"Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych." Ernst Mach. Funkcja wykładnicza

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download ""Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych." Ernst Mach. Funkcja wykładnicza"

Franciszek Sowa
6 lat temu
Przeglądów:

1 "Poęga maemaki polega na pomijaniu wszskich mśli zbędnch i cudownej oszczędności operacji mślowch." Erns Mach Funkcja wkładnicza Def. Funkcją wkładniczą nazwam funkcję posaci f = a, gdzie a > i. Poęgę o wkładniku wmiernm definiujem jako aq = a p, gdzie p, q\{} Kied wkładnik poęgę a obliczam meodą kolejnch przbliżeo biorąc ciąg liczb wmiernch zmierzającch do. Prawa działao na funkcjach wkładniczch: a a = a : a a = a ; (a ) = a a = Własności funkcji wkładniczej: f = a jes różnowarościowa dla a rosnąca dla a> malejąca dla <a< sała dla a= parzsa dla a= p q

2 D 9 9 Np.. Rozwiąż D: + D = R\,. : D ) )( ( ) )( ( D 9 9

3 6 6 ) (. Zadanie: Rozwiąż: a) + = 9, b) = 6, c) ;,6;,8 7 =

4 : / : D ) )( ( ) [; ;) ( ) [; ;] ( D.

5 8 9 ) )( ( ) ( 8 ) ( ) ( \{} (;).

6 Zadanie:. Rozwiąż: a) < ;:, b) 6 ; : ;, c) : + ; > : ;. Rozwiąż: 8 a) : = ; ; =, : b) ( + ) = + ; =, c) = 8 = 9. Zbadaj różnowarościowośd i monoonicznośd: a) f = ; : b) f = log(;), c) f = ;log :log 8

7 Def. Jeżeli funkcja f: X Y i funkcja g: Y Z, o złożeniem funkcji f i g nazwam funkcję g f : X Z, aką że: g f () = g(f ) Jeżeli D f ; D g, o D g f = D f. Np.. Znajdź obdwa złożenia: f() =, g() = 9 D f =, D g =[9,), D f ; =(,), D g ; =[,) f g: g f:. Znajdź funkcje składowe dla funkcji:. h() = f() =, g()= : :. l()= + + f()= +, g()=, h()=, i()=+ (f g)() = f( g( )) = ;9, D f g = D g (g f)() = g( f( )) = 9, D g f D f Wniosek: Złożenie funkcji ogólnie nie jes przemienne. Tw. Złożenie funkcji jes łączne, zn. h(gf)=(hg)f

8 Tw. o złożeniu funkcji. Złożenie dwóch funkcji różnowarościowch jes funkcją różnowarościową.. Złożenie dwóch funkcji rosnącch lub dwóch funkcji malejącch jes funkcją rosnącą.. Złożenie dwóch funkcji, rosnącej i malejącej, jes funkcją malejącą.. Jeżeli funkcja wewnęrzna jes funkcją parzsą o złożenie jes funkcją parzsą.. Złożenie dwóch funkcji nieparzsch jes funkcją nieparzsą. 6. Jeżeli funkcja zewnęrzna jes ograniczona, o złożenie jes funkcją ograniczoną. 7. Jeżeli funkcja wewnęrzna jes okresowa, o złożenie dwóch funkcji jes funkcją okresową. Np.. Zbadaj monoonicznośd funkcji f = D f :, [, ) funkcja jes malejąca w (-,-+ oraz rosnąca w *,) funkcja jes rosnąca w swojej dziedzinie Odp. Funkcja f() jes malejąca w (-,-+ oraz rosnąca w *,).. Zbadaj monoonicznośd funkcji f = ;; ; ; D f : - Funkcja - jes rosnąca, funkcja jes rosnąca, funkcja ; jes malejąca w swojej dziedzinie ; Odp. Funkcja f() jes malejąca dla < oraz dla > [,) oraz (,). Zbadaj okresowośd funkcji f = g D f : π + kπ π + k π funkcja g jes okresowa o okresie T = π oraz D f ± π D f Odp. Funkcja f() jes okresowa o okresie T = π

