Wydział EAIiE Kierunek: Elektrotechnika. Wykład 12: Fale. Przedmiot: Fizyka. RUCH FALOWY -cd. Wykład /2009, zima 1

Transkrypt

1 RUCH FALOWY -cd Wykład /2009, zima 1

2 Energia i moc (a) dla y=y m, E k =0, E p =0 (b) dla y=0 drgający element liny uzyskuje maksymalną energię kinetyczną i potencjalną sprężystości (jest maksymalnie rozciągnięty) energia kinetyczna elementu liny o masie dm i prędkości poprzecznej du dm dx de k 1 2 dmu 2 liniowa gęstość masy Wykład /2009, zima 2

3 ale prędkość poprzeczna elementu liny y( x, t) ym sin(k x t) y u ym cos( k x t) t Podstawiając Szybkość, z jaką przenoszona jest energia kinetyczna 1 2 ) cos 2 m dek ( dx) ( y 2 dek dx ( ) ( y dt 2 dt 1 2 ) cos 2 m ( k ( k x t) x t) Średnia szybkość, z jaką przenoszona jest energia kinetyczna de dt k 1 2 ( v) ( y m ) 2 cos 2 ( k x t) 1 v 4 2 y 2 m Wykład /2009, zima 3

4 Średnia moc P de dt 1 2 k v ym Czynniki μ oraz v zależą od materiału i naprężenia liny natomiast ω i y m - od sposobu powstawania fali. Zależność średniej mocy fali od kwadratu amplitudy oraz od kwadratu częstości ma charakter ogólny i obowiązuje dla wszystkich rodzajów fal Wykład /2009, zima 4

5 ZADANIE DOMOWE-6 Rozciągnięta lina o gęstości liniowej μ=525 g/m została naprężona siłą T=45N. Wytwarzamy falę sinusoidalną o częstotliwości f=120 Hz i amplitudzie y m =8,5 mm, biegnącą wzdłuż liny od jednego z jej końców. Wyznacz średnią szybkość przenoszenia energii przez falę. Wykład /2009, zima 5

6 Fala dźwiękowa przemieszczenie s( x, t) sm cos(k x t) zmiana ciśnienia p( x, t) pm cos(k x t) amplituda zmian ciśnienia p ( v ) m s m prędkość fazowa gęstość gazu częstość amplituda przemieszczenia Wykład /2009, zima 6

7 Przykład 2: Maksymalna amplituda zmian ciśnienia Δp m, jaką ludzkie ucho może wytrzymać w postaci głośnego dźwięku, jest równa około 28 Pa (jest ona znacznie mniejsza od normalnego ciśnienia powietrza równego 10 5 Pa). Znajdź amplitudę przemieszczenia s m dla takiego dźwięku w powietrzu o gęstości ρ=1,21 kg/m 3, przy częstotliwości 1000 Hz i prędkości 343 m/s Dane: Δp m = 28 Pa ρ = 1,21 kg/m 3 f = 1000 Hz v = 343 m/s s m Rozwiązanie: pm v ρω s m =11 μm pm v ρ (2 π f ) Szukane: s m Amplituda przemieszczenia dla najgłośniejszego dźwięku, jaki może znieść ludzkie ucho, jest bardzo mała. Wykład /2009, zima 7

8 ZADANIE DOMOWE-7 Przeprowadzając podobne obliczenia wykazać, że dla najsłabszego słyszalnego dźwięku o częstotliwości 1000 Hz, amplituda przemieszczenia wynosi 11 pm podczas gdy amplituda zmian ciśnienia wynosi 2, Pa. Wykład /2009, zima 8

9 Natężenie dźwięku I r P S moc Natężenie I fali dźwiękowej na pewnej powierzchni jest to średnia szybkość w przeliczeniu ma jednostkę powierzchni, z jaką fala dostarcza energię do tej powierzchni (lub przenosi przez nią energię). pole powierzchni I P 2 4 π r dla fali emitowanej izotropowo Podobnie jak dla fali w strunie I 1 2 ρ vω 2 s m 2 Wykład /2009, zima 9

