MECHANIKA II. Drgania wymuszone
|
|
- Marta Sosnowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30
2 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody k m G P S x o x Założenia i warunki: Masa m [kg] zawieszona na sprężynie o sztywności k [N/m] Siła sprężystości S = k x Siła grawitacji G = m g Ugięcie statyczne λ st = mg [m] k Dodatkowa siła zewnętrzna P Najczęściej o charakterze okresowym P = P a sin(ωt), gdzie: P a amplituda siły wymuszajacej ω częstość siły wymuszajacej. Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (1) i=1 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 2 / 30
3 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody k m G P S x o x Założenia i warunki: Masa m [kg] zawieszona na sprężynie o sztywności k [N/m] Siła sprężystości S = k x Siła grawitacji G = m g Ugięcie statyczne λ st = mg [m] k Dodatkowa siła zewnętrzna P Najczęściej o charakterze okresowym P = P a sin(ωt), gdzie: P a amplituda siły wymuszajacej ω częstość siły wymuszajacej. Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (1) i=1 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 2 / 30
4 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody k m G P S x o x Założenia i warunki: Masa m [kg] zawieszona na sprężynie o sztywności k [N/m] Siła sprężystości S = k x Siła grawitacji G = m g Ugięcie statyczne λ st = mg [m] k Dodatkowa siła zewnętrzna P Najczęściej o charakterze okresowym P = P a sin(ωt), gdzie: P a amplituda siły wymuszajacej ω częstość siły wymuszajacej. Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (1) i=1 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 2 / 30
5 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody k m G P S x o x Założenia i warunki: Masa m [kg] zawieszona na sprężynie o sztywności k [N/m] Siła sprężystości S = k x Siła grawitacji G = m g Ugięcie statyczne λ st = mg [m] k Dodatkowa siła zewnętrzna P Najczęściej o charakterze okresowym P = P a sin(ωt), gdzie: P a amplituda siły wymuszajacej ω częstość siły wymuszajacej. Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (1) i=1 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 2 / 30
6 Równanie różniczkowe układu z dodatkowa siła Podstawiajac do równania (1) otrzymujemy: m a = S + G + P (2) Uwzględniajac warunki swobody dla układu, jedna oś: oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) + mg + P a sin(ωt) (3) mẍ = kx + P a sin(ωt) (4) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + ωox 2 = P a sin(ωt) (5) m gdzie częstość drgań własnych: ω o = k m (6) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 3 / 30
7 Równanie różniczkowe układu z dodatkowa siła Podstawiajac do równania (1) otrzymujemy: m a = S + G + P (2) Uwzględniajac warunki swobody dla układu, jedna oś: oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) + mg + P a sin(ωt) (3) mẍ = kx + P a sin(ωt) (4) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + ωox 2 = P a sin(ωt) (5) m gdzie częstość drgań własnych: ω o = k m (6) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 3 / 30
8 Równanie różniczkowe układu z dodatkowa siła Podstawiajac do równania (1) otrzymujemy: m a = S + G + P (2) Uwzględniajac warunki swobody dla układu, jedna oś: oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) + mg + P a sin(ωt) (3) mẍ = kx + P a sin(ωt) (4) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + ωox 2 = P a sin(ωt) (5) m gdzie częstość drgań własnych: ω o = k m (6) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 3 / 30
9 Równanie różniczkowe układu z dodatkowa siła Podstawiajac do równania (1) otrzymujemy: m a = S + G + P (2) Uwzględniajac warunki swobody dla układu, jedna oś: oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) + mg + P a sin(ωt) (3) mẍ = kx + P a sin(ωt) (4) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + ωox 2 = P a sin(ωt) (5) m gdzie częstość drgań własnych: ω o = k m (6) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 3 / 30
