Wykład 11. Dynamika ośrodków sprężystych. Fale mechaniczne

Transkrypt

1 Wkład Dnamika ośrodków sprężsch Fale mechaniczne Fale powsające w ośrodkach sprężsch (np fale dźwiękowe) nazwam falami mechanicznmi Powsają one w wniku wchlenia jakiegoś fragmenu ośrodka z położenia równowagi, co w nasępswie powoduje drgania fragmenu wokół ego położenia Drgania e (dzięki właściwościom sprężsm ośrodka) są przekazwane na kolejne części ośrodka Sam ośrodek nie przesuwa się, a jednie jego elemen wkonują drgania w ograniczonch obszarach przesrzeni Na przkładzie fal na powierzchni wod widzim, że przedmio płwające wkonują ruch drgając naomias same fale poruszają się ruchem jednosajnm Fala dobiegające do danego przedmiou wprawiają go w ruch drgając przekazując mu energię Można za pomocą fal przekazwać więc energię na duże odległości Energia fal o energia kineczna i poencjalna cząsek ośrodka Cechą charakersczną fal jes o, że przenoszą one energię poprzez maerię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w maerii a nie dzięki ruchowi posępowemu samej maerii Do rozchodzenia się fal mechanicznch porzebn jes ośrodek To właściwości sprężse ośrodka decdują o prędkości rozchodzenia się fali Ze względu na kierunek drgań cząsek względem kierunku rozchodzenia się fali, rozróżniam Fale poprzeczne Przkładem fali poprzecznej są drgania lin, w kórej zachodzą one w kierunku prosopadłm do kierunku rozchodzenia się fali (rsxia) Fala na powierzchni wod eż jes falą poprzeczną Fale podłużne Przkładem fali podłużnej jes fala, kóra powsaje w drgającej sprężnie (rsxib) Dla fali podłużnej drgania zachodzą w m samm kierunku w kórm rozchodzi się fala Fale dźwiękowe, kóre emiujem głosem eż są falami podłużnmi Ze względu na czoło fali (czoło jes o powierzchnia łącząca punk o jednakowch zaburzeniach w danej chwili) wróżniam fale płaskie (czoło fali jes płaszczzną i fala rozchodzi się w kierunku, prosopadłm do ej płaszczzn); fale kulise (czoło fali jes kulą i fala rozchodzi się we wszskich kierunkach) 05

2 RsXIFale poprzeczne (a) i podłużne (b) Fale rozchodzące się w przesrzeni Rozważm długą srunę naciągnięą w kierunku x, wzdłuż kórego biegnie fala poprzeczna W dowolnej chwili na przkład 0 kszał srun można opisać funkcją ( x) f ( x), gdzie przemieszczenie cząseczek srun wzdłuż osi O Przpuśćm, że w miarę upłwu czasu fala biegnie wzdłuż srun bez zmian kszału w prawo, czli w sronę wzrosu x Wbierzem w chwili 0 jakiś punk fali, dla kórego wchlenie srun w kierunku osi O jes równe x ) f ( x ) Wed, po czasie fala przesuwa się o w ( prawo (gdzie - prędkość fali) i po czasie w punkcie x x + fali wchlenie srun w 06

