DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY

Transkrypt

1 DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad /016, zima 1

2 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia naprężenie to siła odkształcająca odniesiona do jednostki pola powierzchni, na jaką działa naprężenie (moduł sprężystości) (odkształcenie) gdy próbka powraca do pierwotnych wymiarów po usunięciu naprężenia wyklad /016, zima

3 Rozciąganie i ściskanie Przedmiot: Fizyka F Naprężenie σ definiuje się jako: σ S gdzie F jest wartością siły przyłożonej do ciała w miejscu, w którym ciało ma pole S przekroju prostopadłego do kierunku działania siły Miarą odkształcenia jest wielkość bezwymiarowa L/L względna zmiana długości W granicach sprężystości czyli dla małych odkształceń obowiązuje prawo Hooke a E- moduł Younga F S ΔL E L wyklad /016, zima 3

4 Materiał Gęstość ρ (kg/cm 3 ) Moduł Younga E (10 9 N/m ) Naprężenie niszczące (10 6 N/m ) Przedmiot: Fizyka Wybrane własności sprężyste pewnych materiałów Granice sprężystości (10 6 N/m ) Stal a Al Beton c b - Kość b 170 b - a stal konstrukcyjna ASTM-A36, b przy ściskaniu, c o dużej wytrzymałości wyklad /016, zima 4

5 Naprężenie ścinające Przedmiot: Fizyka W przypadku odkształcenia poprzecznego (ścinania) naprężenie σ definiuje się również jako: F σ S ale siła działa równolegle do powierzchni S Miarą odkształcenia jest wielkość bezwymiarowa x/l F S G Δx L moduł ścinania wyklad /016, zima 5

6 Naprężenie objętościowe Przedmiot: Fizyka Naprężeniem jest ciśnienie p cieczy p F S Jednostką ciśnienia jest 1 Pa 1N/m Miarą odkształcenia jest względna zmiana objętości V/V ΔV K - moduł sprężystości p K V objętościowej lub moduł ściśliwości wyklad /016, zima 6

7 Przykład 1 Na dnie Oceanu Spokojnego, którego średnia głębokość jest równa około 4000 m, panuje ciśnienie 4, N/m. Ile wynosi, związana z tym ciśnieniem, względna zmiana objętości V/V wody a ile kulki wykonanej ze stali? Moduł ściśliwości wynosi, 10 9 N/m dla wody, a dla stali N/m. Rozwiązanie: ΔV V p K 7 dla wody ΔV ,8% 9 V, 10 dla kuli stalowej ΔV V ,05% wyklad /016, zima 7

8 Oscylator harmoniczny siła harmoniczna F kx siła F proporcjonalna do wychylenia x z położenia równowagi zwrot siły: do położenia równowagi F S ΔL E k ES / L L k k k k Przedmiot: Fizyka Tylko dla małych wychyleń x z położenia równowagi!!! wyklad /016, zima 8

9 Równanie ruchu otrzymujemy z II zasady dynamiki Newtona F ma wyp otrzymujemy ogólne równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego równanie drugiego rzędu o stałych współczynnikach, jednorodne d x m F wyp porównując i przekształcając wyklad /016, zima 9 d x m + kx Po podzieleniu przez m, przyjmując, że ω o mamy d x + ω x 0 k m F o kx 0

10 Przypomnienie: Równanie oscylatora harmonicznego d x m + kx 0 wyprowadziliśmy również z zasady zachowania energii mechanicznej wyklad /016, zima 10

11 oscylator harmoniczny prosty (bez tłumienia i bez wymuszenia) d x + ωo x 0 częstość drgań własnych Częstość drgań własnych zależy wyłącznie od parametrów układu drgającego. Dla układu masa m sprężyna o stałej sprężystości k: ω k o m Wzór ten pozwala zawsze określić okres drgań T T π ω wyklad /016, zima 11 o π m k

12 Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego prostego π ω czas t π ω π ω Okres ruchu T czas, w jakim wykonywane jest jedno pełne drganie T 1 ν Przedmiot: Fizyka x(t) xm cos( ωt + ϕ) wychylenie z położenia równowagi amplituda faza częstość faza początkowa Amplituda wartość bezwzględna maksymalnego wychylenia z położenia równowagi częstotliwość liczba drgań (cykli) na sekundę (jednostka 1Hz) wyklad /016, zima 1

13 Prędkość w ruchu harmonicznym dx(t) d v(t) m ϕ ( x cos( ωt + )) v(t) xmωsin( ωt + ϕ) π ω π ω π ω Przyspieszenie dv(t) d a(t) xmωsin( ωt + ϕ) a(t) x m ( ) ω cos( ωt + ϕ) czas t wyklad /016, zima 13 a ω W ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia ale ma przeciwny znak x