10 Rozwiazanie równania różniczkowego Równania różniczkowe (5) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x(t) = C 1 cos(ω o t) + C 2 sin(ω o t) + P a 1 m ωo 2 sin(ωt) (7) ω2 ẋ(t) = C 1 ω o sin(ω o t) + C 2 ω o cos(ω o t) + P a ω m ωo 2 cos(ωt) (8) ω Przyjmujac warunki poczatkowe w postaci: wyliczamy stałe całkowania: x(t = 0) = x o oraz ẋ(t = 0) = ẋ o (9) C 1 = x o oraz C 2 = ẋo ωp a 1 ω o ω o m ωo 2 (10) ω2 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 4 / 30
11 Rozwiazanie równania różniczkowego Równania różniczkowe (5) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x(t) = C 1 cos(ω o t) + C 2 sin(ω o t) + P a 1 m ωo 2 sin(ωt) (7) ω2 ẋ(t) = C 1 ω o sin(ω o t) + C 2 ω o cos(ω o t) + P a ω m ωo 2 cos(ωt) (8) ω Przyjmujac warunki poczatkowe w postaci: wyliczamy stałe całkowania: x(t = 0) = x o oraz ẋ(t = 0) = ẋ o (9) C 1 = x o oraz C 2 = ẋo ωp a 1 ω o ω o m ωo 2 (10) ω2 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 4 / 30
12 Rozwiazanie równania różniczkowego Równania różniczkowe (5) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x(t) = C 1 cos(ω o t) + C 2 sin(ω o t) + P a 1 m ωo 2 sin(ωt) (7) ω2 ẋ(t) = C 1 ω o sin(ω o t) + C 2 ω o cos(ω o t) + P a ω m ωo 2 cos(ωt) (8) ω Przyjmujac warunki poczatkowe w postaci: wyliczamy stałe całkowania: x(t = 0) = x o oraz ẋ(t = 0) = ẋ o (9) C 1 = x o oraz C 2 = ẋo ωp a 1 ω o ω o m ωo 2 (10) ω2 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 4 / 30
13 Rozwiazanie równania różniczkowego Równania różniczkowe (5) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x(t) = C 1 cos(ω o t) + C 2 sin(ω o t) + P a 1 m ωo 2 sin(ωt) (7) ω2 ẋ(t) = C 1 ω o sin(ω o t) + C 2 ω o cos(ω o t) + P a ω m ωo 2 cos(ωt) (8) ω Przyjmujac warunki poczatkowe w postaci: wyliczamy stałe całkowania: x(t = 0) = x o oraz ẋ(t = 0) = ẋ o (9) C 1 = x o oraz C 2 = ẋo ωp a 1 ω o ω o m ωo 2 (10) ω2 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 4 / 30
14 Rozwiazanie równania różniczkowego Równania różniczkowe (5) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x(t) = C 1 cos(ω o t) + C 2 sin(ω o t) + P a 1 m ωo 2 sin(ωt) (7) ω2 ẋ(t) = C 1 ω o sin(ω o t) + C 2 ω o cos(ω o t) + P a ω m ωo 2 cos(ωt) (8) ω Przyjmujac warunki poczatkowe w postaci: wyliczamy stałe całkowania: x(t = 0) = x o oraz ẋ(t = 0) = ẋ o (9) C 1 = x o oraz C 2 = ẋo ωp a 1 ω o ω o m ωo 2 (10) ω2 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 4 / 30
15 Rozwiazanie równania różniczkowego Równania różniczkowe (5) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x(t) = C 1 cos(ω o t) + C 2 sin(ω o t) + P a 1 m ωo 2 sin(ωt) (7) ω2 ẋ(t) = C 1 ω o sin(ω o t) + C 2 ω o cos(ω o t) + P a ω m ωo 2 cos(ωt) (8) ω Przyjmujac warunki poczatkowe w postaci: wyliczamy stałe całkowania: x(t = 0) = x o oraz ẋ(t = 0) = ẋ o (9) C 1 = x o oraz C 2 = ẋo ωp a 1 ω o ω o m ωo 2 (10) ω2 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 4 / 30
16 Ostatecznie po podstawieniu stałych całkowania otrzymujemy: x(t) = x o cos(ω o t) + ẋo sin(ω o t) ω }{{ o } I+II P a ω mω o (ωo 2 ω 2 ) sin ω ot + (11) }{{} III P a m(ωo 2 sin ωt ω2 ) }{{} IV I + II drgania ( własne układu wynikaj ) ace z przyjętych warunków poczatkowych x(t = 0),ẋ(t = 0). III drgania o częstości własnej układu ω o zależne od amplitudy P a i częstości siły wymuszajacej ω. IV drgania wymuszone o częstości siły wymuszajacej ω. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 5 / 30
17 Ostatecznie po podstawieniu stałych całkowania otrzymujemy: x(t) = x o cos(ω o t) + ẋo sin(ω o t) ω }{{ o } I+II P a ω mω o (ωo 2 ω 2 ) sin ω ot + (11) }{{} III P a m(ωo 2 sin ωt ω2 ) }{{} IV I + II drgania ( własne układu wynikaj ) ace z przyjętych warunków poczatkowych x(t = 0),ẋ(t = 0). III drgania o częstości własnej układu ω o zależne od amplitudy P a i częstości siły wymuszajacej ω. IV drgania wymuszone o częstości siły wymuszajacej ω. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 5 / 30
