cx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało.

Transkrypt

1 Drgania układu o jedny sopniu swobody Rozparzy układ składający się z ciała o asie połączonego z nierucoy podłoże za poocą eleenu sprężysego o współczynniku szywności k oraz eleenu łuiącego o współczynniku łuienia c. Układ aki nazyway oscylaore aroniczny. Na ciało o działa siła aroniczna P( ) P sin gdzie: apliuda siły częsość kołowa (częsość) siły wyuszającej. Poijay siłę arcia oraz zakładay że k oraz c są sałe. P k S T P c Oscylaor aroniczny Rozważany układ a jeden sopień swobody a jego równanie dynaiki a posać P S T (4.8) gdzie: S k siła z jaką eleen sprężysy działa na rozparywane ciało T c siła z jaką eleen łuiący działa na o ciało. Prof. Edund Wibrod

2 Przykłady układów drgającyc o sopniu swobody Rys. Rys. Prof. Edund Wibrod

3 Rys. 3 Rys. 4 Rys. 5 Prof. Edund Wibrod

4 Równanie (4.8) ożna zapisać w posaci c k P sin (4.9) lub po obusronny podzieleniu przez w posaci P sin (4.) gdzie: c k. c Sałą nazyway współczynnikie łuienia względnego zaś własnyc niełuionyc układu. k częsością kołową (częsością) drgań Rozwiązanie równania (4.) jes sua dwóc całek całki ogólnej j. rozwiązania równania jednorodnego oraz całki szczególnej zależnej od ypu funkcji wyuszenia. Prof. Edund Wibrod

5 Równanie jednorodne na podsawie po przyjęciu prawej srony równej zero a posać. (4.) Opisuje ono zacowanie się układu gdy na ciało nie działa siła P() j. P() =. Takie drgania nazyway drganiai własnyi łuionyi (swobodnyi) układu. Rozwiązanie równania (4.) zakłada się w posaci funkcji wykładniczej podsawieniu przyjęej funkcji do (4.) orzyujey r e gdzie: r sała czas. Po r ( r r )e. (4.) Równanie o jes spełnione wedy i ylko wedy gdy wyrażenie w nawiasie jes równe zero r r. (4.3) Równanie (4.3) nazyway równanie carakerysyczny równania różniczkowego (4.). Jego rozwiązaniai są dwa pierwiaski r i (4.4) / gdzie: częsość kołowa (częsość) drgań własnyc łuionyc (na ogół łuienie jes ałe sąd zakładay ) i jednoska urojona. Prof. Edund Wibrod

6 Osaecznie całkę ogólną ożey zapisać w posaci C e r C e r C e ( i ) C e ( i ) C e sin( ) (4.5) gdzie C φ sałe całkowania. Sałe całkowania określay z warunków począkowyc. Dla przyjujey: v skąd orzyujey układ równań: v C sin C sin cos (4.6) a po jego rozwiązaniu: C v arcg. v (4.7) Zae całka ogólna (4.5) a posać sinusoidy o alejącej wykładniczo w czasie apliudzie co zapisujey sin A (4.8) gdzie: A( ) v e apliuda drgań swobodnyc. Prof. Edund Wibrod

7 Wykres funkcji (4.8) przedsawiono na rysunku poniżej. Przedsawia on przebieg drgań swobodnyc układu o jedny sopniu swobody wyuszonyc niezerowyi warunkai począkowyi. Mają one caraker pseudookresowy a ic pseudookres wynosi T. (4.9) Przebieg przeieszczeń oscylaora podczas drgań własnyc łuionyc Prof. Edund Wibrod

8 Apliuda yc drgań aleje y szybciej i większy jes współczynnik łuienia. Sosunek dwóc kolejnyc aksyalnyc wycyleń obliczay A( ) A( T ) e e ( T ) e T e. (4.) Logary nauralny ego sosunku nosi nazwę logaryicznego dekreenu łuienia i jes on równy ln cons. (4.) Logaryiczny dekreen łuienia a warość sałą niezależną od czasu. Maksyalne wycylenia aleją więc według posępu geoerycznego y szybciej i większy jes współczynnik łuienia. Prof. Edund Wibrod