14 Sprawdzenie czy proponowana funkcja x(t) xm cos( ωt + ϕ) jest rozwiązaniem równania ogólnego: d x + ωo x 0 Należy podstawić: d x a ω x do równania ogólnego Otrzymujemy: ω x + ω x 0 o z czego wynika, że Częstość drgań ω prostego oscylatora harmonicznego jest ω ω o równa częstości drgań własnych ω o wyklad /016, zima 14

15 Siła w ruchu harmonicznym przyspieszenie a ω x Z II zasady dynamiki: F wyp ma mω x ale siła harmoniczna: F kx k mω Wiemy, że ω o k m czyli jeszcze raz: ω ωo wyklad /016, zima 15

16 wyklad /016, zima 16 Przedmiot: Fizyka Energia w ruchu harmonicznym energia potencjalna sprężystości energia kinetyczna x k E p ) t ( cos kx 1 E m p ϕ + ω v m E k ) t ( sin x m 1 E m k ϕ + ω ω

17 Całkowita energia w ruchu harmonicznym E E p + E k 1 kx m cos ( ωt + ϕ) + 1 mω x m sin ( ωt + ϕ) ale k mω czyli E 1 kx ( cos ( t ) sin ( t )) ω + ϕ + ω + ϕ kx const m m 1 Całkowita energia mechaniczna prostego oscylatora harmonicznego jest zachowana wyklad /016, zima 17

18 Zależność energii oscylatora od wychylenia z położenia równowagi E p E x k E parabola k E p odwrócona parabola wyklad /016, zima 18 E E k k 1 1 kx m k(x m 1 x kx )

19 Przy przechodzeniu przez położenie równowagi: prędkość jest największa przyspieszenie wynosi zero siła wynosi zero energia kinetyczna jest największa Przy maksymalnym wychyleniu z położenia równowagi: prędkość wynosi zero i zmienia znak przyspieszenie jest największe siła jest maksymalna energia potencjalna jest największa wyklad /016, zima 19

20 PRZYKŁADY OSCYLATORÓW HARMONICZNYCH wyklad /016, zima 0

21 Wahadło torsyjne τ κθ moment kierujący κ zależy od długości, średnicy i materiału z jakiego wykonano drut I d θ τ równanie ruchu z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wyklad /016, zima 1

22 Wahadło torsyjne I d θ κθ d I θ + κθ 0 d θ + κ I θ 0 d θ o + ω θ 0 równanie oscylatora harmonicznego wyklad /016, zima ω o κ I

23 Wahadło torsyjne ω o κ I T π ω o π I κ okres drgań wahadła torsyjnego wyklad /016, zima 3

24 Wahadło torsyjne służy do wyznaczania momentu bezwładności brył o dowolnych nieregularnych kształtach Przykład. Na rysunku przedstawiono cienki pręt o o długości L1,4 cm i masie m135 g zawieszony w środku na długim drucie. Zmierzony okres T a drgań torsyjnych pręta wynosi,53 s. Następnie na tym samym drucie zawieszono ciało X o nieregularnym kształcie i zmierzono okres T b, który wynosi 4,76 s. Wyznaczyć moment bezwładności ciała X względem osi, wokół której zachodzą drgania. Dane: L1,4 cm0,14 m m135 g 0,135 kg T a,53 s T b 4,76 s Szukane: I b wyklad /016, zima 4

25 Rozwiązanie: Okres drgań wahadła torsyjnego z prętem: T a Ia π κ Okres drgań wahadła torsyjnego z ciałem X: T b Ib π κ Szukany moment bezwładności: T 1 T I b Ia ml T 1 T b a b a wyklad /016, zima 5 I b Odpowiedź: 6, kg m

26 Wahadło matematyczne Ruch powoduje moment siły ciężkości: τ L(F g sin θ) Lmgsin θ znak minus oznacza, że moment siły powoduje zmniejszenie kąta θ Korzystając z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: I-moment bezwładności wahadła względem punktu zawieszenia τ Iε I d θ wyklad /016, zima 6

27 Wahadło matematyczne Zakładamy, że kąt θ jest mały (małe drgania) czyli sin θ θ: Lmgθ wyklad /016, zima 7 τ Równanie oscylatora harmonicznego: Częstość drgań: d I θ + ω o Lmg θ Lmg I 0

