RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin

Transkrypt

1 RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika Opolska Opole University of Technology Wydział InżynierIi Produkcji i Logistyki Faculty of Production Engineering and Logistics

2 RUCH HARMONICZNY Ruch okresowy (periodyczny) - ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu. Jeżeli punkt materialny porusza się tam i z powrotem (ruchem okresowym) po tej samej drodze, to taki ruch nazywamy ruchem drgającym lub harmonicznym (wibracyjnym lub oscylacyjnym). Przemieszczenie w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą harmonicznych i ciągłych funkcji sinus lub cosinus. y A = r y r sin r α t t (r.j.o) y r sin t

3 RODZAJE DRGAŃ y [m] A 0 T T t [s] -A y Asin t Acos( t ) Występujące w przyrodzie drgania dzielimy na: swobodne, tłumione (obecne są siły oporu ośrodka) lub wymuszone (wywołane zewnętrzną, zmienną w czasie siłą).

4 OSCYLATOR HARMONICZNY Oscylator harmoniczny (wyidealizowany układ fizyczny) - punkt materialny (ciało) o masie m, wykonujący ruch pod wpływem proporcjonalnej do chwilowego wychylenia z położenia równowagi siły sprężystej F. II ZDN F S = k F = ma m d dt = k d dt = k m ozn. k m ω d dt = ω W ruchu harmonicznym przyspieszenie ciała, podobnie jak działająca na nie siła, jest proporcjonalne i skierowane przeciwnie do wychylenia z położenia równowagi.

5 OSCYLATOR HARMONICZNY (c.d.) d dt równanie różniczkowe (II rzędu) drgań swobodnych, gdzie niewiadomą jest funkcja (t) położenia w funkcji czasu: UWAGA!!! w chwili t = 0 wszystkie te funkcje zależą tylko od fazy początkowej drgań φ, a amplituda A drgań swobodnych układu nie zależy od czasu i jest stała. sin t = A cos ωt + φ d dt = A d dt cos ωt + φ = ωa sin ωt + φ d dt = ωa d dt sin ωt + φ = ω A cos ωt + φ = ω cos( t 0 )

6 OSCYLATOR HARMONICZNY (c.d.) = A cos ωt + φ przemieszczenie V == ωa sin ωt + φ prędkość a = ω A cos ωt + φ przyspieszenie

7 OSCYLATOR HARMONICZNY (c.d.) φ Acos( t ) A - amplituda drgań (ma. wychylenie z położenia równowagi); φ - faza początkowa drgań; ω - częstość kołowa (kątowa) drgań własnych układu; T T - okres drgań (czas jednego pełnego cyklu oscylacji); f 1 T 1 m k k m f - częstotliwość drgań (ilość oscylacji w jednostce czasu, wyrażana w [Hz] lub [1/s]).

8 ENERGIA OSCYLATORA HARMONICZNEGO W = Fd = k d 0 0 = k 0 = k = U = A cos ωt + φ φ U = 1 k = 1 ka cos ωt + φ E c = U ma = 1 ka K = 1 mv = 1 mω A sin ωt + φ = 1 ka sin ωt + φ K ma = 1 ka E c = K + U = 1 ka sin ωt + φ + cos ωt + φ 1 = 1 ka ~ A Podczas drgań oscylatora harmonicznego energia kinetyczna układu jest cyklicznie zamieniana w energię potencjalną. Suma tych energii E c (całkowita energia mechaniczna) jest stała i nie zależy od czasu. E c

9 WAHADŁA matematyczne fizyczne oś d l l l śm T l g punkt materialny o masie m zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l T I mgd bryła sztywna o masie m wahająca się pod wpływem siły ciężkości dookoła osi nie przechodzącej przez środek masy tej bryły

10 WAHADŁO MATEMATYCZNE Okres drgań wahadła matematycznego (proste): 7 o ma s F n st mg mg g L 4 g T L T sin sin g (sin ) L g, ( a sin n F st ) sin Przy dużych kątach wychylenia wahadła matematycznego z położenia równowagi jego ruch nie będzie już ruchem harmonicznym prostym. L ma n

11 y [m] DRGANIA TŁUMIONE y A 0 sin t, T 0 A 0 A = A 0 e βt 0 T 0 T t [s] y Asin t t, t T T T 0, t

12 DRGANIA TŁUMIONE Podczas drgań tłumionych działają siły niezachowawcze (np. siła tarcia, siły oporu ośrodka), a energia mechaniczna układu maleje. Siła tłumiąca jest proporcjonalna do prędkości ciała i przeciwnie do niej skierowana. b - stała (współczynnik oporu) F t = bv F = k bv = ma m d d + b dt dt + k = 0 A e 0 b t m cos( t t ) 0 t t k m b m Amplituda drgań tłumionych maleje wykładniczo w czasie (A = A 0 e -βt )