3 kierunku osi O będzie równe x) ( x ) f ( x ) Ponieważ x możem ( zapisać ( x, ) f ( x ) (XI) Równanie (XI) jes więc równaniem fali rozchodzącej się w prawą sronę srun Kszał fali określa funkcja f ( x ) Fala rozchodząca się w lewą sronę srun, czli w sronę mniejszch x - ów, określa wzór ( x, ) f ( x + ) (XI) Isonie, ze wzoru (XI) wnika, że w chwili w punkcie x, kszał fali (wchlenie srun) jes aki sam jak w chwili 0 w punkcie x 0 rgumen funkcji f ( x ± ), czli ϕ ( x, ) x ±, (XI3) x nosi nazwę faz drgań jes sała Przpuśćm, że śledzim wbraną część fali, dla kórej faza drgań ϕ ( x, ) x x cons (XI4) Różniczkując (XI4) względem czasu orzmujem dx d (XI5) zaem, prędkość rzeczwiście określa prędkość, z kórą punk mając określone wchlenie (określoną fazę) porusza się wzdłuż srun Jes o ak zwana prędkość fazowa Zauważm, że dla danego 0 w funkcji fali f ( x ± ) czas jes sał i funkcja f ( x ± x0 ), gdzie x0 0, zależ lko od x i określa kszał fali w chwili 0 Jeżeli rozważm jakiś określon punk srun x, o w funkcji fali f ( x ± ) zmienna x jes sała i x funkcja f ( x ± ) zależ lko od i określa drgania srun w punkcie x x Rozważm eraz falę o szczególnm kszałcie Załóżm, że w chwili 0 kszał srun jes opisan funkcją π sin x, (XI6) 07

4 gdzie jes maksmalnm wchleniem Zauważm, że wchlenie jes akie samo w π punkach x, x +, x +, x + 3 id, ponieważ sin( x) sin( π π x + π ) sin( + 4 π ) π sin( x + 6π ) id Wielkość nazwam długością fali (odległość międz punkami o ej samej fazie) Jeżeli fala biegnie w prawo o π sin ( x ) (XI7) Okres T jes czasem, w kórm fala przebiega odległość równą więc: T, sąd x sin π (XI8) T Ze wzoru (XI8) widać, że w określonej chwili aka sama faza jes w punkach x, x+, x+, x+3 id, ponieważ x x x x sin π sin[ π + π ] sin[ π + 4π ] sin[ π + T T T T oraz, że w danm miejscu faza powarza się w chwilach, + T, +T, id, ponieważ 6π ] id, x x sin π sin[ π π ] T T x sin[ π T 4π ] id Częso prz rozważaniu zjawisk falowch w fizce wprowadza się dwie nowe wielkości: liczbę falową k / π i częsość kąową ω π / T Wówczas dla fal biegnącch w prawo i lewo możem zapisać sin( kx ω ) lub sin( kx + ω ) Widać, że prędkość fazowa fali jes dana wzorem T π T π ω k 08

5 Rozchodzenie się fal, prędkość fal Jeżeli chcem zmierzć prędkość fali o śledzim jak przemieszcza się w czasie wbrana część fali, czli określona faza Wiem, że prędkość fali zależ od sprężsości ośrodka i jego bezwładności Sprężsość dla srun jes określona poprzez napinającą ją siłę F (na przkład im większa siła m szbciej wchlone elemen srun wracają do położenia równowagi) Naomias bezwładność jes związana z masą srun m oraz jego długością l Spróbujem eraz wprowadzić wzór na zależność prędkości fali od sił F i od µ m/l, j mas przpadającej na jednoskę długości srun W m celu rozparzm mał wcinek srun o długości dx pokazan na rsxi Przpuśćm, że w chwili mał fragmen odkszałconej srun o długości l ma kszał łuku koła o promieniu R (rsxi) Naężenie F na obu końcach odcinka l ma kierunek sczn do srun Składowe RsXI Drgania srun poziome (wzdłuż osi Ox ) znoszą się, a obie składowe pionowe (wzdłuż osi O ) są równe F sinθ Dla małch kąów θ, mam: sin( θ ) θ zaem wpadkowa pionowa siła j siła skierowana ku punkowi O wnosi F wp F sin( θ ) F θ Jeżeli masa srun jes równa m, o masa rozważanego elemenu l wnosi m ( m / l) l µ l Tu µ m / l - masa przpadająca na jednoskę długości srun, czli zw gęsość liniowa Zgodnie z drugą zasadą dnamiki siła wpadkowa jes równa ilocznowi mas wcinka m i jego przspieszenia zaem Oznaczając F wp l x, orzmujem F θ ( µ l) ( µ l) µ θ x F Skąd θ x µ F (XI9) 09

