a = (2.1.3) = (2.1.4)

Transkrypt

1 . DRGANIA Fundamentalną ideą drgań są drgania harmoniczne proste. Termin harmoniczne ma informować, Ŝe funkcja opisująca drgania to funkcja typu sinus/cosinus, natomiast słowo proste Ŝe drgania nie są ani tłumione (rozdział.), ani z siłą wymuszającą (rozdział.3)..1. Drgania harmoniczne proste Zagadnienie drgań harmonicznych moŝna traktować jako szczególny przypadek dynamiki. Chodzi tu o analizę prostoliniowego ruchu masy m, na jaką działa siła proporcjonalna do współrzędnej, ale przeciwnie skierowana, co wyraŝa funkcja.1.1: F = -k x (.1.1) gdzie k = współczynnik proporcjonalności. Rys Ruch harmoniczny. Siła F nazywana jest siłą kierującą, poniewaŝ kieruje masę m do początku układu - połoŝenia równowagi. Łatwo wykazać, Ŝe w takich warunkach masa m porusza się ruchem harmonicznym. W tym celu uwzględniamy prawo dynamiki newtonowskiej (przypomnijmy je: przyśpieszenie ciała jest proporcjonalne do przyłoŝonej siły, a współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność masy tego ciała): - k x a = (.1.) m oraz definicję przyśpieszenia (rezygnuje się tutaj z zapisu wektorowego, poniewaŝ ruch odbywa się stale w tym samym kierunku wzdłuŝ którego poprowadzono współrzędną x) Z połączenia.1. i.1.3 powstaje równanie róŝniczkowe.1.4: d x a = (.1.3) dt d x - k x = (.1.4) dt m MoŜna zapisać w postaci sumy, której składniki wyraŝają siły.1.5: d x m k x 0 dt + = (.1.5) Pierwszy składnik w wyraŝeniu.1.5 to siła bezwładnościowa (siłą pozorna wynikająca z ruchu zmiennego masy m), drugi siła zewnętrzna (rzeczywista siła działająca na masę m). Równanie.1.4/.1.5 posiada kilka rozwiązań w postaci następujących funkcji czasu: kombinacja funkcji.1.6 i.1.7 oraz funkcja zespolona: x = A sin( ω t + ϕ) (.1.6) x = A cos( ω t + ϕ) (.1.7) x = A sin( ω t + ϕ) + A cos( ω t + ϕ) (.1.8) xˆ = A cos( ω t + ϕ ) + j A sin( ω t + ϕ) (.1.9)

2 Postać algebraiczną funkcji zespolonej.1.9 moŝna przekształcić w postać wykładniczą.1.10 (za pomocą tzw. wzorów Eulera): xˆ j( ω t+ϕ ) = A e (.1.10) EULER Leonhard ( ) Funkcje.1.6 i.1.7 w bezpośredni sposób odzwierciedlają ideę drgań harmonicznych prostych. Parametrom tych funkcji naleŝy przypisać następujące znaczenia: A - amplituda drgań (ωt+ϕ) - faza drgań ω - częstość ϕ - faza początkowa drgań Prześledzimy, jak moŝna funkcję.1.6 wprowadzić do opisu drgań harmonicznych prostych. Najpierw sprawdzenie, czy funkcja ta na pewno spełnia równanie.1.5: wyznaczamy drugą pochodną sprawdzanej funkcji i umieszczamy ją razem z funkcją pierwotną w równaniu.1.5: - m A ω sin( ω t + ϕ) + k sin( ω t + ϕ) = 0 (.1.11) Łatwo zauwaŝyć, Ŝe powyŝsze równanie jest spełnione, gdy k ω = (.1.1) m Zatem funkcja.1.6 opisuje w pełni drgania harmoniczne o częstości ω. Działając w podobny sposób dochodzi się do wniosku, Ŝe funkcje.1.7,.1.8 i.1.9 takŝe opisują drgania harmoniczne. Jednak o funkcjach zespolonych.1.8 i.1.9 nie naleŝy mówić opisują ale reprezentują drgania harmoniczne proste. Przykładem przedstawionej idei drgań harmonicznych prostych moŝe być cięŝarek zawieszony na spręŝynie. Rys..1.. CięŜarek na spręŝynie wykonujący ruch harmoniczny prosty. SpręŜyna pełni w tym oscylatorze funkcję czynnika wytwarzającego siłę działającą na masę. ZaleŜność siły spręŝyny od jej wydłuŝenia musi mieć liniowy przebieg, to znaczy spręŝyna musi być doskonale spręŝysta przynajmniej w zakresie wydłuŝeń nie większych od amplitudy. W przeciwnym razie cięŝarek nie wykonywałby ruchu harmonicznego. W zagadnieniu drgań harmonicznych ukształtowało się autonomiczne nazewnictwo: siła F działająca na masę - siła kierująca (układ do połoŝenia równowagi) współrzędna x(t) - wychylenie