9 W przypadku braku łuienia j. gdy c = a y say = ay do czynienia z drganiai własnyi niełuionyi. Ic przebieg na podsawie (4.8) opisuje funkcja Asin( ) (4.) gdzie: A v cons arcg v. Przebieg drgań własnyc niełuionyc wywołanyc niezerowyi warunkai począkowyi przedsawiono na poniższy rysunku. T A Przebieg przeieszczeń oscylaora podczas drgań własnyc niełuionyc Prof. Edund Wibrod

10 Przykład: = = 773 = 495 = 5 sąd obliczony okres drgań wynosi Podczas badań (poiarów) zaobserwowano około 35 cykli drgań w czasie s czyli częsoliwość Zae zierzony okres drgań wynosi Prof. Edund Wibrod

11 P Całkę szczególną równania (4.) przy wyuszeniu układu siłą w posaci funkcji aronicznej P( ) sin dla rozparywanego układu liniowego zakładay również w posaci funkcji aronicznej o ej saej częsości kołowej (a y say i okresie) a różniącej się apliudą i przesunięą w fazie Bsin( ) (4.3) gdzie: B apliuda drgań wyuszonyc faza. Po dwukrony zróżniczkowaniu względe czasu (4.3) i podsawieniu do (4.) orzyujey P B( ) sin( ) B cos( ) sin. (4.4) Uwzględniając zależności rygonoeryczne sin( ) sin cos cos sin orzyujey cos( ) cos cos sin sin P cos sin sin sin cos cos sin Prof. Edund Wibrod

12 Prof. Edund Wibrod Sałe B oraz ψ orzyujey z rozwiązania układu równań: sin cos P B. cos sin B Z drugiego równania określay g (4.5) naoias podnosząc obydwa równania do kwadrau i dodając sronai orzyujey 4 P B skąd. 4 P B (4.6) Zae osaecznie całka szczególna równania (4.) a posać ). sin( 4 P (4.7)

13 Biorąc pod uwagę zarówno całkę ogólną jak i całkę szczególną orzyujey Ae sin( ) Bsin( ) (4.8) gdzie: B P 4 arcg naoias sałe A i φ obliczay z warunków począkowyc. Dla przyjujey: v skąd orzyujey układ równań: v A Asin Bsin sin cos B cos (4.9) a po jego rozwiązaniu: A arcg v v B sin B cos Bsin Bsin. Bsin B cos (4.3) Prof. Edund Wibrod

14 Rozwiązanie (4.8) sanowi suę dwóc ruców. Pierwszy odbywający się z częsością sanowią drgania swobodne wynikające z niezerowyc warunków począkowyc. Ruc en po sosunkowo króki czasie zanika i ożna go poinąć. Drugi ruc odbywający się z częsością sanowi odpowiedź układu na aroniczną siłę wyuszającą. Są o drgania wyuszone usalone. Przebieg przeieszczeń oscylaora podczas drgań wyuszonyc aronicznie Prof. Edund Wibrod

15 Prof. Edund Wibrod W prakyce najczęściej poija się fragen związany z drganiai nieusalonyi i pod uwagę bierze się ylko drgania usalone układu. Drgania usalone opisują równania: ) ( sin ) ( ) ( sin 4 P s (4.3) arcg arcg (4.3) gdzie: P s. Jak widać z powyższyc równań zarówno apliuda drgań usalonyc jak i ic faza zależą od częsości wyuszenia oraz od warości współczynnika łuienia przedsawiono na poniższy rysunku.

16 Krzywe przedsawione na poniższy rysunku noszą nazwę krzywyc rezonansowyc (apliudowa i fazowa). Apliuda drgań rośnie do bardzo dużyc warości (nawe do nieskończoności przy braku łuienia) wraz ze wzrose częsości wyuszenia do częsości drgań własnyc a poe aleje do zera. Zjawisko wzrosu apliudy drgań w pobliżu częsości drgań własnyc nosi nazwę rezonansu ecanicznego. Krzywe rezonansowe najczęściej noruje się w en sposób że na osi odcięej znajduje się prędkość względna zaś na osi rzędnyc apliuda względna B s ( ) Krzywe rezonansowe: apliudowa i fazowa Prof. Edund Wibrod

17 Jeżeli apliuda siły działającej na asę zienia się z kwadrae prędkości częsości kołowej (a caraker siły odśrodkowej) P r o r sin ( ) sin ( ( ) ( ) ) (4.33) ( ) r Carakerysyka apliudowa układu o sopniu swobody wyuszanego siłą o apliudzie proporcjonalnej do kwadrau częsości kołowej wyuszenia Prof. Edund Wibrod