18 Ostatecznie po podstawieniu stałych całkowania otrzymujemy: x(t) = x o cos(ω o t) + ẋo sin(ω o t) ω }{{ o } I+II P a ω mω o (ωo 2 ω 2 ) sin ω ot + (11) }{{} III P a m(ωo 2 sin ωt ω2 ) }{{} IV I + II drgania ( własne układu wynikaj ) ace z przyjętych warunków poczatkowych x(t = 0),ẋ(t = 0). III drgania o częstości własnej układu ω o zależne od amplitudy P a i częstości siły wymuszajacej ω. IV drgania wymuszone o częstości siły wymuszajacej ω. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 5 / 30
19 Ostatecznie po podstawieniu stałych całkowania otrzymujemy: x(t) = x o cos(ω o t) + ẋo sin(ω o t) ω }{{ o } I+II P a ω mω o (ωo 2 ω 2 ) sin ω ot + (11) }{{} III P a m(ωo 2 sin ωt ω2 ) }{{} IV I + II drgania ( własne układu wynikaj ) ace z przyjętych warunków poczatkowych x(t = 0),ẋ(t = 0). III drgania o częstości własnej układu ω o zależne od amplitudy P a i częstości siły wymuszajacej ω. IV drgania wymuszone o częstości siły wymuszajacej ω. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 5 / 30
20 Jak wpływaja poszczególne człony równania?? Rozpatrzmy zachowanie elementu III-go, który zapiszemy w następujacej postaci: A 1 sin ω o t gdzie A 1 = P a ω mω o (ω 2 o ω 2 ) (12) A 1 - amplitudę sygnału porównujemy do ugięcia statycznego λ st(pa), które powstało by przy oddziaływaniu stałej siły P a. Wprowadzamy współczynnik wzmocnienia µ 1 µ 1 = A 1 λ st(pa) gdzie λ st(pa) = P a k (13) Podstawiajac: µ 1 = P a ω k mω o (ωo 2 = ω2 ) P a ωω o ω 2 o ω (14) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 6 / 30
21 Analiza członu III współczynnik µ 1 µ ω ω o Upraszczaja i przekształcajac do wygodnej postaci wyrażenie na µ 1 otrzymujemy: ω ω o µ 1 = ( ω ) 2 (15) 1 ω o Charakter zmian µ 1 w zależności od ω stosunku częstości ω o pokazano na rysunku obok. Wyraźnie widać asymptote gdy: ω = 1 czyli ω = ω o!!! ω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 7 / 30
22 Analiza członu IV -go Zapisujemy element IV -y w postaci: A 2 sin ωt gdzie A 2 = P a ω mω o (ω 2 o ω 2 ) (16) A 2 - amplitudę sygnału porównujemy do ugięcia statycznego λ st(pa), które powstanie przy oddziaływaniu stałej siły P a. Wprowadzamy współczynnik wzmocnienia µ 2 µ 2 = A 2 λ st(pa) gdzie λ st(pa) = P a k (17) Podstawiajac: µ 2 = P a k mω o (ωo 2 = ω2 ) P a ω2 o ω 2 o ω2 (18) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 8 / 30
23 Analiza członu IV współczynnik µ 2 Upraszczaja i przekształcajac do µ ω ω o wygodnej postaci wyrażenie na µ 2 otrzymujemy: µ 2 = ω2 o ωo 2 = 1 ( ω2 ω ) 2 (19) 1 ω o Charakter zmian µ 2 w zależności od ω stosunku częstości ω o pokazano na rysunku obok. Wyraźnie widać asymptote gdy: ω = 1 czyli ω = ω o!!! ω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 9 / 30
24 Rezonans µ µ 2 µ ω ω o Analizujac zależności na µ 1 i µ 2, widać iż obie wartości rosna do nieskończoności gdy: ω = ω o Inaczej mówiac: jeżeli częstość siły wymuszajacej nasz układ ω pokrywa się z częstościa drgań własnych ω o tegoż układu, to amplituda jego drgań rośnie do nieskończoności. Takie zjawisko nazywamy REZONANSEM Natomiast częstość drgań wymuszajacych ω = ω o nazywamy częstościa rezonansową. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 10 / 30
25 Analizujac zachowanie członów III+IV możemy napisać: P a ω mω o (ωo 2 ω2 ) sin ω P a ot + m(ωo }{{} 2 sin ωt ω2 ) }{{} III IV (20) sumujac i przekształcajac otrzymamy: P a (ω sin ω o t ω o sin t) mω o (ω 2 o ω 2 ) = P a m ( ω ω o sin ω o t + sinωt) ω 2 o ω 2 (21) Rozpatrujac zachowanie się wyrażenia (21), które jest w granicy nieoznaczone 0 0, musimy skorzystać z reguły L Hospitala. Zamieniamy licznik i mianowniki wyrażenia na jego pochodne względem ω: lim ω ω o P a m ( 1 ω o sinω o t + t cos ωt) = P a (sin ω o t ω o t cos ω o t) (22) 2ω 2mω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 11 / 30