10 Natężenie dźwięku Wykład /2009, zima 10

11 Subiektywnie odczuwalne natężenie dźwięku, tak zwany poziom natężenia określamy na podstawie prawa Webera i Fechnera. Zmiana intensywności subiektywnego wrażenia dźwiękowego wywoływanego przez dwa dźwięki jest proporcjonalna do logarytmu natężeń porównywanych dźwięków. Krzywa czułości ucha Ucho ludzkie charakteryzuje się różną czułością dla różnych częstotliwości dźwięku Natężenie I o =10-12 W/m 2 o częstotliwości 1 khz nazywamy natężeniem poziomu zerowego Wykład /2009, zima 11

12 Skala subiektywnego natężenia dźwięku Poziom natężenia Λ gdy η=1, jednostką jest 1B (bel) gdy η=10, jednostką jest 1dB (decybel) log I I o gdy I zwiększa się o rząd wielkości, Λ zwiększa się o 10 db 120 db górna granica słyszalności dla 1 khz próg słyszalności szum liści rozmowa koncert rockowy granica bólu 0 db 10 db 60 db 110 db 120 db silnik odrzutowy 130 db Wykład /2009, zima 12

13 Głośność dźwięku Dwa dźwięki o tym samym natężeniu lecz o różnych częstotliwościach nie wydają się nam tak samo głośne, np. dźwięk o częstotliwości 1 khz odczujemy jako głośniejszy od dźwięku o częstotliwości 0.5 khz mimo, że w skali decybelowej będą miały jednakowy poziom natężenia. Głośność dźwięku wyrażamy w fonach. Dany dźwięk ma głośność n fonów, jeżeli słyszymy go tak samo głośno, jak dźwięk o natężeniu subiektywnym n decybeli i częstotliwości 1 khz. 20 fonów odpowiada 200 Hz 1000 Hz 3000 Hz Hz 40 db 20 db 15 db 32 db Wykład /2009, zima 13

14 Fala elektromagnetyczna widmo promieniowania Czułość oka ludzkiego w zakresie widzialnym Wykład /2009, zima 14

15 ZJAWISKA FALOWE: interferencja dyfrakcja polaryzacja ale także: załamanie, rozszczepienie, odbicie, transmisja, absorpcja Wykład /2009, zima 15

16 ZASADA SUPERPOZYCJI FAL Często się zdarza, że dwie lub więcej fal przechodzi równocześnie przez ten sam obszar. Fale te nakładają się, w żaden sposób nie wpływają na siebie wzajemnie a zaburzenia dodają się algebraicznie tworząc falę wypadkową. y w (x,t)=y 1 (x,t)+y 2 (x,t) Wykład /2009, zima 16

17 Demonstracja Wykład /2009, zima 17

18 Doświadczenie Younga Gap ~ 5 Wykład 9 Gap ~ /2009, zima Gap < 1 18

19 Wzmocnienie (interferencja konstruktywna) lub osłabienie (interferencja destruktywna) Skutki superpozycji fal Dudnienia Dudnienia Wykład /2009, zima 19

20 Zakładamy, że dwie sinusoidalne fale o tej samej długości i amplitudzie biegną wzdłuż napiętej liny w tym samym kierunku. Fale te interferują ze sobą dają wypadkową falę sinusoidalną biegnącą w tym samym kierunku. Amplituda fali wypadkowej zależy od względnej różnicy faz fal interferujących. y1( x, t) ym sin( k x ω t) y2( x, t) ym sin( kx ω t φ) 1 1 y y1( x, t) y2( x, t) 2ym cos( φ) sin( k x ω t φ) 2 2 amplituda Wykład /2009, zima 20

21 Interferencja konstruktywna wzmocnienie, gdy φ 0 amplituda wypadkowa jest dwukrotnie większa niż amplituda każdej z fal interferujących y ' m 2y m cos 1 2 φ 2y m Wykład /2009, zima 21

22 Interferencja destruktywna całkowite wygaszenie, gdy φ 180 amplituda wypadkowa wynosi zero y ' m 2y m 1 cos( 2 φ) 0 Wykład /2009, zima 22