9 . Zbadaj różnowarościowośd funkcji f = : D f : + funkcja jes różnowarościowa w, funkcja D ; D : + Odp. Funkcja f() jes różnowarościowa w swojej dziedzinie Zadanie: Zbadaj różnowarościowośd i monoonicznośd: a) f = ; : b) f = log(;), c) f = ;log :log 8 jes różnowarościowa w \{-} Def. Funkcję f: X Y nazwam funkcją wzajemnie jednoznaczną f jes różnowarościowa oraz D f ; =Y. Def. Jeżeli funkcja f: X Y jes funkcją wzajemnie jednoznaczną, o funkcją odwroną do funkcji f nazwam funkcję f - : Y X, aką że: (f - f)() = (f f - )() =. Wniosek: Jeżeli f - - jes funkcją odwroną do f, o = f() f - () =

10 Np. Znajdź funkcję odwroną. f = f: R R wzajmnie jednoznaczna = = :. f = ; ; f ; = : f: R\ \ wzajemnie jednoznaczna = ; : = ; : f; = : :. f ( ) 9 D : z powodu umow f ; = : D [; ) \ 9 Funkcja jes różnowarościowa oraz funkcja jes różnowarościowa funkcja f() jes różnowarościowa w swojej dziedzinie 6 9 /

11 ) ( / ) ( ) ( / f ) )( ( : D f ) ; ( ] ; ( D f - - Zadanie: Wznacz funkcje odwrone do danch funkcji oraz podaj dziedzin funkcji odwronch: a) f = + ;, b) f = ;log :log,, c) f = : + ;8

12 Wniosek: Wkres funkcji odwronej f ; orzmujem przez przekszałcenie wkresu funkcji f w smerii osiowej względem prosej =. = f ; () =f() Tw. o funkcji odwronej Jeżeli funkcja f:xy jes wzajemnie jednoznaczna, o:. funkcja f ; :YX jes wzajemnie jednoznaczna. jeżeli f jes rosnąca w X, o f ; jes rosnąca w Y. jeżeli f jes malejąca w X, o f ; jes malejąca w Y. Np. Zbadaj monoonicznośd funkcji odwronej do. f = ; : D f : + D ; = (, ) ; (,) dla > D : f = (,) funkcja jes rosnąca, funkcja ; jes malejąca funkcja f() jes malejąca : Odp.: Funkcja odwrona do f() jes malejąca w (-,)

13 . f ( ) D f : D f (,] funkcja + jes różnowarościowa i rosnąca, funkcja jes różnowarościowa i rosnąca, funkcja ; : jes różnowarościowa i malejąca - funkcja f() jes malejąca i różnowarościowa w swojej dziedzinie funkcja f ; () jes malejąca w swojej dziedzinie dziedzina f ; : (,] ; : [, ) ; [, ) ; + [, ) D : : f = [, )

14 Funkcja logarmiczna Def. Funkcją logarmiczną o podsawie a nazwam funkcję odwroną do funkcji wkładniczej a i oznaczam f = log a, a a>. Zauważm, że dla a a> funkcja a :(,) jes wzajemnie jednoznaczna D f =, D ; f =. Własności funkcji logarmicznej: Funkcja f = log a jes: różnowarościowa rosnąca dla a> malejąca dla <a< Def. Logarmem o podsawie a z liczb b nazwam wkładnik poęgi, do jakiej należ podnieśd liczbę a, ab orzmad liczbę b log a b = c a c = b, a,b>, a.

15 Tw. własności logarmów. log a a = Zał.: a, >, a log a = a log a = log a a =. log a + log a = log a Zał.: a,, >, a log a log a = log a. log a b = b log a Zał.: a, >, a, b. log a = log b log b a Zał.: a, b, >, a, b. log a b = log b a Zał.: a, >, a, b Np.. Oblicz : log6 : log6 = ( : log6 ) = :log6 = log = a. Oblicz log ab, jeżeli log b aba = Odp. log ab a b = log ab a log ab. Uporządkuj: log 8, log, log 6 b = log ab Odp. log 8= = log 7 log < log 8 < log 6 ab = + = 7 a 6

