ogólne równanie drgań tłumionych (straty energii na oporze ośrodka, proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia, czyli prędkości): x x x Dla oscylatora mechanicznego: b m k m

5 Ogólne rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej rozwiązań szczególnych: t N x t N x t x 1 1 gdzie: t A x1, 1, exp t

6 t A x1 exp, 1, Rodzaje rozwiązań: 1) dla oba pierwiastki są rzeczywiste i ujemne, więc rozwiązaniem jest aperiodyczne, wykładnicze malenie x od A do zera; t ) dla występuje tzw. tłumienie krytyczne jest to minimalna wartość tłumienia, przy której ruch jest aperiodyczny;

7 x 1, Rodzaje rozwiązań: 3) dla mamy drgania gasnące oscylacje o zanikającej amplitudzie: A exp t A x1 exp, 1, t exp i t t

8 Ograniczając się do jednego rozwiązania (znak plus przy fazie) i pisząc rozwiązanie w postaci funkcji harmonicznej: A x t A exp t t A exp t t sin nazywamy amplitudą drgań gasnących; b m to współczynnik tłumienia; to częstość własna drgań układu tłumionego; k m to częstość drgań swobodnych układu;

9 x t A exp t sin t Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi nigdy nie powtarzają się największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko umownie można nazwać częstością kątową w tym sensie, że wskazuje ona, ile razy w ciągu sekund drgający układ przechodzi przez położenie równowagi! Podobnie: T nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.

10 Współczynnik tłumienia mówi nam o stosunku kolejnych amplitud drgań gasnących: A A n n1 exp T Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń, następujących po sobie w odstępie czasu T (umownego okresu) nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia : ln A A n n1 T

11 Oznaczmy przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejszy się e-krotnie. Wtedy: 1 albo: 1 czyli: współczynnik tłumienia jest wielkością fizyczną równą odwrotności odstępu czasu, w ciągu którego amplituda zmniejsza się e-razy. Czas nazywamy czasem relaksacji. Podobnie: gdy przez N oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu których amplituda zmaleje e-razy, okaże się, że: czyli: dekrement logarytmiczny tłumienia jest wielkością równą odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejszy się e-razy. 1 N

12 DRGANIA WYMUSZONE Oprócz siły sprężystej i siły oporu, działamy na układ dodatkową siłą okresową siłą wymuszającą F: F t F cos t Ogólne równanie ruchu oscylatora mechanicznego przybiera wtedy postać: m d x b dx kx F Jest to równanie różniczkowe niejednorodne. cos t

13 DRGANIA WYMUSZONE m d x b dx kx F cos t Spodziewamy się rozwiązania powyższego równania różniczkowego w postaci drgania harmonicznego z częstością, równą częstości siły wymuszającej F, ale amplituda tych drgań powinna zawierać informacje o masie m, tłumieniu i wielkości siły wymuszającej F a także częstości własnej układu : xt Asin t m F??

14 DRGANIA WYMUSZONE Można pokazać, że: A m 4 F Amplituda A ustalonych drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej F i odwrotnie proporcjonalna do masy m układu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia. Faza początkowa ma teraz sens różnicy faz między amplitudą drgań wymuszonych A i amplitudą siły wymuszającej F ściślej: ponieważ użyliśmy funkcji cosinus do opisu siły wymuszającej i funkcji sinus do opisu drgania x(t), to szukaną różnicą faz będzie: tan

15 DRGANIA WYMUSZONE Analizując wyrażenie na amplitudę drgań wymuszonych: A m 4 F możemy zauważyć, że w przypadku braku tłumienia (=), gdy częstość siły wymuszającej F równa jest częstości drgań własnych układu, amplituda ta rośnie do nieskończoności!

16 DRGANIA WYMUSZONE Natomiast w obecności tłumienia, maksimum wyrażenia na amplitudę A uzyskamy dla: Zjawisko to nazywamy rezonansem. Ale co to jest rezonans? Niedobry wykładowca nie podał definicji, żeby ją na ściądze zapisać

17 DRGANIA WYMUSZONE Przykład obwodu elektrycznego: siła elektromotoryczna, wymuszająca drgania, jest równa: E t exp it Wtedy: równanie opisujące ruch ładunku elektrycznego w obwodzie (= prąd elektryczny!): d q L Rozwiązanie ogólne w postaci: gdzie: q L q q dq R exp i t q C R L exp it R / L tg