28 Wahadło matematyczne ω o Lmg I ale I ml Częstość nie zależy od masy ω o g L Okres T nie zależy od masy T π L g wzór prawdziwy dla małej amplitudy drgań wyklad /016, zima 8

29 Wahadłem fizycznym jest każda bryła sztywna w ruchu drgającym Wahadło fizyczne τ mghsin θ d θ IO mgh sin θ dla małych kątów θ d θ O + mghθ I 0 ω o mgh I O I śm mgh + mh wyklad /016, zima 9

30 Wahadło fizyczne Przedmiot: Fizyka Wahadło fizyczne służy do wyznaczania przyspieszenia grawitacyjnego g w różnych miejscach na Ziemi i nie tylko T π I mh mgh śm + Przykład 3. Przymiar metrowy wykonuje drgania wokół punktu zawieszenia O, znajdującego się na jednym z jego końców, w odległości h od jego środka masy C jak na rysunku. Mierząc okres drgań T, wyznaczyć przyspieszenie g w tym punkcie na Ziemi. Rozwiązanie: T π I 1 3 śm mg ml L 1 1 ml g wyklad /016, zima 30 h 8 L π 3 T L

31 T π L 3 g Wahadło fizyczne Każdemu wahadłu fizycznemu, drgającemu wokół danego punktu zawieszenia O z okresem T odpowiada wahadło matematyczne o długości L o drgające z tym samym okresem T. Wielkość L o nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. Punkt znajdujący się w odległości L o od punktu zawieszenia O nazywamy środkiem wahań wahadła fizycznego dla danego punktu zawieszenia. Przykład 4. Znaleźć długość zredukowaną wahadła z poprzedniego przykładu i wyznaczyć środek wahań. czyli L o 3 L środek wahań znajduje się w punkcie P wyklad /016, zima 31

32 ZADANIE DOMOWE 10.1 Przedmiot: Fizyka Na rysunku przedstawiono pingwina skaczącego do wody z trampoliny mającej postać jednorodnej wąskiej deski, której lewy koniec jest zamocowany na zawiasie, a prawy jest oparty na sprężynie. Deska ma długość Lm i masę m1 kg; stała sprężystości k wynosi 1300 N/m. Gdy pingwin skacze do wody, deska i sprężyna zaczynają wykonywać drgania o małej amplitudzie. Zakładamy, że deska jest wystarczająco sztywna by się nie uginać. Wyznaczyć okres T drgań. HRW, wyklad /016, zima 3

33 -kx V Oscylator harmoniczny tłumiony F o Siła oporu siła Stokesa stała tłumienia siła wypadkowa F bv o F w z II zasady dynamiki czyli ma bv bv wyklad /016, zima 33 d x m bv kx kx kx

34 d x Przedmiot: Fizyka Równanie ogólne oscylatora harmonicznego tłumionego d x dx m b kx d x 1 dx τ b dx k + + x ωox 0 m m τ β b m 1 β m b lub czas relaksacji d x dx + β + ωox wyklad /016, zima 34 współczynnik tłumienia 0

35 Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego tłumionego d + + ωo x dx β x 0 Dla małych wartości współczynnika tłumienia, proponujemy rozwiązanie periodyczne, w którym amplituda oscylacji maleje wykładniczo z czasem x(t) e βt z(t) a z(t) jest rozwiązaniem prostego oscylatora harmonicznego wyklad /016, zima 35

36 βt Sprawdzamy, czy funkcja x(t) e z(t) jest rozwiązaniem równania dx d x d + + ωo x dx β x 0 dz z &(t) βt βt βe z(t) + e z(t) & β e βt z βe βt z(t) & + e βt && z Umowa: && z (t) d z Użyteczne twierdzenie: ( fg )'' f ''g + f 'g' + fg' ' && z + ( ω β ) z 0 o ω Jest to równanie oscylatora harmonicznego prostego gdy wtedy z(t) Acos t ω ( ω + φ) ω o β wyklad /016, zima 36

37 Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego tłumionego x(t) bt xm exp cos t m amplituda zależna od czasu ( ω + φ) ω ω o β ω o b m częstość drgań różna od częstości drgań własnych i zależna od tłumienia tlumiony-.xls wyklad /016, zima 37

38 Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego tłumionego w postaci periodycznej x(t) Aexp( βt)cos( ωt + φ) jest możliwe tylko dla małych tłumień, tzn. gdy β< ω o ze względu na warunek ω ω o β > 0 Przypadek β ωo nazywamy krytycznym Dla β> ωo mamy rozwiązanie aperiodyczne wyklad /016, zima 38