3 początek współrzędnej (x = 0) - połoŝenie równowagi maksymalna wartość współrzędnej - amplituda A argument sinusa/cosinusa (ωt +ϕ) - faza ω - częstość f - częstotliwość f = ω/π ϕ - faza początkowa T - okres drgań T = π/ω = 1/f Przydatność funkcji zespolonej (jako reprezentacji drgań) ujawnia się najbardziej wtedy, gdy przedstawiamy ją za pomocą wskazu. MoŜna to uczynić w układzie nieruchomym (rys..1.3a) lub w układzie wirującym z szybkością kątową ω (rys..1.3b). xˆ j( ωt+ ϕ ) jϕ = A cos( ω t + ϕ) + j A sin( ω t + ϕ) = A e xˆ = A cosϕ + j A sinϕ = A e Rys Graficzne przedstawienie reprezentacji drgań harmonicznych prostych funkcją zespoloną w układzie nieruchomym (a) i w układzie wirującym (b) Składanie drgań prostopadłych Zagadnienie składania drgań prostopadłych - to przykład z kinematyki; polega na określaniu toru ruchu określonego r przez połoŝenie (t) : r (t) = A cos( ω t + ϕ ) i + A cos( ω t + ) j (..1) r ϕ Tor jest jednoznacznie określony przez układ równań parametrycznych..: x = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) y = A cos(ω t + ϕ ) (..) Obraz tak przedstawionego toru wytwarzany jest na wykresie y(x) poprzez zaznaczanie punktów o współrzędnych obliczanych dla kolejnych wartości parametru t. Obraz ten moŝna uzyskać takŝe na ekranie oscyloskopu, jeŝeli przebiegi x(t) i y(t) z generatorów podłączymy odpowiednio do zacisków odchylania pionowego i odchylania poziomego (rys ). Trudności pojawiają się, gdy poszukujemy wyraŝenia y = f(x). MoŜna próbować je pokonać poprzez wyrugowanie parametru t. Otrzymamy wtedy funkcję y(x), której kształtu na ogół nie jesteśmy w stanie się domyśleć. ZaleŜy on od wartości aŝ sześciu parametrów: A 1, A, ω 1, ω, ϕ 1, ϕ. ω1 ω1 y( x) = A cos arc cos ϕ + ϕ ) (..3) ( ω A1 ω 1 x

4 Rys Zasada wytwarzania krzywych Lissajous na ekranie oscyloskopu. Praktyczna przydatność powyŝszej funkcji jest niewielka. MoŜna jedynie wykazać, Ŝe w sytuacji gdy A 1 = A, ω 1 = ω i ϕ 1 = ϕ, otrzymuje się przebieg prostoliniowy. Analizę kształtów toru wynikających z prostopadłego złoŝenia ruchów sinusoidalnych przeprowadził Lissajous. Wykazał on, Ŝe tor w postaci krzywej zamkniętej wykształca się wtedy, gdy stosunek częstości ω 1 /ω drgań składowych stanowi ułamek zwykły (stosunek liczb naturalnych). Jak wspomniano, obrazy krzywych Lissajous moŝna otrzymać na ekranie oscyloskopu, a takŝe na ekranie komputera posługując się chociaŝby pakietem obliczeniowym Excel. Na rysunkach od.1.1. do przedstawiono kilka przykładów krzywych Lissajous. Rys Krzywe Lissajous uzyskiwane przy tych samych częstościach drgań składowych ale o innych róŝnicach faz. Rys Krzywe Lissajous uzyskiwane przy tym samym stosunku częstości drgań składowych ale o innych róŝnicach faz. LISSAJOUS Jules Antoine ( ) Rys Krzywe Lissajous uzyskiwane przy róŝnych częstościach drgań składowych o róŝnicy faz 0,5 π.

5 .1.. Składania drgań równoległych Zagadnienie składania drgań równoległych sprowadza się do problemu zsumowania dwóch funkcji opisujących drgania: x 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) (.1..1) + x (t) = A cos(ω t + ϕ ) x (t) =? Rozwiązanie powyŝszego przypadku moŝe być łatwe w wypadku, gdy rozwiązania poszukuje się w sposób numeryczny. Natomiast względnie łatwe analityczne rozwiązanie staje się moŝliwe tylko w szczególnych przypadkach. Pierwszy przypadek odpowiada sytuacji, gdy częstości drgań składowych są takie same (.1..). x 1 (t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) (.1..) + x (t) = A cos(ωt + ϕ ) x (t) = A cos(ωt + ϕ) NaleŜy jedynie określić A oraz ϕ. Przydatną staje się wtedy reprezentacja zespolona drgań, a w szczególności wskazy w układzie wirującym z częstością drgań składowych. Na rysunku.1..1 przedstawiono ów graficzny sposób sumowania drgań. Rys Graficzne składanie drgań równoległych. Od tego momentu określanie A i ϕ sprowadza się do czynności trygonometrycznych. JeŜeli częstości drgań są róŝne, wtedy równieŝ istnieje moŝliwość analitycznego zsumowania tych drgań, ale pod warunkiem, Ŝe mają tę samą amplitudę. Po prostu moŝna zastosować wzór na sumę sinusów: A sinω 1 t + A sinω t = A sin ω1 + ω ω1 ω t cos t (.1..3) Rys Składanie drgań o róŝnych częstościach.