6 Uwzględniając, że θ / x znajdujem x µ (XI0) F Podsawm eraz do ego równania odpowiednie pochodne funkcji f ( x, ) sin( k x ω ) ω sin( k x ω ), oraz x k sin( k x ω ) W wniku podsawienia orzmujem µ F k ω, skąd możem obliczć prędkość fali ω k F µ (XI) Zwróćm uwagę, że sinusoidalna fala może bć przenoszona wzdłuż srun z prędkością niezależną od ampliud i częsoliwości Jeżeli eraz przepiszem równanie srun w posaci x, (XI) o orzmam równanie falowe, kóre sosuje się do wszskich rodzajów rozchodzącch się fal, akich jak fale dźwiękowe cz fale elekromagneczne Inerferencja fal Inerferencją fal nazwam zjawisko nakładania się fal, wskuek czego zachodzi ich wzajemne wzmocnienie w jednch punkach przesrzeni oraz osłabienie w innch, w zależności od sosunków faz inerferującch fal Rozważm dwie fale o równch częsoliwościach i ampliudach, ale o fazach różniącch się o δ Równania ch fal są nasępujące sin( k x ω ), δ 0

7 sin( k x ω ) Znajdźm eraz falę wpadkową jako sumę + Korzsając ze wzoru na sumę sinusów α + β α β sin α + sin β sin cos, (XI3) orzmujem δ + cos sin( k x ω δ / ), (XI4) co jes równaniem fali sinusoidalnej o ampliudzie cos( δ / ) Dla δ 0,π,4π, nπ mam cos( δ / ) n cos( nπ ) ( ), a zaem fale wzmacniają się (ampliuda wpadkowej fali wzrasa o raz) Dla δ π, 3π, (n + ) π mam cos( δ / ) cos[(n + ) π / ) 0, a zaem fale wgaszają się (ampliuda wpadkowej fali jes zerowa) Fale sojące Drugim przkładem inerferencji (nakładania się) fal jes fala sojąca Rozważm dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnch kierunkach zn na przkład falę padającą i odbią sin( k x ω ), sin( k x + ω ), Korzsając ze wzoru (XI3) dla fali wpadkowej możem zapisać + sin( kx)cos( ω ) (XI5) Jes o równanie ak zwanej fali sojącej Zauważm, że cząski drgają ruchem harmonicznm prosm Cząski mają ę samą częsość, ale różną ampliudę zależną od położenia cząski x Punk kx ( n + ) π / (gdzie n 0,,, ), dla kórch sin( kx ) ± mają maksmalną

8 ampliudę i nazwają się srzałkami Punk kx nπ (gdzie n 0,,, ), dla kórch sin( kx ) 0 mają zerową ampliudę i nazwają się węzłami Zwróćm uwagę na jeszcze jedną isoną różnicę W przpadku fali sojącej, energia nie jes przenoszona wzdłuż srun (sznura), bo nie może ona przepłnąć przez węzł, jes na sałe zmagaznowana w poszczególnch elemenach srun (sznura) Układ drgające, przkład Jeżeli sruna zamocowana na obu końcach zosanie najpierw wgięa a nasępnie puszczona, o wzdłuż srun rozchodzą się drgania poprzeczne Zaburzenia e odbijają się od zamocowanch końców i w wniku inerferencji powsaje fala sojąca Zwróćm uwagę, że drgania srun wwarzają w oaczającm srunę powierzu dźwiękowe fale podłużne (fale akusczne) Ponieważ jednm warunkiem, jaki musi bć spełnion, jes nieruchomość obu końców srun, czli isnienie węzłów fali sojącej na ch końcach, o mogą powsać w ej srunie fale sojące o różnej długości Pierwsze czer rodzaje drgań, jakie powsają w srunie o długości L zamocowanej na końcach są pokazane na rsxi3 Takie fale sojące nazwam rezonansami Widzim, że długości fal spełniają związek L L n (XI6) n Korzsając z ego, że prędkość fali L 3 L/3 T v oraz podsawiając wrażenie (XI) możem obliczć częsoliwość rezonansów: 4 L/ ν n n L n L F µ (XI7) L RsXI3 Rezonanse Najniższą częsość nazwam częsością podsawową a pozosałe wższmi harmonicznmi czli alikwoami Zazwczaj w drganiach wsępują, oprócz drgania podsawowego, również drgania harmoniczne, a dźwięki, jakie odbieram są wnikiem nakładania się ch drgań O jakości insrumenu (jego barwie) decduje właśnie o ile alikwoów jes zaware w dźwięku i jakie są ich naężenia Przkładowo, drganie wpadkowe srun będące złożeniem onu podsawowego (n ) i wższch harmonicznch (n 3, 5, 7) o różnch ampliudach jes pokazane na rs XI4

