Kinematyka: opis ruchu

Transkrypt

1 Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu

2 Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy się wzdłuż lini prostej Zawsze możemy tak wybrać układ współrzędnych aby y(t) = z(t) = 0 r(t) = i x x(t) płaski, odbywajacy się w ustalonej płaszczyźnie po okręgu Ze względu na przyspieszenie z(t) = 0 r(t) = i x x(t) + i y y(t) jednostajny wartość prędkości pozostaje stała: V = const jednostajnie przyspieszony przyspieszenie jest stałe: a = const A.F.Żarnecki Wykład IV 1

3 Ruch jednostajnie przyspieszony Prostoliniowy Prędkość jest liniowa funkcja czasu: V = V 0 + Położenie jest kwadratowa funkcja czasu: x = x 0 + t t t 0 a = V 0 + a (t t 0 ) t 0 V = x 0 + = x 0 + V 0 (t t 0 ) a (t t 0) 2 t t 0 [V 0 + a (t t 0 )] Drogi w kolejnych odcinkach czasu maja się do siebie jak kolejne liczby nieparzyste: x 1 : x 2 : x 3 :... = 1 : 3 : 5 : 7 :... A.F.Żarnecki Wykład IV 2

4 Ruch jednostajnie przyspieszony W ogólnym przypadku ruch jednostajnie przyspieszony nie jest prostoliniowy. V = V 0 + a (t t 0 ) r = r 0 + V 0 (t t 0 ) a (t t 0) 2 Ruch będzie się odbywał w płaszczyźnie przechodzacej przez r 0 i wyznaczonej przez kierunki wektorów V 0 i a. Możemy wybrać układ współrzędnych tak aby: i x a iy a ruch jednostajny (X) ruch jednostajnie przyspieszony (Y) spoczynek (Z): a x = 0 a y = a a z = 0 V x = V x,0 = const V y = V y,0 + a t V z = 0 x = x 0 + V x,0 (t t 0 ) y = y 0 + V y,0 (t t 0 ) a (t t 0) 2 z = 0 A.F.Żarnecki Wykład IV 3

5 Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch w polu grawitacyjnym Ruch ciala w jednorodnym polu grawitacyjnym: a = g = (0, g, 0) (wygodny wybór układu współrzędnych) Pole grawitacyjne Ziemi możemy przyjać za jednorodne, jeśli badamy ruch na odległościach r R Z Rodzaje ruchu: spadek swobodny: V 0 = 0 (ruch prostoliniowy) rzut pionowy: θ = ±π/2 (ruch prostoliniowy) rzut poziomy: θ = 0 rzut ukośny: θ 0, π/2,... y h V 0 g Θ x A.F.Żarnecki Wykład IV 4

6 Ruch jednostajnie przyspieszony Spadek swobodny y g x Położenie zależy kwadratowo od czasu: y = h g 2 t2 y(0) = h, Vy(0) = 0 A.F.Żarnecki Wykład IV 5

7 Ruch jednostajnie przyspieszony Spadek swobodny Wyniki domowych pomiarów: y [m] 0 g = 9.7 ± 0.7 m/s t [s] A.F.Żarnecki Wykład IV 6

8 Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch w polu grawitacyjnym Niezależność ruchów: t 0 = 0, x 0 = 0, y 0 = h x = V x,0 t = V 0 cos θ t ruch w poziomie zależy tylko od V x,0 y h V 0 Θ y = h + V y,0 t g 2 t2 = h + V 0 sin θ t g 2 t2 ruch w pionie zależy tylko od V y,0 Rzut poziomy θ = 0 V y,0 czas spadania nie zależy od V 0 : t = l 2h g x Dwa ciała o tym samym V (1) x,0 = V (2) x,0 taki sam ruch w poziomie: x(1) (t) = x (2) (t) A.F.Żarnecki Wykład IV 7

9 Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch w polu grawitacyjnym y h V 0 Θ l x Tor w rzucie ukośnym: y = h + x tan θ x 2 g 2V 2 0 cos2 θ 2 parabola Zasięg dla h=0 l = V 2 0 g sin(2θ) największy zasięg dla θ = π 4 (45 ) A.F.Żarnecki Wykład IV 8