26 Analizujac zachowanie członów III+IV możemy napisać: P a ω mω o (ωo 2 ω2 ) sin ω P a ot + m(ωo }{{} 2 sin ωt ω2 ) }{{} III IV (20) sumujac i przekształcajac otrzymamy: P a (ω sin ω o t ω o sin t) mω o (ω 2 o ω 2 ) = P a m ( ω ω o sin ω o t + sinωt) ω 2 o ω 2 (21) Rozpatrujac zachowanie się wyrażenia (21), które jest w granicy nieoznaczone 0 0, musimy skorzystać z reguły L Hospitala. Zamieniamy licznik i mianowniki wyrażenia na jego pochodne względem ω: lim ω ω o P a m ( 1 ω o sinω o t + t cos ωt) = P a (sin ω o t ω o t cos ω o t) (22) 2ω 2mω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 11 / 30
27 Analizujac zachowanie członów III+IV możemy napisać: P a ω mω o (ωo 2 ω2 ) sin ω P a ot + m(ωo }{{} 2 sin ωt ω2 ) }{{} III IV (20) sumujac i przekształcajac otrzymamy: P a (ω sin ω o t ω o sin t) mω o (ω 2 o ω 2 ) = P a m ( ω ω o sin ω o t + sinωt) ω 2 o ω 2 (21) Rozpatrujac zachowanie się wyrażenia (21), które jest w granicy nieoznaczone 0 0, musimy skorzystać z reguły L Hospitala. Zamieniamy licznik i mianowniki wyrażenia na jego pochodne względem ω: lim ω ω o P a m ( 1 ω o sinω o t + t cos ωt) = P a (sin ω o t ω o t cos ω o t) (22) 2ω 2mω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 11 / 30
28 Rozwiazanie równania ruchu (11) otrzyma w przypadku granicznym, gdy ω ω o następujac a postać: x(t) = x o cos ω o t + ẋo sinω o t P a ω }{{ o 2mω } 2 sinω o t + P a ω o t o }{{} 2mω 2 cos ω o t o }{{} I+II III IV (23) Wraz ze wzrostem czasu człony I, II, III, staja się pomijalnie małe stosunku do członu IV. Przyjmujac umownie za amplitudę drgań wyrażenie: A = P at 2mω o w granicy lim t A = (24) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 12 / 30
29 Amplituda w rezonansie x A = P at 2mω o t Amplituda drgań A rośnie do nieskończoności gdy częstość oddziaływania siły wymuszajacej pokrywa się z częstościa drgań własnych obiektu ω = ω o. Mówimy wtedy, że obiekt wpadł w rezonans. Rezonans Rezonans układów mechanicznych jest bardzo NIEBEZPIECZNY, ponieważ wzrost amplitudy drgań doprowadza bardzo szybko do ich zniszczenia. Przeciwdziałanie występowaniu rezonansu: unikanie wymuszania siłami o częstościach bliskich częstości własnych układu (pokrycia w wymuszeniem) tłumienie drgań Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 13 / 30
30 Amplituda w rezonansie x A = P at 2mω o t Amplituda drgań A rośnie do nieskończoności gdy częstość oddziaływania siły wymuszajacej pokrywa się z częstościa drgań własnych obiektu ω = ω o. Mówimy wtedy, że obiekt wpadł w rezonans. Rezonans Rezonans układów mechanicznych jest bardzo NIEBEZPIECZNY, ponieważ wzrost amplitudy drgań doprowadza bardzo szybko do ich zniszczenia. Przeciwdziałanie występowaniu rezonansu: unikanie wymuszania siłami o częstościach bliskich częstości własnych układu (pokrycia w wymuszeniem) tłumienie drgań Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 13 / 30
31 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody z tłumieniem k m c x o ẋ x S T G P Założenia i warunki identyczne jak dla układu bez tłumienia z uwzględnieniem: W układzie pojawia tłumienie (dyssypacja energii) się na skutek np. oporu ośrodka lub zewnętrznej siły Współczynnik tłumienia stały c Siła tłumienia T ma charakter wiskotyczny, zależny od prędkości o wartości przeciwnej do prędkości ẋ. Dodatkowa siła zewnętrzna P Najczęściej o charakterze okresowym P = P a sin(ωt), gdzie: P a amplituda siły wymuszajacej ω częstość siły wymuszajacej. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 14 / 30