13 Pulsacja drgań tłumionych ω t jest mniejsza niż pulsacja drgań swobodnych: β - współczynnik tłumienia ω - częstość drgań własnych (a) drgania harmoniczne tłumione (b) tłumienie krytyczne (ruch pełzający krytyczny) (c) aperiodyczny powrót do stanu równowagi (ruch pełzający) DRGANIA TŁUMIONE (c.d.) m b m b m k t t

14 DRGANIA WYMUSZONE Podczas drgań wymuszonych ubytek energii mechanicznej wskutek tarcia jest kompensowany przez cykliczne dostarczanie energii przez zmienną siłę zewnętrzną. Siłę tę nazywamy siłą wymuszającą. F w = F 0 cos Ωt F = F S + F t + F w F = k bv + F w = ma m d d + b dt dt + k = F 0 cos Ωt Acos( t ) rez β 0 = 0 (Ω = ω, A ) brak tłumienia β 1 małe tłumienie A m F 0 4 β duże tłumienie Φ arc tg 0 1

15 REZONANS A β 5 = 0 β 1 > β > β 3 > β 4 > β 5 β 4 rez β β 3 A rez F m 0 β 1 (ω - β 1 < 0) Ω r Ω r Ω r Ω r = ω Ω [Hz]

16 ZJAWISKO REZONANSU Rezonans - silny wzrost amplitudy przy częstości nawet niewielkiej siły wymuszającej bliskiej częstości drgań własnych układu. Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne (odbiorniki RTV) jak i negatywne (źle wyważone wirujące części maszyn). Wiatr wywołujący drgania o częstości zbliżonej do częstości własnej drgań mostu doprowadził do jego zniszczenia (Tacoma Narrows, USA 1940)

17 DRGANIA ZŁOŻONE Superpozycja drgań harmonicznych równoległych o tej samej częstotliwości Superpozycja drgań harmonicznych równoległych o różnych częstotliwościach Analiza harmoniczna drgań Dudnienia i drgania modulowane Superpozycja drgań harmonicznych wzajemnie prostopadłych Krzywe Lissajous Politechnika Opolska Opole University of Technology Wydział InżynierIi Produkcji i Logistyki Faculty of Production Engineering and Logistics

18 Drgania są równoległe, gdy zachodzą wzdłuż tej samej prostej. Superpozycja (nakładanie się) drgań równoległych - punkt materialny wykonuje jednocześnie dwa (lub więcej) drgania harmoniczne równoległe (np. wzdłuż osi ) o tej samej częstotliwości kołowej (pulsacji), lecz różniące się fazą. Drganie wypadkowe rozważanego punktu jest superpozycją jego drgań składowych, a wypadkowe wychylenie jest sumą jego wychyleń składowych. y SUPERPOZYCJA DRGAŃ RÓWNOLEGŁYCH A A o tej samej częstotliwości 1 = A 1 cos ωt + φ 1, = A cos ωt + φ = 1 + = A cos ωt + φ Δφ φ φ A 1 A = A 1 + A + A 1 A cos φ φ 1, φ = φ φ 1 p. fazowe φ 1 1 tan φ = A 1 sin φ 1 + A sin φ A 1 cos φ 1 + A cos φ

19 SUPERPOZYCJA DRGAŃ RÓWNOLEGŁYCH o tej samej częstotliwości 1 = A 1 cos ωt + φ 1 = A 1 cos φ 1 cos ωt A 1 sin φ 1 sin ωt = A cos ωt + φ = A cos φ cos ωt A sin φ sin ωt = 1 + = A 1 cos φ 1 + A cos φ A cos φ cos ωt A 1 sin φ 1 + A sin φ A sin φ sin ωt = A cos φ cos ωt A sin φ sin ωt = A cos ωt + φ A = A cos φ A sin φ = = A 1 cos φ 1 + A cos φ + A 1 sin φ 1 + A sin φ = = A 1 + A + A 1 A cos φ φ 1, φ = φ φ 1 p. fazowe tan φ = A 1 sin φ 1 + A sin φ A 1 cos φ 1 + A cos φ

20 SUPERPOZYCJA DRGAŃ RÓWNOLEGŁYCH o tej samej częstotliwości Superpozycja drgań harmonicznych równoległych, o jednakowych pulsacjach różniących się fazą, daje w wyniku drganie harmoniczne o tej samej pulsacji. Amplitudy drgań składowych dodają się, gdy ich fazy są zgodne, a odejmują się, gdy fazy są przeciwne. y Acos cost Asin sin t Acos( t ) A φ = φ φ 1 = 0 A 1 + A = A ma A f. zgodne Δφ φ φ A 1 φ 1 1 φ = φ φ 1 = π f. przeciw ne A 1 A = A min

