α - stałe 1 α, s F ± Ψ taka sama Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: Inna zależność siły od Ψ : - układ nieliniowy,

Transkrypt

1 Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: F s s Inna zależność siły od : - układ nieliniowy, Symetryczna siła zwrotna Niech: F s ( ) s Symetryczna wartość - drgania anharmoniczne α, s F s dla α - stałe ± taka sama

2 Niech: α << - słaba nieliniowość (ew.małe ) Niech: & γ ( α ) Jakie własności powinno mieć rozwiązanie? Drgania bez tłumienia, więc: () Ruch periodyczny () t ( t τ ) ; τ - okres () Dla każdego cyklu ruch do środka ( maleje) będzie wyglądał jak opóźniony ruch na zewnątrz : ( t t) ( t t) ( t ) ; () s F symetryczne względem, ruch na lewo ( < ) jest zwierciadlanym odbiciem ruchu na prawo ( > ), każdy trwa τ / : t τ t () Z () suma unkcji harmonicznych a a π a cos τ cos( t ϕ) ( t ϕ ) a cos( t ϕ )...

3 z () muszą zniknąć parzyste harmoniki & i wychylenie w postaci: ϕ Niech: ( ) i ( cos t ε cos t...) Siła słabo nieliniowa drgania słabo anharmoniczne, ε małe, harmoniki wyższe od trzeciej do zaniedbania amplituda amplituda podstawowej Warunek słabej nieliniowości: ( α ) << ( α ) << Z r.r. z zachowaniem członów liniowych w ε i (Człony ( ) ε, α, εα i wyższe małe) α

4 & ( cos t ε cos t cos t...) ( cos t 9ε cos t...) (& & nie jest proporcjonalne do ) α ( cos t 9ε cos t...) ( cos t ε cos t...) 4 Współczynniki przy cos t 4 cos... t / cos r.r. t cos t cos t / 4 4 cos t ( r.r. prawdziwe dla dowolnego t): α 4 α 4 α /( x) n nx / 8 > dla α > ; < dla α < ( )! (np. wahadło matematyczne dla dużych kątów) 4

5 Współczynniki przy cos t : 9ε ε α 4 ε α ε -anharmoniczność drgań, α - nieliniowość siły - anharmoniczność rośnie z amplitudą α Dokładność: ( ) Dla α α.. ( α ). δ % ( α ). δ.% Wahadło matematyczne: M s I ml ( mg sin )l.. sin g sin l! 5 5!... 5

6 dokładne _ liniowe... ( miękkie ) Dla α 6 α << << 4 6 ε 9 6 α liniowe.5, δ.% δ.% 6

7 symetryczna siła zwrotna Niech: ( ) s F s Niech: β << β β.5m β 7

8 Gdy β > : twarda dla rozciągania ( > dla ściskania ( < ). γ & ( β ) Niech & ( ) i w postaci: ( cos t η cos t...) ), miękka Twarda siła (>)zawraca masę szybciej niż miękka siła (<). ( cos t.cos t) ( cos t η cos t) ( cos t η cos t cos t...) ( cos t 4η cos t...) & r.r. 8

9 ( cos t 4η cos t...) [ ( cos t η cos t...)] β cos t cos t Uwaga: cos t ( cos t)... i bez członów ( β ) ηβ η,, i wyższych Współczynniki przy cos t : β ( β ) Współczynniki przy cos t : 4η η (pomijamy β )( β ) ) β 4η ( ( β ) η β η β 6 9

10 Stałe: (pomijamy ( β ) ( β ) ) β β << β << β β ( β ) - nie ma zmiany częstości! - stały człon < > β masa spędza więcej czasu po miękkiej stronie

11 Siła symetryczna: F s Podsumowanie: ( α ) s ( << ) α ( cos t ε cos t...) α 8 ε α < > Siła asymetryczna: F s ( β ) s ( << ) β η β 6 ( cos t η cos t...) < > β

12 Rozszerzalność cieplna kryształów: Średnia odległość atomów: r R Biorąc przybliżenie siły kwadratowej : (Trudniej ściskać, niż rozciągać β< r R β r R ) Energia w układzie: s Z zasady ekwipartycji energii: βw W r R s r R βkt s

13 Było: d V F dr R oraz: ( ) s F s β d V dr R... : β e B V r 4πε r r Było: () 9 V () r d V d V dr dr R oraz R 8 e R B 6π ε 8 e R 4π εr 9 r β R Szybkość rozszerzania z temperaturą: d r k k β dt s Rs Było: k e,84 7 π εr R d r Nm π ε R k 4,87 4e ( 4 ) dt (Wzrost odległości o 4.8* -6 nm przy wzroście temperatury o K. 4 razy mniej niż z doświadczenia) m K R

14 Drgania wymuszone oscylatora anharmonicznego. Niech: słabo tłumiony oscylator, harmoniczna siła wymuszająca, amplituda odpowiadająca małej anharmoniczności, << ( - częstość rezonansowa dla małych drgań) czyli przewaga sprężystości. Niech: af bf cf... a, b, c stałe, F siła wymuszająca siła sprężyny Niech: F F cost cos t ( cos t ) cos t cost cos t 4 4 w - harmoniki! Rezonans dla częstości podharmonicznych pobudzanie harmonik. 4

15 Dwie siły wymuszające częstości kombinacyjne. Niech: F F cos t F cos t. > Z dokładnością do członów kwadratowych: a b ( F cost F cos t) ( F cos t F cos t) ( F cos t F cos t) F cos t F α α cos ( cos ) t F F dudnienia dla. cos t cos t cos drugie harmoniki i stała F F F F cos t cos t [ cos( ) t cos( ) t] człony o częstościach kombinacyjnych, możliwości rezonansów Jeśli zachować człon z F także ±, ± 5