32 Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (25) Podstawiajac siły do powyższego równania otrzymujemy: i=1 m a = S + G + P + T (26) Uwzględniajac warunki dla układu, oś oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) cẋ + mg + P a sin(ωt) mẍ = kx cẋ + P a sin(ωt) (27) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + 2nẋ + ωo 2 x = q sin(ωt) (28) gdzie: ω o = k m, 2n = c m oraz q = P a m (29) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 15 / 30
33 Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (25) Podstawiajac siły do powyższego równania otrzymujemy: i=1 m a = S + G + P + T (26) Uwzględniajac warunki dla układu, oś oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) cẋ + mg + P a sin(ωt) mẍ = kx cẋ + P a sin(ωt) (27) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + 2nẋ + ωo 2 x = q sin(ωt) (28) gdzie: ω o = k m, 2n = c m oraz q = P a m (29) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 15 / 30
34 Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (25) Podstawiajac siły do powyższego równania otrzymujemy: i=1 m a = S + G + P + T (26) Uwzględniajac warunki dla układu, oś oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) cẋ + mg + P a sin(ωt) mẍ = kx cẋ + P a sin(ωt) (27) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + 2nẋ + ωo 2 x = q sin(ωt) (28) gdzie: ω o = k m, 2n = c m oraz q = P a m (29) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 15 / 30
35 Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (25) Podstawiajac siły do powyższego równania otrzymujemy: i=1 m a = S + G + P + T (26) Uwzględniajac warunki dla układu, oś oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) cẋ + mg + P a sin(ωt) mẍ = kx cẋ + P a sin(ωt) (27) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + 2nẋ + ωo 2 x = q sin(ωt) (28) gdzie: ω o = k m, 2n = c m oraz q = P a m (29) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 15 / 30
36 Rozwiazanie równania różniczkowego dla układu z tłumieniem Równania różniczkowe (28) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x = x 1 + x 2 gdzie: x 1 = r o exp nt cos(ut + ϕ o ) (30) x 2 = Asin(ωt δ) (31) Stałe A i δ sa tak dobrane by równanie było spełnione tożsamościowo i wynosza: tan δ = 2nω ω 2 o ω, A = q (ω 2 o ω2) 2 + 4n 2 ω 2 (32) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 16 / 30
37 Rozwiazanie równania różniczkowego dla układu z tłumieniem Równania różniczkowe (28) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x = x 1 + x 2 gdzie: x 1 = r o exp nt cos(ut + ϕ o ) (30) x 2 = Asin(ωt δ) (31) Stałe A i δ sa tak dobrane by równanie było spełnione tożsamościowo i wynosza: tan δ = 2nω ω 2 o ω, A = q (ω 2 o ω2) 2 + 4n 2 ω 2 (32) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 16 / 30
38 Rozwiazanie ogólne otrzymujemy ostatecznie w postaci: x(t) = r o exp nt q cos(ut + ϕ o ) + }{{} (ω 2 I o ω 2) sin(ωt δ) (33) 2 + 4n 2 ω 2 }{{} II Analizujac powyższe równanie można opisać wpływ poszczególnych członów: Człon I sa to zanikajace drgania własne układu Człon II sa to utrzymujace się drgania wzbudzane z częstościa siły wymuszajacej ω Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 17 / 30
39 Rozwiazanie ogólne otrzymujemy ostatecznie w postaci: x(t) = r o exp nt q cos(ut + ϕ o ) + }{{} (ω 2 I o ω 2) sin(ωt δ) (33) 2 + 4n 2 ω 2 }{{} II Analizujac powyższe równanie można opisać wpływ poszczególnych członów: Człon I sa to zanikajace drgania własne układu Człon II sa to utrzymujace się drgania wzbudzane z częstościa siły wymuszajacej ω Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 17 / 30
40 Rozwiazanie ogólne otrzymujemy ostatecznie w postaci: x(t) = r o exp nt q cos(ut + ϕ o ) + }{{} (ω 2 I o ω 2) sin(ωt δ) (33) 2 + 4n 2 ω 2 }{{} II Analizujac powyższe równanie można opisać wpływ poszczególnych członów: Człon I sa to zanikajace drgania własne układu Człon II sa to utrzymujace się drgania wzbudzane z częstościa siły wymuszajacej ω + = Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 17 / 30
41 Rozwiazanie ogólne otrzymujemy ostatecznie w postaci: x(t) = r o exp nt q cos(ut + ϕ o ) + }{{} (ω sin(ωt δ) (33) 2 I o ω2) 2 + 4n 2 ω 2 }{{} II Analizujac powyższe równanie można opisać wpływ poszczególnych członów: Człon I sa to zanikajace drgania własne układu Człon II sa to utrzymujace się drgania wzbudzane z częstościa siły wymuszajacej ω x + = t Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 17 / 30
42 Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa Amplitudę sygnału (wzór 32) możemy przekształcić następujaco: A = q x (ω = st (34) 2 o ω2) 2 + 4n 2 ω 2 (1 β 2 ) 2 + 4γ 2 β 2 gdzie: β = ω ω o, γ = n ω o, x st = qm k (35) Wprowadzamy dla ułatwienia współczynnik wzmocnienia amplitudy α: α = A x st (36) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 18 / 30
43 Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa Analizujac współczynnik wzmocnienia amplitudy α możemy narysować krzywe rezonansowe pokazujace charakterystyki w zależności od współczynnika tłumienia: α = A x st γ = 0 γ = 0.15 γ = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.4 γ = 0.5 γ = 1 γ = 3 γ = 10 1 β = ω ω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 19 / 30
44 Charakterystyka fazowa Tłumienie ma silny wpływ na wartość kata przesunięcia fazowego δ pomiędzy siła wymuszajac a a odpowiedzią układu, jego przemieszczeniem x(t). tan δ = 2nω ω 2 o ω = 2γβ 1 β 2 (37) 180 o δ γ = 0.25 γ = 0.5 γ = 1 90 o γ = 0.01 γ = 2 γ = 4 1 γ = 0.1 β = ω ω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 20 / 30
45 Rezonans układu jednomasowego Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 21 / 30
46 Wahadło drgania Równanie różniczkowe wahadła matematycznego, bez uwzględniania oporów, wyglada następujaco: O φ r m φ + g r φ = 0 (38) Przez analogię i porównanie z równaniem układu drgajacego o jednym swobody możemy zapisać: φ + ω 2 oφ = 0 gdzie ω 2 o = g r (39) G Ważny wniosek Częstość drgań wahadła nie zależy od jego masy a jedynie od długości ramienia r oraz przyspieszenia ziemskiego g. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 22 / 30
47 Rezonans wahadła Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 23 / 30
48 Katastrofa mostu Tacoma Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 24 / 30
49 Źródła drgań Źródłem drgań w układach mechanicznych sa różnorakie siły, których pochodzenia należy szukać w otaczajacym dana konstrukcję środowisku. Często zdarza się, że źródłem drgań wymuszonych sa siły, powstajace wewnatrz układu mechanicznego a spowodowane ruchem pewnych elementów i ich bezwładnościa. Przykładem może być silnik którego prędkość obrotowa może wywoływać drgania innych powiazanych z nim elementów. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 25 / 30
50 Naziemne testy helikoptera I - działanie rezonansu Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 26 / 30
51 Naziemne testy helikoptera II - działanie rezonansu Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 27 / 30
52 Czy można śpiewajac stłuc szkło?? Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 28 / 30
53 Układy ciagłe a układy dyskretne - drgania w samolotach Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 29 / 30
54 Układy ciagłe a układy dyskretne Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 30 / 30
MECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowoRuch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoVII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowodr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA
NAZEWNICTWO LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH d n u a n d x + a d n 1 u n n 1 d x +... + a d 2 u n 1 2 d x + a d u 2 1 d x + a u = b( x) Powyższe równanie o niewiadomej funkcji
Bardziej szczegółowoWykład 6 Drgania. Siła harmoniczna
Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne. Oscylator harmoniczny Przykłady zastosowań. dr inż.