21 SUPERPOZYCJA DRGAŃ RÓWNOLEGŁYCH W przypadku superpozycji drgań harmonicznych równoległych o różnych częstotliwościach powstaje okresowe drganie wypadkowe, które na ogół nie jest harmoniczne. Dowolne drganie okresowe może powstać przez superpozycję skończonej lub nieskończonej liczby drgań harmonicznych o częstotliwościach będących całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej (pulsacje poszczególnych drgań tworzą postęp arytmetyczny: ω, ω, 3ω,, kω). A o różnych częstotliwościach 1 cos( t 1) A cos( t )... Ak cos( kt k ) k1 Drgania składowe nazywamy kolejno pierwszym, drugim, itd. drganiem harmonicznym. Pierwsze drganie harmoniczne nazywa się także drganiem podstawowym. Okres drgania wypadkowego jest równy okresowi drgania podstawowego.

22 ANALIZA HARMONICZNA DRGAŃ Dowolne drganie okresowe (t), o okresie T jest superpozycją drgań harmonicznych i można je wyrazić szeregiem Fouriera. 1 k1 A0 ( Ak cos kt Bk sin kt), A k, B k - amplitudy poszczególnych składowych T ω ω 3ω 4ω 3 4 T T

23 przeciwfaza faza DUDNIENIA Dudnienia - okresowe zmiany amplitudy drgań złożonych w wyniku nałożenia się (superpozycji) drgań harmonicznych o niewiele różniących się pulsacjach (np. struny instrumentu muzycznego nastrojone na niewiele różniące się tony, stacje radiowe pracujące na bliskich częstotliwościach). t min T d ma

24 DRGANIA MODULOWANE 1 = A 1 cos ω 1 t = A 1 cos ω + ω t, = A cos ω t = A cos ω + ω t = A 1 cos ω 1 t + A cos ω t = A cos ω 1 t + cos ω t + A 1 A cos ω 1 t = = A cos ω 1 + ω t cos ω 1 ω t + A 1 A cos ω 1 t ω = ω 1 + ω ω 1 ω ω + ω ω + ω, = = ω A 1 A = 0 dudnienie = A cos ωt cos ωt + A 1 A cos ω + ω t = A cos ωt A cos ωt, ω = ωt = ω 1 ω ma cos ωt = 1 cos ωt = 1 dudnienia drgania modulowane (głębokość modulacji 100%) (głębokość modulacji 50%)

25 SUPERPOZYCJA DRGAŃ PROSTOPADŁYCH Drgania są prostopadłe, gdy odbywają się wzdłuż kierunków wzajemnie prostopadłych. Drganie powstałe w wyniku nałożenia się (superpozycji) drgań wzajemnie prostopadłych jest drganiem złożonym zachodzącym w płaszczyźnie y o torze ruchu punktu (przy założeniu, że ω 1 = ω = ω). = A 1 cos ωt + φ 1, y = A cos ωt + φ, φ = φ φ 1 r. faz A + y 1 A y cos φ A 1 A φ 1 = sin φ φ 1 Jednostajny ruch po okręgu (drganie kołowe) - rzut ruchu po okręgu na oś lub y daje ruch harmoniczny i odwrotnie złożenie drgań harmonicznych, zachodzących wzdłuż osi i y daje ruch po okręgu. Kiedy częstotliwości i amplitudy obydwu drgań są równe ruch wypadkowy zależnie od kształtu krzywej nosi nazwę: drgań eliptycznych (Δφ = ±1/4 π lub ±3/4 π) i kołowych (Δφ = ±1/ π lub ±3/ π) lewo lub prawoskrętnych oraz liniowych (Δφ = 0, π, ).

26 KRZYWE LISSAJOUS Złożenie drgań harmonicznych prostopadłych, daje w wyniku mniej (A 1 = A, ω 1 = ω, 0 Δφ π) lub bardziej (A 1 A, ω 1 ω, 0 Δφ π) skomplikowane krzywe, zwane krzywymi Lissajous. stosunek częstości ω 1 / ω różnica faz Δφ

27 KRZYWE LISSAJOUS Obrazy złożonych drgań harmonicznych najprościej można otrzymać za pomocą oscyloskopu - wiązka elektronów w lampie oscyloskopowej jest odchylana przez dwie pary płytek prostopadłych względem siebie w zależności od przyłożonego napięcia o określonych pulsacjach, amplitudach i fazach.