Fizyka 12. Janusz Andrzejewski

Transkrypt

1 Fizyka 1 Janusz Andrzejewski

2 Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań, powtarzają się w pewnych odstępach czasu Drgania harmoniczne drgania opisane funkcją harmoniczną (sin(ωt) lub cos(ωt)) Oscylator harmoniczny - układ wykonujący drgania harmoniczne np. wahadło, obwód LC Janusz Andrzejewski

3 Wahadło L m T.8 π 1. 8s g π 9.8m / s Pomiary okresu dla rzeczywistego wahadła Janusz Andrzejewski 3

4 Ruch harmoniczny tłumiony Gdy w układzie występuje tłumienie, mamy do czynienia z oscylatorem harmonicznym tłumionym. Przyczyną tłumienia jest występowanie sił tarcia > co powoduje rozpraszanie energii Siła oporu: r F oporu r rv r r dx dt Oscylator harmoniczny w obecności siły tarcia (tłumienie) m d x dt ma rv kx dx r kx dt Janusz Andrzejewski Równanie różniczkowe!!! 4

5 Ruch harmoniczny tłumiony m d x dt r dx dt kx d x dx + β + ω x dt dt Rozwiązanie, postulujemy jako: gdzie β r mm x t) N x ( t) + N x ( ) Gdzie: ( 1 1 t [( ) ] β ± β t x1,( t) A1, exp ω ω k m Stałe N 1, -ustalamy ich wartość z warunków brzegowych. Janusz Andrzejewski 5

6 Drgania aperiodyczne [( ) ] β ± β t x1,( t) A1, exp ω 1) Dla β>ω wyrażenie (- β±(β -ω )^½) jest rzeczywiste i ujemne > rozwiązaniem jest zanikająca funkcja wykładnicza ) dla βω występuje tzw. tłumienie krytyczne jest to minimalna wartość tłumienia, przy której ruch jest aperiodyczny Janusz Andrzejewski 6

7 Słabo tłumione drgania harmoniczne [( ) ] β ± β t x1,( t) A1, exp ω 3) Dla β<ω wyrażenie (β -ω )^½ jest liczbą urojoną > rozwiązaniem funkcje harmoniczne, ale o amplitudzie exp(- βt) x 1, ( t) A A 1, 1, exp exp ( ) ( ) βt exp ± β ω t ( ) ( ) βt exp ± i ω β t ω e i cosω + i sinω e iπ 1 Janusz Andrzejewski E mc 7

8 Drgania tłumione ( β t) ( + ) x( t) A exp cos ωt ϕ Amplituda drgań gasnących: A( t) A exp ω ω β ( βt) Częstość własna drgań układu tłumionego Janusz Andrzejewski 8

9 Drgania tłumione Drgania tłumione nie są harmonicznymi, ponieważ drgania nie powtarzają się. Dlatego wielkość ω możemy tylko umownie nazwać częstością kołową drgań tłumionych π π T > T ω ω β Okres drgań układu tłumionego jest większy niż okres drgań swobodnych Janusz Andrzejewski 9

10 Zastosowanie Janusz Andrzejewski 1

11 Fizyczne znaczenie Współczynnik tłumienia: βr/(m)mówi nam o stosunku kolejnych amplitud drgań gasnących A A n n+ 1 A A exp exp ( β t) ( β ( t + T )) exp ( βt ) Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń, następujących po sobie w odstępie czasu T (umownego okresu) nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia : Λ ln A A n n+1 βt Janusz Andrzejewski 11

12 Fizyczne znaczenie parametrów Oznaczmy przez τodstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejszy się e-krotnie. Wtedy: βτ 1 albo : β 1 τ czyli: współczynnik tłumienia βjest wielkością fizyczną równą odwrotności odstępu czasu τ, w ciągu którego amplituda zmniejsza się e-razy. Czas nazywamy czasem relaksacji Podobnie: gdy przez N oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu których amplituda zmaleje e-razy, okaże się, że: Λ 1 N czyli: logarytmiczny dekrement tłumienia Λjest wielkością równą odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejszy się e-razy. Janusz Andrzejewski 1