16 Zadanie: Oblicz: a) log log 7 log 6, b) 9 ;log 7 + ;log, c) log : log6, wiedząc, że log = a. Np.. Rozwiąż log ( + ) - log ( )= D: + > > (, + ) log : ; = log : ; = 9 +=9-9 Odp. = D. Rozwiąż log [log ( + )]< D: +> log + > >- +> >- >, + log + < +< < D Odp. (,)

17 . log (+ )= - log (- ) D: + > - > log (+ )=log (- ) - > - > + = ; (+ )(- )= -= = =D =-D D=(,). log + + log = D: > log + log = log log log + + = log log log log ; + + ( )( + ) = + = + + D = ; + ; + 6 = = = log = log = = 8 D = D

18 . log (9 ) = D: 9 > log (9 ) = log ; < 9 9 = ; 9 = ; 9 = 8 = = = = 8 = D = 8 D = = 6. log + log + log = D: > log + log log + log log = log + log + = log = + log log = log log + = log 9 log 7 + log = log 9 log (7 ) = log 8 9 = log 8 9 D

19 7. log 8 D: -8> log 8 log > 8 + D (; + ) 8. log + log > 6 D: > log + log > 6 D= (; + ) log > 6 log > log > log I. ε ; < ε II. > > ε (; ) Odp. ε (; ) 9. Wznacz dziedzinę f = log + D f : + > log + > log > + > D f = ( ; ] + log

20 . Wznacz dziedzinę funkcji f = log ( log D f : + 6 > log + 6 > (-,)(,) > log( + 6) < + 6 (-, ; )(:,) Odp. D f =(-, ; )(:,) + 6 ). Zbadaj parzsośd funkcji f = log + log + ; D f = f = log + ; log + = f() Odp. f jes nieparzsa. Cz funkcje f()=log i g()=log są równe? Odp. Nie, bo D f =\{}, a D g =(,) log + log = 6. Rozwiąż + = = log + log = log = = Odp. = = = + = = =

21 Zadanie:. Rozwiąż: a) log(log)+log(log -)=,. Rozwiąż: b) log ( ::) log ; =, c) log, log = a) +, :log ;log b) log log, c) log + log ; > log, (, ; ). Rozwiąż: a) log + = log log + log = log, b) log = log + =, c) log + log + log = ( ) =

22 Funkcja hiperboliczna Def. Sinusem hiperbolicznm nazwam funkcję sinh = e ;e Cosinusem hiperbolicznm nazwam funkcję cosh = e :e Tangensem hiperbolicznm nazwam funkcję gh = e ;e e :e Coangensem hiperbolicznm nazwam funkcję cgh = e :e e ;e f()=sinh f()=cosh f()=gh f()=cgh

23 Własności Funkcja sinh cosh gh cgh Dziedzina \{} Zbiór warości [,] [-,] (-,-) (,) Monoonicznośd Rosnąca Wzor dla funkcji hiperbolicznch:. cos sin =, g = sin Rosnąca w [,) Malejąca w (-,] cos, Rosnąca Rosnąca w (,) Malejąca w (-,) Różnowarościo Różnowarościowa Różnowarościowa w Różnowarościowa Różnowarościowa w wośd [,) i (-,] (,) (-,) Parzsośd nieparzsa parzsa nieparzsa nieparzsa Okresowośd nie jes okresowa nie jes okresowa nie jes okresowa nie jes okresowa cos cg =, gcg = sin. cosh ± = coscos ± sinsin, sinh ± = sincos ± cossin. cos = cos + sin, sin = sincos Np. Rozwiąż sinh+sinh e e ; + e e ; / e e e + e, = e ( )( + ) - e e Odp. [, )

24 Zadanie: a) Wznacz wzór funkcji odwronej do cosh dla >, b) rozwiąż cgh-gh >, c) wznacz dziedzinę funkcji f = log g (cg )

Podobne dokumenty

"Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych. Ernst Mach. IV. Funkcja wykładnicza

Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych. Ernst Mach. IV. Funkcja wykładnicza "Poęga maemayki polega na pomijaniu wszyskich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych. Erns Mach IV. Funkcja wykładnicza Def. Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję posaci f = a, gdzie