23 Metoda wektora wirującego - wskazy Wskaz jest wektorem o długości równej amplitudzie fali, który obraca się wokół początku układu współrzędnych. Prędkość kątowa wskazu jest równa częstości kołowej ω. φ φ y1( x, t) ym 1 sin( k x ω t) y2( x, t) ym2 sin( k x ω t ) β y ' ( x, t) y ' m sin( k x ωt ) Metodą wskazów można się posługiwać nawet gdy y m1 jest różne od y m2 Wykład /2009, zima 23

24 Fala stojąca Fala stojąca powstaje gdy dwie sinusoidalne fale o tej samej długości i amplitudzie biegną wzdłuż napiętej liny w przeciwnym kierunku. y1( x, t) ym sin( kx ωt) y2( x, t) ym sin( kx ω t) Można pokazać, że: 2 y sin( k x) cos(ω ) y y m 1 y2 t amplituda fali Wykład /2009, zima 24

25 Fala stojąca węzły strzałki Położenia węzłów i strzałek nie ulegają zmianie. Amplituda fali zależy od położenia Wykład /2009, zima 25

26 Rezonans Położenia węzłów są opisane relacją: x n λ gdzie n=0,1,2,. Rezonans występuje gdy przy pewnych częstościach w wyniku interferencji powstaje fala stojąca o dużej amplitudzie Struna wykazuje rezonans przy pewnych częstościach zwanymi częstościami rezonansowymi Wykład /2009, zima 26

27 gdzie n=1,2,3. Rezonans Narzucając warunki brzegowe (np. węzły na końcach struny) wprowadzamy kwantyzację długości fali lub częstości. warunki brzegowe: dla x=0 y=0 i dla x=l y=0 warunek kwantyzacji długości fali λ n Wykład /2009, zima 27 2L n warunek kwantyzacji częstości n v n 2 L prędkość

28 Częstości rezonansowe są całkowitymi wielokrotnościami najniższej częstości. 1 v 2L Drganie własne o tej częstotliwości nazywamy modem podstawowym lub pierwszą harmoniczną Szereg harmoniczny czy zbiór wszystkich możliwych drgań własnych n n 1 liczba harmoniczna Wykład /2009, zima 28

29 Cechy dźwięku: wysokość częstotliwość tonu podstawowego głośność kwadrat amplitudy barwa zawartość tonów harmonicznych a) flet b) obój c) saksofon Wykład /2009, zima 29

30 Efekt Dopplera Wykład /2009, zima 30

31 Efekt Dopplera gdy porusza się obserwator - Obserwator porusza się do nieruchomego źródła Na skutek ruchu napotka większą ilość frontów fali na jednostkę czasu Częstość słyszana wzrośnie - Obserwator porusza się od nieruchomego źródła Na skutek ruchu zarejestruje mniejszą ilość frontów fali na jednostkę czasu Częstość słyszana zmaleje Wykład /2009, zima 31

32 Efekt Dopplera gdy porusza się źródło dźwięku - Źródło porusza się do nieruchomego obserwatora Długość fali wyda się obserwatorowi krótsza i częstość słyszana wzrośnie - Źródło porusza się od nieruchomego obserwatora Długość fali wyda się obserwatorowi większa zatem częstość słyszana zmaleje Wykład /2009, zima 32

33 Efekt Dopplera gdy porusza się zarówno obserwator (v o ) jak i źródło dźwięku (v ź ) Częstość generowana przez źródło Częstość obserwowana ` związane są relacją: o ź Znak v o i v ź jest dodatni gdy ruch jest do siebie Znak v o i v ź jest ujemny gdy ruch jest od siebie Wykład /2009, zima 33

34 ZADANIE DOMOWE ZADANIE DOMOWE-8 Dwa pociągi jadą naprzeciwko siebie z tą samą prędkością. Maszynista jednego z nich słyszy gwizd lokomotywy drugiego pociągu z częstością 1.2 razy wyższą niż gdyby go słyszał gdyby oba pociągi stały. Prędkość dźwięku v = 330 m/s. Z jaką prędkością porusza się każdy z pociągów Wykład /2009, zima 34