13 Drgania wymuszone Ażeby w układzie drgającym otrzymać drgania nietłumione, należy kompensować straty energii. Działamy dodatkową siłą okresową siłą wymuszającą: F( t) F cos ( ωt) Ogólne równanie oscylatora harmonicznego ma postać: ma rv kx + F d x m dt + r dx dt + kx F cos cos ( ωt) ( ωt) Jest to równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu niejednorodne (długa nazwa ) Janusz Andrzejewski 13

14 Drgania wymuszone d x m + dt r dx dt + kx F cos ( ωt) Spodziewamy się rozwiązania powyższego równania różniczkowego w postaci drgania harmonicznego z częstością ω, równą częstości siły wymuszającej F, ale amplituda tych drgań powinna zawierać informacje o masie m, tłumieniu βi wielkości siły wymuszającej F a także częstości własnej układu ω : ( ω + ) x( t) Asin t ϕ m β F ω ω? β? Janusz Andrzejewski 14

15 Drgania wymuszone A m ( ) ω ω + 4β ω F Amplituda Austalonych drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej F i odwrotnie proporcjonalna do masy m układu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia β. Faza początkowa ma teraz sens różnicy faz między amplitudą drgań wymuszonych Ai amplitudą siły wymuszającej F (ściślej: ponieważ użyliśmy funkcji cosinus do opisu siły wymuszającej i funkcji sinus do opisu drgania x(t), to szukaną różnicą faz będzie α ϕ π tanα βω ω ω Janusz Andrzejewski 15

16 Drgania wymuszone W stanie ustalonym, drgania wymuszone przebiegają z częstością ω i są drganiami harmonicznymi, a ich amplituda i faza są określone odpowiednimi zależnościami Janusz Andrzejewski 16

17 Drgania wymuszone -wnioski po początkowym, nieustalonym stadium procesu następują ustalone drgania wymuszone, drgania wymuszone odbywają się z częstością siły wymuszającej, amplituda tych drgań zależy od amplitudy siły wymuszającej, jej częstości i parametrów układu drgającego, faza drgań zależy od częstości siły wymuszającej Janusz Andrzejewski 17

18 Rezonans -przykłady Strojenie odbiorników RTV Instrument muzyczne Huśtawka Rezonans Magnetyczny Tacoma Narrows Bridge Janusz Andrzejewski 18

19 Rezonans A m ( ) ω ω + 4β ω F Z wyrażenia tego wynika, że amplituda może przyjąć pewną maksymalną wartość. Maksimum funkcji uzyskamy różniczkując to wyrażenie względem ω i przyrównując do zera ( ω ω ) ω + 8 β ω 4 ω oraz ω ± ω β Tak więc, częstotliwość rezonansowa ω ω β Zjawisko silnego wzrastania amplitudy drgań wymuszonych przy zbliżaniu się częstości siły wymuszającej do częstości ω rez nazywamy rezonansem. rez Janusz Andrzejewski 19

20 Rezonans Amplituda przy częstości rezonansowej: A rez F β ω β Jeżeli ω, to wszystkie krzywe przyjmują jedną wartość, różną od zera F o / (mω o ) nazywaną odchyleniem statycznym. A m ( ) ω ω + 4β ω F Janusz Andrzejewski

21 Drgania wymuszone β β 1 <β <β 3 <β 4 F /(mω ) Janusz Andrzejewski 1

22 Rezonans Zjawisko rezonansu może być zjawiskiem pożytecznym jak i szkodliwym. Przykłady zastosowań: akustyka (instrumenty) odbiorniki radiowe i telewizyjne Katastrofy: Katastrofa mostu w Tacoma (USA, 7 listopada 194) Janusz Andrzejewski