39 A(t) Logarytmiczny dekrement tłumienia x m bt exp m A o bt exp m wyklad /016, zima 39 A o A(t Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ jest to logarytm naturalny ze stosunku kolejnych amplitud A(t + T) Λ ln A(t) A Λ ln A ln e n n+ 1 β(t+ T) e βt βt 0) β współczynnik tłumienia b m

40 ZADANIE DOMOWE 10. Zastanowić się nad interpretacją fizyczną czasu relaksacji. Obliczyć ile razy zmaleje amplituda drgań oscylatora tłumionego w stosunku do amplitudy początkowej w czasie równym czasowi relaksacji. wyklad /016, zima 40

41 Straty mocy a współczynnik dobroci Q Współczynnik dobroci Q układu drgającego jest to z definicji iloczyn π i stosunku energii zmagazynowanej do średniej energii traconej w jednym okresie T energia zmagazynowana Q π < energia tracona w T > Dla słabo tłumionego oscylatora harmonicznego Q ω o Wielkość ω o τ lub Q jest odpowiednią miarą braku tłumienia oscylatora. Duże ω o τ lub duże Q oznacza, że oscylator jest słabo tłumiony, np. dla struny fortepianu Q 10 3, dla atomu wzbudzonego Q 10 7 wyklad /016, zima 41 τ

42 ZADANIE DOMOWE 10.3 W jakim czasie energia oscylatora harmonicznego tłumionego zmniejsza się do e -1 swej wartości początkowej? Ile pełnych drgań wykona w tym czasie oscylator? wyklad /016, zima 4

43 Oscylator harmoniczny z wymuszeniem - rezonans Zakładamy periodyczne wymuszenie w postaci siły wymuszającej danej jako: ( t) F(t) Fo sin ω częstość wymuszenia Równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem i wymuszeniem ma postać: d x m + b dx + kx F o sin( ωt) wyklad /016, zima 43

44 Oscylator harmoniczny z wymuszeniem cd. lub po podzieleniu przez masę: d x + b m dx + k m x Fo m sin( ωt) i wprowadzeniu standardowych oznaczeń: d x + 1 dx τ + ω o x α 0 sin( ωt) W stanie ustalonym drgania oscylatora zachodzą z częstością wymuszenia ω wyklad /016, zima 44

45 Oscylator harmoniczny z wymuszeniem cd. Rozwiązaniem równania: d x 1 dx + + ωox α0 sin( ωt) τ jest: x(t) xo( ω)sin( ωt + ϕ( ω)) Otrzymujemy drgania niegasnące, jak dla prostego oscylatora harmonicznego, o amplitudzie niezależnej od czasu, ale amplituda x o jest funkcją częstości wymuszenia przesunięcie fazowe nie jest dowolną stałą lecz jest również ściśle określone przez częstość wymuszenia wyklad /016, zima 45

46 Przesunięcie fazowe φ(ω) mówi nam, o jaki kąt maksimum przemieszczenia x wyprzedza maksimum siły wymuszającej F. x(t) xo( ω)sin( ωt + ϕ( ω)) F(t) Fo sin( ωt) 1,50 1,00 x φ-π/ 0,50 Sila 0,00 0,00 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 Serie1 Serie -0,50-1,00-1,50 wymuszony.xls wyklad /016, zima 46

47 Można pokazać, że: amplituda drgań x o ( ) ( ) ) ω ω + ω / τ 1 o α o przesunięcie fazowe tgϕ ω / ω o τ ω zależą w określony sposób od częstości drgań wymuszony.xls wyklad /016, zima 47

48 Rezonans występuje amplituda osiąga wartość maksymalną co w praktyce oznacza gdy częstość wymuszenia zbliża się do częstości drgań własnych α o x o ω ω + ω / τ 1 x o ( ) ( ) ) o Położenie maksimum amplitudy wychylenia x o zależy od tłumienia ω/ω o wyklad /016, zima 48

49 Przykład 5. Znaleźć warunek rezonansu w przypadku gdy: a) rozważamy maksymalną amplitudę wychylenia x max, b) rozważamy maksymalną amplitudę prędkości v max. Rozwiązanie: dx o dω a) d d? x o ( ) ( ) ) ω ω + ω / τ 1 o ω rez ωo ω τ wyklad /016, zima 49 α o Wystarczy znaleźć minimum mianownika d dω f ( ω rez ) f ( ω) f ( ω) 0 ( ) ω ω + ( ω τ) o / ( ) ( ω ω ( ω) + ω τ ) o / dla 1

