Ruch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony

Transkrypt

1 Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony

2 Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch okresowy (periodyczny, harmoniczny jest to taki ruch, w którym położenie lub stan ciała powtarza się w jednakowych odstępach czasu, zwanych okresem T. x(t=x(t+t x(t oznacza położenie ciała na osi x w chwili t

3 Jeżeli drganie opisane jest funkcją trygonometryczną sinus lub cosinus x(t cos to ruch taki nazywamy drganiem harmonicznym (oscylatorem harmonicznym prostym t - amplituda drgań (maksymalne wychylenie, - częstotliwość kołowa (pulsacja, t - faza drgań, - faza początkowa

4

5 Wykres drgań harmonicznych prostych x(t cos t

6 x(t cos t x(t=x(t+t cos( t cos( t T T= /T = f T [] = rad/s [f] = Hz= s -

7 Oscylator harmoniczny prosty

8 d x F m a m dt k m k x x(t cos t x(t sin t gdzie

9 x(t cos t v a dx(t sin( t dt dv cos( t dt x Przyspieszenie w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne do wychylenia, ale jest przeciwnie skierowane.

10 Energia kinetyczna Energia potencjalna Energia całkowita t ( sin m mv E k t ( cos k kx E p p k k t ( cos m t ( sin m E E E

11 Zależności: x(t, v(t, a(t E(t dla oscylatora harmonicznego prostego z zerową fazą początkową (=0

12 Drgania tłumione Siła tłumiąca dla małych prędkości ciała drgającego wyraża się wzorem F t b v b dx dt b stała tłumienia

13 równanie różniczkowe drgań tłumionych d dt x m b dx dt t kx x(t e cos( t 0 b m

14 (t 0 e t Częstotliwość drgań tłumionych jest mniejsza niż częstotliwość swobodna

15 Drgania wymuszone, rezonans okresowa siła wymuszająca Fw F0 cos t d x dx m b kx F 0 dt dt x(t cos( t m ( arctg( F 0 4 cos t

16 W wyniku działania siły wymuszającej ciało wykonuje drgania harmoniczne z pulsacją. mplituda drgań wymuszonych jest również zależna od (i od F 0. Funkcje =f( dla różnych wartości parametru tłumienia noszą nazwę krzywych rezonansowych

17 Maksymalna wartość amplitudy r jest tym większa im mniejszy jest współczynnik tłumienia. Przy bardzo silnym tłumieniu rezonans nie występuje. Silny wzrost amplitudy drgań układu tłumionego gdy na układ działa siła wymuszająca o pulsacji bliskiej pulsacji drgań swobodnych nazywa się rezonansem.

18 Składanie drgań harmonicznych Drgania nazywamy równoległymi gdy zachodzą wzdłuż tej samej prostej. Drgania są prostopadłe gdy zachodzą wzdłuż prostych prostopadłych.

19 Składanie drgań równoległych Jednakowe pulsacje i stała różnica faz. x x cos( t cos( t x x x cos( t cos( t x cos( t tg sin cos sin cos cos( Superpozycja drgań równoległych, o tych samych pulsacjach różniących się fazą, daje w wyniku drganie o tej samej pulsacji.

20 Niewielka różnica faz x x cos cos x t t dudnienia cos( t cos( t, cos t cost Drganie wypadkowe ma pulsację. mplituda dudnień zmienia się periodycznie w czasie

21 Przykłady dudnień: Instrumenty muzyczne nastrojone na niewiele różniące się tony. Dwie stacje radiowe pracujące na bliskich częstotliwościach. Nałożenie się drgań harmonicznych o zbliżonych pulsacjach (wykres górny daje w wyniku dudnienie (wykres dolny

22 Składanie drgań prostopadłych Pulsacje takie same. drgania zachodzą wzdłuż osi x i y. x cos( t y cos( t x y _ xy cos( sin (

23