Plan wykładu Ruch drgajacy 1 Przykłady zastosowań dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Drgania wymuszone 3 Drgania zachodzace w tym samym kierunku
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych
MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoWIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
LABORATORIUM DRGANIA I WIBROAUSTYA MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie nr WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoProjekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne
Projekt nr 4 Dynamika POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 4 Dynamika ujęcie klasyczne Konrad Kaczmarek
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoSiła sprężystości - przypomnienie
Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni
Bardziej szczegółowoLaboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.
Bardziej szczegółowoWIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
LABORATORIUM WIBROAUSTYI MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie nr WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowo1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20)
Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20) 37 1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie widma drgań układu czterech wahadeł sprzężonych oraz wyznaczenie
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 10 015/016, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała
Bardziej szczegółowoDRGANIA MECHANICZNE. Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia. Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora.
DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część 3 drgania wymuszone siłą harmoniczną drgania
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoα - stałe 1 α, s F ± Ψ taka sama Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: Inna zależność siły od Ψ : - układ nieliniowy,
Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: F s s Inna zależność siły od : - układ nieliniowy, Symetryczna siła zwrotna Niech: F s ( ) s Symetryczna wartość - drgania anharmoniczne α, s F s dla α -
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoWykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)
Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością
Bardziej szczegółowoDrgania. O. Harmoniczny
Dobrej fazy! Drgania O. Harmoniczny Położenie równowagi, 5 lipca 218 r. 1 Zadanie Zegar Małgorzata Berajter, update: 217-9-6, id: pl-ciepło-5, diff: 2 Pewien zegar, posiadający wahadło ze srebra, odmierza
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech
Fizyka w poprzednim odcinku 1 Prawo Faradaya Fizyka B Bd S Strumień magnetyczny Jednostka: Wb (Weber) = T m d SEM B Siła elektromotoryczna Praca, przypadająca na jednostkę ładunku, wykonana w celu wytworzenia
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:
. Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 2012/2013, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia
Bardziej szczegółowoSiła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowodrgania h armoniczne harmoniczne
ver-8..7 drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p
Bardziej szczegółowoWykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana
Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 8 017/018, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoTEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016
TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 I. KINEMATYKA RUCHU POSTE POWEGO 1. Ruch jednowymiarowy 1.1. Prędkość (a) Prędkość średnia (b) Prędkość chwilowa (prędkość) 1.2. Przyspieszenie (a) Przyspieszenie średnie
Bardziej szczegółowoWyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego
Ćwiczenie nr Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego. Wymagania do ćwiczenia 1. ynamika ruchu obrotowego.. rgania harmoniczne Literatura:. Halliday, R. Resnick,
Bardziej szczegółowo4.2 Analiza fourierowska(f1)
Analiza fourierowska(f1) 179 4. Analiza fourierowska(f1) Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla sygnałów okresowych. Zagadnienia do przygotowania: szereg Fouriera; sygnał
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY. 1. Cel ćwiczenia
Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY 1. Cel ćwiczenia Przeprowadzenie izolacji drgań przekładni zębatej oraz doświadczalne wyznaczenie współczynnika przenoszenia drgań urządzenia na fundament.. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (Mechanika) Wykład II: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony
Bardziej szczegółowoFIZYKA 2. Janusz Andrzejewski
FIZYKA wykład 7 Janusz Andrzejewski Niedoceniany geniusz Nikola Tesla Nikola Tesla wynalazł (lub znakomicie ulepszył) większość urządzeń, które spowodowały to, że prąd zmienny wyparł z naszych domów prąd
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoSymetrie i prawa zachowania Wykład 6
Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym
Bardziej szczegółowoa, F Włodzimierz Wolczyński sin wychylenie cos cos prędkość sin sin przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości energia potencjalna
Włodzimierz Wolczyński 3 RUCH DRGAJĄCY. CZĘŚĆ 1 wychylenie sin prędkość cos cos przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości sin sin 4 3 1 - x. v ; a ; F v -1,5T,5 T,75 T T 8t x -3-4 a, F energia
Bardziej szczegółowoZasady oceniania karta pracy
Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.