9 Zwróćm uwagę, że wpadkowe drganie (chociaż okresowe) nie jes harmoniczne (nie daje się opisać funkcją sinus lub cosinus) n drganie wpadkowe n 3 n 5 n 7 RsXI4 Drganie wpadkowe srun będące złożeniem onu podsawowego (n ) i wższch harmonicznch (n 3, 5, 7) o różnch ampliudach Dudnienia - modulacja ampliud Mówiliśm już o superpozcji fal, inerferencji w przesrzeni (dodawanie fal o ej samej częsości) Rozparzm eraz przpadek inerferencji w czasie Pojawia się ona, gd przez dan punk w przesrzeni przebiegają w m samm kierunku fale o rochę różnch częsoliwościach Wchlenie wwołane przez jedną i drugą falę mają posać sin( ω ), sin( ω ), więc, korzsając ze wzoru (XI3), orzmujem ω ω ω + ω + cos( ) sin (XI8) Drgania wpadkowe można więc uważać za drgania o częsości ω ω ω srednie, kóra jes średnią częsością dwóch fal, i o ampliudzie (wrażenie w nawiasie kwadraowm) zmieniającej się w czasie z częsością + 3

10 ω ω ω ampl Jeżeli częsoliwości ω i ω są bliskie siebie o ampliuda zmienia się powoli Mówim, że mam do cznienia z modulacją ampliud M (sosowana np w odbiornikach radiowch) Dla fal dźwiękowch M przejawia się jako zmiana głośności (dźwięk o wzrasa, o gaśnie) i nazwa się dudnieniami (rsxi5) RsXI5 Dudnienia Zjawisko Dopplera usriak, Chrisian Doppler w prac z 84 r zwrócił uwagę, że barwa świecącego ciała (częsoliwość) musi się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwaora lub źródła Zjawisko Dopplera wsępuje dla wszskich fal (dźwiękowch, świelnch id) Obecnie rozważm je dla fal dźwiękowch Zajmiem się przpadkiem ruchu źródła i obserwaora wzdłuż łączącej ich prosej Wbierzm układ odniesienia nieruchom względem ośrodka (na przkład powierza), w kórm biegną fale Rozważm przpadek, dla kórego źródło dźwięku Z spoczwa w wbranm układzie odniesienia, a obserwaor na przkład w samochodzie porusza się z prędkością 0 w kierunku źródła dźwięku Okręgi na rsxi6 oznaczają czoła fal oddalonch od siebie o jedną długość fali Gdb obserwaor bł nieruchom, a odległość źródła dźwięku od obserwaora wnosiłab l, o obserwaor odbierałb obserwaora wnosiłab ν / / Tu - prędkość fal l / / fal w czasie i częsość słszana przez 4