10 Ruch harmoniczny Szczególny przykład ruchu drgajacego: x = A sin(ωt + φ) x Parametry amplituda A t częstość kołowa ω okres drgań T = 2π ω faza poczatkowa φ Prędkość: V = dx -1 = ω A cos(ωt + φ) Przyspieszenie: a = dv = ω2 A sin(ωt + φ) = ω 2 x A.F.Żarnecki Wykład IV 9

11 Ruch harmoniczny Równanie oscylatora harmonicznego: d 2 x 2 = ω2 x d 2 r 2 = ω2 r Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie wielu układów fizycznych: ciężarek na sprężynie wahadło matematyczne (dla małych wychyleń) kamerton, struna, itp... A.F.Żarnecki Wykład IV 10

12 Równiania rózniczkowe Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania różniczkowego Nasza wiedza nt. ruchu ciała przedstawiana jest często w postaci równan różniczkowych (równań ruchu). Aby znaleźć opis ruchu ciała trzeba te równania rozwiazać. Równania rzędu pierwszego Postać ogólna: F (x, y, y ) = 0 Najłatwiej rozwiazać problemy, które daja się sprowadzić do postaci rozwikłanej względem pochodnej: y = f(x, y) lub (postać równoważna): a(x, y) dx + b(x, y) dy = 0 Jeśli potrafimy rozdzielić zmienne y = dy = f(x) g(y) dx to rozwiazanie równania sprowadza się do całkowania: dy g(y) = f(x) dx + C A.F.Żarnecki Wykład IV 11

13 Równiania rózniczkowe Przykład Rozpad promieniotwórczy. Liczba rozpadów w jednostce czasu jest proporcjonalna do liczby atomów izotopu: dn = αn α > 0 rozpady oznaczaja zmniejszanie się liczby atomów izotopu Rozwiazanie: dn N = α + C ln N = αt + C N(t) = N 0 e αt gdzie N 0 N(0) = e C Równanie liniowe (w y i y ) Ogólna postać dla rzędu pierwszego: dy dx + P (x) y = Q(x) rozwiazujemy równanie jednorodne: dv dx + P (x) v = 0 podstawiajac do wyjściowego równania y = u v dostajemy du dx = C Q(x) e P (x)dx A.F.Żarnecki Wykład IV 12

14 Równiania rózniczkowe Równanie oscylatora harmonicznego Jest równaniem rzędu drugiego. Ale eliminujac czas możemy sprowadzić je do równania rzędu pierwszego: d 2 x 2 = dv = dv dx dx v dv dx = ω2 x które możemy wycałkować: v dv = ω 2 x dx v = ± ω = dv dx v a 2 x 2 d 2 x 2 = ω2 x Następnie możemy wrócić do zależności od czasu: dx = ± ω a 2 x 2 dx a = ± ω 2 x 2 arcsin ( ) x a = ± ωt + C x = a sin(ωt + C) v = a ω cos(ωt + C) A.F.Żarnecki Wykład IV 13

15 Ruch po okręgu Położenie ciała może być opisane jedna zmienna: kat w płaszczyźnie XY - φ długość łuku okręgu - s = r φ Y r V φ s X Prędkość: V = ds = r dφ = r ω Przyspieszenie katowe: α = dω prędkość katowa ω = dφ = d2 φ 2 Ruch jednostajny po okręgu: α = 0 ω = const V = const ale V const a 0!? A.F.Żarnecki Wykład IV 14

16 Prędkość w zapisie wektorowym: V = ω r Ruch po okręgu Z ω Przyspieszenie: a = d V = d ω r + ω d r = α r + ω V X φ s r V Y = a t + a n Oprócz przyspieszenia stycznego a t V, opisujacego zmianę V, jest też przyspieszenie normalne a n, odpowiedzialne za zmianę kierunku V w czasie. a n = ω ( ω r) = ω 2 r A (B C) = (A C) B (A B) C przyspieszenie dośrodkowe A.F.Żarnecki Wykład IV 15

17 Ruch po okręgu Ruch jednostajny po okręgu przyspieszenie styczne: a t = 0 a = a n = ω 2 r Y r V φ s X Ruch jednostajny po okręgu jest złożeniem dwóch niezależnych ruchów harmionicznych: x = r cos(ω t) = r sin(ω t + π 2 ) y = r sin(ω t) Ruch po okręgu różnica faz φ = ± π 2 Ciekawostka: Ruch harmoniczny można przedstawić jako złożenie dwóch ruchów po okręgu... A.F.Żarnecki Wykład IV 16