50 ω rez ω o 1 τ Częstość rezonansu w przypadku (a) zależy od współczynnika tłumienia Gdy τ tzn. przy braku tłumienia: ω ω rez o Amplituda drgań x o α o ( ω rez ) 1 ( ) ( ) ) ω ω + ω / τ o 0 wyklad /016, zima 50

51 b) amplituda prędkości x(t) xo( ω)sin( ωt + ϕ( ω)) d v(t) x(t) ωxo( ω)cos( ωt + ϕ( ω)) v max ωx o ( ω) v max ( ) ( ) ) ω ω + ω / τ 1 o ωα o dv max dω? wyklad /016, zima 51

52 ZADANIE DOMOWE 10.4 dv max dω Znaleźć Pokazać, że częstość, przy której występuje maksimum amplitudy prędkości jest równa częstości drgań własnych, niezależnie od tłumienia. wyklad /016, zima 5

53 Kiedy obserwujemy rezonans tego typu? Przedmiot: Fizyka Najczęściej w obwodach LRC, mierząc natężenie w obwodzie. Oscylator mechaniczny Obwód LRC wychylenie z położenia równowagi, x ładunek elektryczny, q prędkość vdx/ natężenie prądu idq/ masa, m indukcyjność, L stała sprężystości, k odwrotność pojemności, 1/C stała tłumienia, b rezystancja, R siła, F napięcie, U wyklad /016, zima 53

54 Krzywa rezonansowa dla amplitudy prędkości Położenie maksimum krzywej rezonansowej dla amplitudy natężenia prądu i o nie zależy od tłumienia (oporu) R wyklad /016, zima 54

55 Składanie drgań harmonicznych zachodzących w tym samym kierunku x 1 (t)a 1 cos(ω 1 t+φ 1 ) x (t)a cos(ω t+φ ) x w (t)x 1 (t)+x (t) zachodzących w kierunkach wzajemnie prostopadłych x(t)a x cos(ω x t+φ x ) y(t)a y cos(ω y t+φ y ) krzywa y(x) wyklad /016, zima 55

56 Wygaszanie i wzmacnianie drgań zachodzących w jednym kierunku Załóżmy: (t) Acos( ωt) (t) Acos( ωt + ϕ) x 1 x drgania o tej samej amplitudzie A zachodzą z tą samą częstością ω, lecz mogą być przesunięte w fazie o φ W wyniku złożenia otrzymujemy: x wyp x1(t) + x(t) Acos ϕ cos( ωt + ϕ ) drgania o amplitudzie zależnej od φ wyklad /016, zima 56

57 x wyp x1(t) + x(t) Acos ϕ cos( ωt + ϕ ) dla φπ, x wyp 0 całkowite wygaszenie drgań dla φπ, x wyp A cos (ωt) dwukrotny wzrost amplitudy drgań - wzmocnienie wyklad /016, zima 57

58 Dudnienia Nakładanie się drgań o bardzo zbliżonych częstościach (t) y 1 y (t) A sin( ω + A sin( ω Δω )t Δω )t Przedmiot: Fizyka Δω Δω y1 + y A sin( ω )t + sin( ω + ) t y Korzystając ze wzoru trygonometrycznego: Otrzymujemy: sin( α y + β) sin wyklad /016, zima 58 α cos β + Δω A cos( t)sin ωt cos α sin drgania o modulowanej amplitudzie β

59 Składanie drgań harmonicznych w kierunkach wzajemnie prostopadłych Krzywe Lissajous Jules Antoine Lissajous ( ) po raz pierwszy zademonstrował krzywe w roku 1857 Przykład 6. Znaleźć wynik złożenia drgań prostopadłych opisanych równaniami: x(t) A x sin ωt y(t) A y sin( ωt + ϕ) gdy: φ0, φ90 o, φ180 o liss-prez.xls wyklad /016, zima 59

60 y(t) Elipsa jest wynikiem złożenia drgań: A y(t) y x(t) A x sin ωt A y sin( ωt + x(t) A x sin ωt sin( ωt + π ) A y π ) Rozwiązanie analityczne: cos( ωt) x (t) y (t) x (t) y (t) sin ωt cos ωt + 1 A A A A x y wyklad /016, zima 60 x y równanie elipsy

61 PODSUMOWANIE Oscylator harmoniczny: małe drgania (mała amplituda drgań) oraz małe tłumienia Energia jest zachowana jeśli nie ma tłumienia Tłumienie powoduje spadek amplitudy w funkcji czasu i straty energii Oscylator wymuszony charakteryzuje się amplitudą zależną od częstości wymuszenia i może wykazywać rezonansowy wzrost amplitudy wyklad /016, zima 61