11 Skąd RsXI6 Gd obserwaor porusza się z prędkością 0 w kierunku źródła dźwięku, odległość obserwaora od źródła dźwięku zmniejsza się i w m samm czasie obserwaor odbierze 0 / dodakowch fal Częsość słszana przez obserwaora wnosi O + v + O + O ' v + O 0 v ' v ν + (XI9) zaem częsość dźwięku słszana przez obserwaora ulega zwiększeniu Kied obserwaor oddala się od nieruchomego źródła dźwięku częsość dźwięku słszana przez obserwaora zmniejsza się i wnosi O 0 v ' v ν (XI0) W przpadku, gd obserwaor spoczwa, a źródło dźwięku porusza się z prędkością Z (rsxi7) częsość dźwięku słszaną przez obserwaora określa wzór v' ν (XI) Z RsXI7 Tu znak minus odnosi się do ruchu źródła w kierunku obserwaora, a znak plus dla ruchu od obserwaora 5

12 Lieraura do Wkładu Rober Resnik, David Hallida: Fizka, Wdawnicwo PWN, Warszawa, 994, sr465-5 Sz Szczeniowski, Fizka doświadczalna,, PWN, Warszawa 980, sr ; sr Zadania do Wkładu XI Wzdłuż sznura biegnie fala Prz założeniu, że czas jaki upłwa pomiędz momenem maksmalnego i zerowego wchlenia w usalonm punkcie sznura wnosi 0,5 s, znaleźć: a) częsość; b) prędkość rozchodzenia się fali jeżeli jej długość wnosi 4 m Odpowiedź: a) Hz; b) m/s Gęsość liniowa drgającego sznura wnosi,5 0-4 kg/m W sznurze rozchodzi się fala poprzeczna opisana równaniem 0,05sin(x + 00), gdzie x i są wrażone w m, a czas w sekundach Ile wnosi naprężenie nici? Odpowiedź:,5 N 3 Ze źródła punkowego wchodzi izoropowo we wszskich kierunkach fala Uzasadnić nasępujące wrażenie dla wchlenia cząski w dowolnej odległości r od źródła Y ( r, ) cos[ k ( r ) ] r 4 Obliczć ampliudę ruchu wpadkowego wnikającego z nałożenia dwóch prosch fal harmonicznch o akim samm kierunku rozchodzenia się i akiej samej częsości, jeżeli ampliud składowch wnoszą 3,0 cm i 4,0 cm, a drgania różnią się w fazie o π / radiana Odpowiedź: 5 cm 5 Trz nakładające się fale sinusoidalne mają en sam okres, naomias ich ampliud mają się do siebie jak :/:/4, a sałe fazowe są równe fali wpadkowej i przedskuować jej charaker 6 Drgania sznura są opisane równaniem π x 0,5sin cos( 40π ), 3 0, π /, π Narsować kszał gdzie x i są wrażone w cm, a w s a) Jaka jes ampliuda i prędkość fal składowch, kórch superpozcja może dawać akie drgania? b) Jaka jes odległość 6

13 międz węzłami? c) Jaka jes prędkość cząski w punkcie x, 5 cm w chwili 9 / 8 s? Odpowiedź: a) 0,5 cm, 0 cm/s b) 3,0 cm c) Zero 7 Dwa źródła S i S emiują fale o ej samej częsości i ampliudzie Faz począkowe ch fal są akie same Pokazać, że superpozcja ch dwóch fal daje falę, kórej ampliuda zmienia się ze zmianą położenia punku P zgodnie (w przbliżeniu) z wrażeniem 4Y r + r k cos ( r r ) 8 W leczeniu i niszczeniu nowoworów kanki miękkiej użwa się fal ulradźwiękowch o dużm naężeniu i częsości 0 MHz Jaka jes długość ej fali w kance, jeżeli szbkość rozchodzenia się dźwięku w kance wnosi 500 m/s? Odpowiedź:,5 mm 9 Udowodnić wzór (XI0) 0 Udowodnić wzór (XI) 7