6 ω1 ω W wyraŝeniu.1..3 cos t " " to tzw. czynnik fazowy informujący, Ŝe są to drgania harmoniczne. Pozostała ω1 ω część, czyli A cos t ", wyraŝa amplitudę tych drgań. Stąd wniosek, Ŝe złoŝenie drgań harmonicznych o " róŝnych częstościach skutkuje powstaniem drgań harmonicznych o częstości równej połowie sumy częstości drgań składowych z amplitudą zmieniającą się z częstością równą połowie róŝnicy częstości drgań składowych. JeŜeli amplitudy są róŝne, efekt jest podobny co moŝna wykazać sumując te drgania w sposób numeryczny (rys..1..)... Drgania tłumione JeŜeli na masę m oprócz siły kierującej działa siła hamująca, wtedy amplituda drgań zmniejsza się z upływem czasu. Przyjmuje się, iŝ wartość siły hamującej jest proporcjonalna do szybkości ruchu i jest skierowana w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu. Wtedy równanie.1.4, po uzupełnieniu o wyraŝenie przedstawiające siłę hamującą przyjmuje postać (..1). PowyŜsze równanie moŝna przedstawić w postaci bilansu sił (..): - k x - k' dx d x dt = (..1) dt m d x dx + kx + k' = 0 (..) dt dt m Równanie róŝniczkowe.. posiada przybliŝone rozwiązania zaleŝne od wartości k. JeŜeli współczynnik hamowania k jest dostatecznie mały, wtedy rozwiązanie przyjmuje następującą postać (..3): βt x(t) = A e cosωt (..3) gdzie β - to współczynnik tłumienia drgań związany ze współczynnikiem hamowania zaleŝnością..3. o k' β = (..3) m Przedstawiona idea drgań słabo-tłumionych znajduje zastosowanie np. w przykładzie zanurzonego w cieczy cięŝarka na spręŝynie (rys..9). Rys...1. Drgania harmoniczne tłumione. Po włączeniu tłumienia częstość ulega zmniejszeniu, a wyraŝa to zaleŝność..3: ω = ωo β (..3) W sytuacji gdy tłumienie jest silne, drgania tracą charakter harmoniczny. Ich ewentualne przebiegi przy róŝnych intensywnościach tłumienia - pokazano na rys.... JeŜeli tłumienie jest krytyczne, to znaczy ω o = β, układ powraca do stanu równowagi w czasie najkrótszym. Wychylenie x(t) w takim ruchu opisane jest zaleŝnością..4:

7 x(t) ωo t = A(1+ ωo t) e (..4) Rys... Drgania silnie tłumione (drgania anharmoniczne). Przypadek a drgania bardzo silnie tłumione (ruch pełzający), przypadek b drgania silnie tłumione, przypadek c drgania tłumione krytycznie (układ powraca do stanu równowagi w czasie najszybszym)..3. Drgania z siłą wymuszającą Idea tego rodzaju drgań moŝe być zapisana podobnie jak drgania harmoniczne proste oraz drgania harmoniczne tłumione, czyli w postaci równania - bilansu sił: - k x - k' dx d x dt + Fo cosωt = (.3.1) dt m d x dx m + kx + k' = Fo cosωt (.3.) dt dt Ideę tę moŝna przedstawić na praktycznym przykładzie analogicznym jak dla drgań tłumionych. Dodatkowy element stanowi siła wymuszająca przyłoŝona do oscylatora (rys..3.1) - odpowiednik prawej strony w równaniu.3.. Rys Przykład oscylatora harmonicznego tłumionego z siłą wymuszającą. Równanie róŝniczkowe.3. ma następujące ogólne rozwiązanie: x(t) = A(ω) cos(ωt + ϕ( ω)) (.3.3) Kształt zaleŝności amplitudy tych drgań od częstości drgań wymuszających zaleŝy od współczynnika tłumienia. Przedstawia to rysunek.3..

8 Rys..3.. ZaleŜność amplitudy od częstości siły wymuszającej. Dokładne rozwiązanie równania.3.1/.3., czyli analityczna postać funkcji A(ω) oraz ϕ(ω) znajdzie czytelnik w drugiej części podręcznika w rozdziale o analogach elektrycznych zjawisk fizycznych nieelektrycznych.