23 Fale Janusz Andrzejewski 3

24 Drgania a fale Janusz Andrzejewski 4

25 Fale mechaniczne Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające się( rozchodzące się w przestrzeni) zaburzenie (odkształcenie, drgania). r Drgania : x( t) Fale : ψ (, t) Fale przenoszą energię, ale nie transportują materii. Fale mogą rozchodzić się w ośrodkach materialnych (i związane są wtedy ze zmianą parametrów takiego ośrodka, jak np. ciśnienie i gęstość w gazach w przypadku fali akustycznej w powietrzu) ale mogą też nie potrzebować ośrodka materialnego do propagacji (fale elektromagnetyczne). Rodzaje fal: -fale mechaniczne; -fale elektromagnetyczne; -fale materii (cząstki). Janusz Andrzejewski 5

26 Typy fal Fala poprzeczna gdy drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Fala podłużna gdy drgania zachodzą w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Fala poprzeczna Fala podłużna Janusz Andrzejewski 6

27 Typy fal Fale poprzeczne propagują się tylko w ośrodku który charakteryzuje się sprężystością postaci (ciała stałe). Fale podłużne związane są z odkształceniem objętościowym ośrodka i dlatego mogą się rozchodzić zarówno w ciałach stałych, jak i w cieczach i gazach. Miejsce geometryczne punktów do których dochodzą drgania w danej chwili t, nazywamy czołem fali. Miejsce geometryczne punktów drgających w jednakowej fazie nazywamy powierzchnią falową Janusz Andrzejewski 7

28 Równanie falowe v 1 t z y x + + ψ ψ ψ ψ Ogólne równanie w przestrzeni v 1 x t ψ ψ Janusz Andrzejewski 8 v t x Przypadek 1 wymiarowy Rozwiązaniem tego równania w ogólności musi być funkcja ψ, której argument ma postać: r±vtlub x ±vt ) ( ), ( vt x F t x ψ Fala biegnąca w prawo ) ( ), ( vt x G t x + ψ Fala biegnąca w lewo

29 Przykłady fal Fala harmoniczna x t x ψ A cosω t ± Acos π ± Acos ω ± v T λ Fala płaska ( m iωt) ( ± ik r ) ψ Aexp exp Fala kulista A ψ exp exp r v v r r ( m iωt) ( ± ik r ) ( t kx) Janusz Andrzejewski 9

30 ψ ( x, t) Fala płaska π π Asin( kx ωt) Asin x t λ T A amplituda fali maksymalne bezwzględne przemieszczenie elementu kx-ωt faza fali π k liczba (wektor) falowy λ- długość fali λ T okres fali π ω π Częstość kołowa T Janusz Andrzejewski 3

31 Prędkości fal Załóżmy, że w procesie faza fali jest stała: ψ ( x, t) Asin( kx ωt) > kx ωt const Różniczkując to wyrażenie mamy: dx ω kdx ω dt > v dt k v f nazywa się prędkością fazową fali jest to prędkość z jaką przemieszcza się faza fali Jeżeli amplituda fali zmienia się, to zmiana amplitudy może rozchodzić się z inną prędkością niż prędkość fazowa. Prędkość rozchodzenia zmiany amplitudy nazywana jest prędkością grupową fali v g określona jest wzorem: dω( k) v g dk v f Janusz Andrzejewski 31

32 Dyspersja ω v f k związek dla prędkości fazowej. dω dk v f + k dv dk f Ale: d dk π λ oraz dλ d dk dλ d d k π dk dk k d dk π d λ d k dλ k dλ v g v f dv f λ d λ Dyspersja fali gdy prędkość fazowa fali zależy od długości fali Janusz Andrzejewski 3

33 Dyspersja fali morskiej Janusz Andrzejewski 33

34 Dyfrakcja Janusz Andrzejewski 34

35 Dyfrakcja i interferencja Janusz Andrzejewski 35

36 Różne ośrodki Częstotliwość fali w każdym ośrodku jest taka sama ω v k ω f 1 1 v f k v f 1k1 v f k v f 1 const λ 1 Janusz Andrzejewski 36