Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Transkrypt

1 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016

2 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki) i pojemności (kondensatora) pokazany na Rys. 1. Przyjmijmy, że opór elektryczny (omowy) obwodu jest równy zeru ( R 0). Załóżmy też, że w chwili początkowej na kondensatorze jest nagromadzony ładunek 0, a prąd w obwodzie nie płynie (Rys. 1a). W takiej sytuacji energia zawarta w kondensatorze W 0 (1) jest maksymalna, a energia w cewce LI W L () jest równa zeru. Rysunek 1: Oscylacje w obwodzie L Następnie kondensator zaczyna rozładowywać się (Rys. 1b). W obwodzie płynie prąd I d/. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze, maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu. Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki (Rys. 1c). Jednak pomimo, że kondensator jest całkowicie rozładowany prąd dalej płynie w obwodzie (w tym samym kierunku). Jego źródłem jest SEM samoindukcji powstająca w cewce, która porzymuje słabnący prąd. Ten prąd ładuje kondensator (przeciwnie), więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora ( Rys. 1d). Wreszcie ładunek na kondensatorze osiąga maksimum a prąd w obwodzie zanika. Stan końcowy jest więc taki jak początkowy tylko kondensator jest naładowany odwrotnie (Rys. 1e). Sytuacja powtarza się, tylko teraz prąd rozładowania kondensatora będzie płynął w przeciwnym kierunku. Mamy więc do czynienia z oscylacjami (drganiami) ładunku (prądu). Zmienia się zarówno wartość jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i prądu w obwodzie. Do opisu ilościowego tych drgań skorzystamy z prawa Kirchhoffa, zgodnie z którym U L + 0 U (3) gdzie U L i U są napięciami odpowiednio na cewce i kondensatorze. Korzystając z równań Indukcyjność-( 10 ) i Pojemność elektryczna-( 1 ), otrzymujemy di L + 0 (4) Ponieważ I d/, więc L d (5) Jest to równanie drgań w obwodzie L. Równanie to opisujące oscylacje ładunku ma identyczną postać, jak równanie Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 3 ) drgań swobodnych masy zawieszonej na sprężynie, przy czym następujące wielkości elektryczne odpowiadają wielkościom mechanicznym: ładunek przesunięcie x; indukcyjność L masa L ; pojemność L odwrotność współczynnika sprężystości 1/k; prąd I d/d prędkość v dx/. Ponieważ zagadnienie drgań swobodnych zostało rozwiązane w module Siła harmoniczna i drgania swobodne, więc możemy skorzystać z uprzednio wyprowadzonych wzorów i napisać rozwiązanie równania ( 5 ) cos ωt 0 (6)

3 oraz d I 0 ωsinωt I 0 sinωt (7) gdzie częstość drgań jest dana wyrażeniem ω 1 L (8) Możemy teraz obliczyć napięcie chwilowe na cewce i kondensatorze U L di L LI 0 ωcosωt (9) oraz U 0 cosωt (10) Zauważmy, że maksymalne wartości (amplitudy) tych napięć są takie same LI 0 ω L 0 ω 1 L 0 L 0 (11) Z powyższych wzorów wynika, że w obwodzie L ładunek na kondensatorze, natężenie prądu i napięcie zmieniają się sinusoidalnie tak jak dla drgań harmonicznych. Zauważmy ponao, że między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, równa π/. Gdy napięcie osiąga maksymalną wartość to prąd jest równy zeru i na odwrót.

4 ZADANIE Zadanie 1: Obliczanie energii zgromadzonej w dowolnej chwili w kondesatorze i cewce indukcyjnej Treść zadania: Korzystając ze wzorów ( 1 ) i ( ) oraz z podanego rozwiązania równania drgań oblicz energię jaka jest zgromadzona w dowolnej chwili t w kondensatorze i w cewce indukcyjnej. Ile wynosi energia całkowita? Wskazówka: Skorzystaj z relacji ω 1. L W Rozwiązanie: Energię jaka jest zgromadzona w dowolnej chwili t w kondensatorze obliczmy ze wzoru W 0 cos ωt (1) a w cewce indukcyjnej z wyrażenia LI W L sinωt LI 0 (13) ałkowita energia jest sumą energii W i W L ωt W W + W L 0 cos + LI 0 sin ωt (14) Korzystając z zależności ( 11 ) LI 0 ω L 0 ω 1 L 0 oraz ω 1 możemy przekształcić powyższe równanie L L do postaci 0 LI0 ωt W W + W L cos LI0 + sin ωt LI 0 (15) ałkowita energia jest stała (niezależna od t). Więcej o innych obwodach ( R, RL), w których natężenie prądu zmienia się w czasie możesz przeczytać w module Obwody R i RL, stałe czasowe. PODSUMOWANIE Podsumowanie 1: w obwodzie L obserwujemy oscylacje (drgania) pola elektrycznego w kondensatorze i pola magnetycznego w cewce. Mówimy, że w obwodzie L obserwujemy drgania elektromagnetyczne, a sam obwód L nazywamy obwodem drgającym. Publikacja udostępniona jest na licencji reative ommons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne

5 prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Data generacji dokumentu: :40:34 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link8df55f6689e3ec8e83f80f507fd Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński