) I = dq. Obwody RC. I II prawo Kirchhoffa: t = RC (stała czasowa) IR V C. ! E d! l = 0 IR +V C. R dq dt + Q C V 0 = 0. C 1 e dt = V 0.

Transkrypt

1 Obwody RC t = 0, V C = 0 V 0 IR 0 V C C I II prawo Kirchhoffa: " po całym obwodzie zamkniętym E d l = 0 IR +V C V 0 = 0 R dq dt + Q C V 0 = 0 V 0 R t = RC (stała czasowa) Czas, po którym prąd spadnie do 37% prądu maksymalnego, I 37% I max. Rozwiązanie: ( t RC ) I = dq Q = V 0 C 1 e dt = V 0 R e t RC

2 Obwody RC ze źródłem napięcia przemiennego V = V 0 cosωt 0 ~ V = V 0 cosωt C I = R 2 + V 0 1 ωc 2 cos(ωt +φ) I tanφ = 1 ωcr ω = 1 Hz C = 1 F R = 1 Ω V 0 = 1 V prąd wyprzedza w fazie napięcie

3 Obwody LC Prawo Faraday a: E d l " = dφ B = L di dt dt po całym obwodzie zamkniętym Q C = L di dt d 2 Q dt 2 + Q LC = 0 Równanie równoważne równaniu oscylatora harmonicznego prostego rozwiązanie Q = Q max cos( ω 0 t +φ) Częstość kątowa drgań własnych układu ω 0 = 1 LC

4 Drgania w obwodach LC Zakładając brak strat energii na oporze (R = 0), występuje oscylacyjna wymiana energii między kondensatorem i cewką.

5 Drgania w obwodach LC

6 Obwody LC oscylacje energii Energia zmagazynowana w kondensatorze: U E = 1 2 CV 2 = Q2 C 2C = Q max 2C cos2 ω 0 t +φ Energia zmagazynowana w cewce: U B = 1 2 LI 2 = 1 2 L dq dt 2 2 = 1 2 Lω 2 2 Q 0 max sin 2 ω 0 t +φ ( ) ( ) = Q 2 max ( ) 2C sin2 ω 0 t +φ

7 Obwody RLC W rzeczywistych obwodach LC zawsze występuje strata energii na oporze R: Prawo Faraday a: E d l " = dφ B = L di dt dt po całym obwodzie zamkniętym Q C + IR = L di dt d 2 Q dt 2 + R L dq dt + Q LC = 0 Równanie równoważne równaniu tłumionego oscylatora harmonicznego rozwiązanie Przy relatywnie słabym tłumieniu częstość drgań układu wynosi Q = Q max e Rt 2 L cosωt ω = 1 LC R 2L 2

8 Obwody RLC słabe drgania tłumione Q max Q 0 Q = Q max e Rt 2 L cosωt ω = Q max e Rt 2 L Q max e Rt 2 L obwiednia amplitudy 1 LC R 2L Słuszne przy warunku: 2 R 2 < 4L C

9 Obwody RLC krytyczne i silne drgania tłumione Q = Q max e Rt 2 L ω = 1 LC R 2L 2 Słabe tłumienie: Tłumienie krytyczne: R 2 < 4L C Silne tłumienie: R 2 > 4L C R 2 = 4L C, dla większych R oscylacje nie występują Q Q max 1 silne tłumienie 2 krytyczne tłumienie 3 słabe tłumienie

10 Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego V = V 0 cosωt Prawo Faraday a: E d l " = dφ B = L di dt dt po całym obwodzie zamkniętym d 2 Q dt 2 + R L dq dt + Q LC = V 0 cosωt Równanie równoważne równaniu tłumionego oscylatora harmonicznego z siłą wymuszającą Rozwiązanie stacjonarne na natężenie prądu: I = dq/dt I = V 0 R 2 + ω L 1 ωc 2 cos(ωt φ) tanφ = ω L 1 ωc Reaktancja: R Χ = ω L 1 Impedancja: Z = R ωc 2 + Χ 2

11 Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego φ > 0 ω L > 1 ωc Prąd jest opóźniony względem napięcia źródła (wpływ indukcyjności) φ < 0 ω L < 1 ωc Prąd wyprzedza w fazie napięcie źródła (wpływ pojemności)

12 Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego I = V 0 R 2 + ω L 1 ωc cos(ωt φ) 2 tanφ = ω L 1 ωc R I max Prąd I max osiąga wartość maksymalną V 0 / R dla częstotliwości: ω = 1 LC Dla częstotliwości rezonansowej: Χ = 0,Z = R, φ = 0 prąd i napięcie są w fazie

13 I max Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego ω 0 I max 0 wpływ pojemności ω I max 0 wpływ indukcyjności I max T = 2π ω t ω = 1 LC I = V 0 max R rezonans V 0 R I max φ = 0 φ < 0 φ > 0 1 LC ω

14 Dobroć obwodu RLC I max V 0 R 0.7 V 0 R Dobroć obwodu rezonansowego: Δω Q = ω def. 0 Δω Δω = R L ω 0 ω Q = 1 R L C

15 Dobroć obwodu RLC Obwody rezonansowe są używane do selektywnego wybierania sygnałów o danej częstotliwości. Jeśli dobroć obwodu jest wysoka, to oznacza, że obwód ma wyższą selektywność częstotliwości rezonansowej. Wykorzystuje się to w odbiornikach radiowych do wyboru konkretnej stacji radiowej, nadającej sygnał na określonej częstotliwości nośnej. Fale radiowe wysyłane na częstotliwościach nośnych są modulowane amplitudowo (AM). W modulacji zakodowana jest informacja (głos spikera radiowego, muzyka).

16 Równania Maxwella

17 Równania Maxwella Prawo Gaussa dla pola elektrycznego Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz (Q wew ) obszaru ograniczonego tą powierzchnią i podzielonego przez przenikalność dielektryczną próżni (ε 0 ). φ E = " zamknieta powierzchnia E d A = Q wew ε 0 Strumień pola elektrycznego jest taki sam dla wszystkich zaznaczonych powierzchni

18 Równania Maxwella Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą zawsze jest równy zeru Monopole magnetyczne nie istnieją φ B = zamknieta powierzchnia B d A = " 0 Strumień pola magnetycznego przez wszystkie powierzchnie zamknięte wynosi zero

19 Równania Maxwella Prawo Faraday a Zmienny w czasie strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię otwartą indukuje siłę elektromotoryczną w konturze ograniczającym tę powierzchnię. Innymi słowy zmienne w czasie pole magnetyczne indukuje wirowe pole elektryczne. E d l " = d dt po konturze zamknietym powierzchnia ograniczona konturem dl B d A dl

20 Równania Maxwella Prawo Ampera + poprawka Maxwella Prąd elektryczny indukuje wirowe pole magnetyczne. B d l " = µ 0 I +... po konturze zamknietym Maxwell doszedł do wniosku, że w tym równaniu czegoś brakuje. Kontur zamknięty złożony z małych odcinków o długości Δl Powierzchnia ograniczona konturem

21 Równania Maxwella Prawo Ampera + prąd przesunięcia Prąd elektryczny oraz zmienny strumień pola elektrycznego indukują wirowe pole magnetyczne. po konturze zamknietym B d l " = µ 0 (I + ε 0 d prąd przewodzenia dt E d A ) powierzchnia otwarta prąd przesunięcia B d l " = µ 0 (I + I przesuniecia ) I przesuniecia = ε 0 d dt powierzchnia otwarta E d A

22 " zamknieta powierzchnia zamknieta powierzchnia E d A = B d A = " 0 Równania Maxwella Q wew ε 0 ε r E d l " = d dt po konturze zamknietym powierzchnia otwarta B d A po konturze zamknietym B d l " = µ 0 µ r (I + ε 0 ε r d dt E d A ) powierzchnia otwarta względne przenikalności elektryczna i magnetyczna: ε r,µ r dodane do równań by uwzględnić obecność materii