Bardziej szczegółowoDRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI
DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoWykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód
Bardziej szczegółowoRUCH DRGAJĄCY RZESZOTA PRZESIEWACZA DWUCZĘSTOŚCIOWEGO**
Górnictwo i Geoinżynieria Rok 34 Zeszyt 4/1 2010 Remigiusz Modrzewski*, Piotr Wodziński* RUCH DRGAJĄCY RZESZOTA PRZESIEWACZA DWUCZĘSTOŚCIOWEGO** 1. Wstęp Przesiewacz dwuczęstościowy zbudowany jest z dwóch
Bardziej szczegółowoProsty oscylator harmoniczny
Ruch drgający i falowy Siła harmoniczna, drgania swobodne Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym. Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoPOMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 3 Prawo autorskie Niniejsze
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowo= 0,05 m - wychylenie początkowe = 0 m/s - prędkość początkowa
ZADANIE 1 Skomplikowana aparatura pomiarowa, która ma polecieć w kosmos ;) ma masę 1000 kg i spoczywa na czterech jednakowych sprężynach ułożonych obok siebie (równolegle). Sztywność sprężyn sprawdzono
Bardziej szczegółowover b drgania harmoniczne
ver-28.10.11 b drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne N = n=1 A n cos nω n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k jeden sopień swobody: E p -A E p A 0
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoPL B1. POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, Wrocław, PL BUP 01/18. WIESŁAW FIEBIG, Wrocław, PL WUP 08/18 RZECZPOSPOLITA POLSKA
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 229701 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 419686 (51) Int.Cl. F16F 15/24 (2006.01) F03G 7/08 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22)
Bardziej szczegółowo3.DRGANIA SWOBODNE MODELU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY(JSS)
3.DRGANIA SWOBODNE MODELU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY(JSS) 3.1. DRGANIA TRANSLACYJNE I SKRĘTNE WYMUSZME SIŁOWO I KINEMATYCZNIE W poprzednim punkcie o modelowaniu doszliśmy do przekonania, że wielokrotnie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Rozdział 2: Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody. Część 2 Drgania z wymuszeniem harmonicznym
WYKŁAD 3 Rozdział : Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody Część Drgania z wymuszeniem harmonicznym.5. Istota i przykłady drgań wymuszonych Drgania wymuszone to drgania, których energia wynika
Bardziej szczegółowo1.1 Wahadło anharmoniczne(m5)
10 Mechanika 1.1 Wahadło anharmoniczne(m5) Celem ćwiczenia jest zbadanie drgań anharmonicznych wahadła fizycznego(zależność okresu drgań wahadła od amplitudy jego drgań, bilans energetyczny wahadła). Zagadnienia
Bardziej szczegółowoDrgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca
Bardziej szczegółowoMechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych
Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych. Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody.. Wprowadzenie teoretyczne Załóżmy, że układ materialny o jednym stopniu swobody i więzach idealnych,
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoPOMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMNS Semestr zimowy studia niestacjonarne Wykład nr
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoSterowanie Serwonapędów Maszyn i Robotów
Wykład 3.1 - Modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje,
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoZadanie domowe z drgań harmonicznych - rozwiązanie trzech wybranych zadań
- rozwiązanie trzech wybranych zadań Ireneusz Mańkowski I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14 28 kwietnia 2016 Wybrane zadania domowe 1 Zadanie 5.4.4 Rozwiązanie zadania 5.4.4 2 Zadanie
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ eoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2016/2017
Bardziej szczegółowoUkład RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu:
Politechnika Łódzka TIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2009/2010 sem. 3. grupa II Zadanie: Układ z diodą Termin: 5 I 2010 Nr. albumu: 150875 Nazwisko i imię: Grzegorz Graczyk Nr. albumu: 151021
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo