m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

Transkrypt

1 Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy bardzo dużych wartościach działającej siły (a dokładniej: naprężenia) odkształcenie staje się trwałe. Mówimy wtedy o pastyczności ciała. Jeszcze większe siły (naprężenia) mogą wywołać zniszczenie ciała (np. rozerwanie rozciąganego pręta). Prawo Hook a wiąże wiekość siły i odkształcenia przez nią wywołanego. W przypadku iniowo rozciąganego pręta ma ono postać: F k ( ) Prawo Hook a obowiązuje tyko w zakresie sprężystości (odkształceń odwracanych). Stała k nazywa się współczynnikiem sprężystości i ma N wymiar. m Jeżei do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): F k ( ) Położenie ciała będziemy okreśai wzgędem położenia, w którym długość sprężyny wynosi, np. x.

2 Ruch drgający - Wtedy F k x Siła harmoniczna okreśa wiekość siły działającej na ciało w funkcji jego położenia. Siłę, która w taki sposób zaeży od położenia nazywamy siłą harmoniczną, a ruch jaki wykonuje ciało pod wpływem działania takiej siły nazywa się ruchem drgającym harmonicznym abo prostym. Położenie, w którym sprężyna nie jest napięta (F ) nazywa się położeniem równowagi. Jeżei masę m przymocowaną do sprężyny przesuniemy do położenia x i następnie w chwii t zwonimy, to będzie ona wykonywała ruch drgający harmoniczny a położenie będzie zmieniało się w czasie zgodnie ze wzorem: k x x cos( ω gdzie ω. m Mówimy, że ciało wykonuje drgania wokół położenia równowagi. Równanie toru ruchu harmonicznego wynika z II zasady dynamiki. d x( d x( F m a m m F( x, równanie różniczkowe ruchu

3 Ruch drgający -3 W naszym przypadku równanie ruchu ma postać następującą: d x( m k x( d x( k m x( równanie różniczkowe II stopnia (iniowe) d x( x( druga pochodna jest równa funkcji z przeciwnym znakiem Oczywistą kandydatką na rozwiązanie takiego równania różniczkowego jest funkcja sinus ub cosinus. Sprawdzimy czy rzeczywiście tak jest. x( x dx d x x x cos( ω ω sin( ω ω cos( ω ω x( Czyi funkcja x( x cos( k jest rozwiązaniem równania ruchu m drgającego harmonicznego.

4 Ruch drgający -4 Wykres funkcji x A cos(. ω da ω π 6 - s.5 x(/a t W ogónym przypadku masa m może się poruszać w chwii t, wtedy k x A cos( t + ϕ ) ( m ogóne rozwiązanie równania różniczkowego Gdzie stałe A i ϕ mają wartości wynikające z warunków początkowych ruchu, tzn. wartości położenia i prędkości w chwii początkowej: x( t ) x v( t ) v Maksymana wartość wychyenia z położenia równowagi wynosi A i nazywa się ampitudą drgań. Współczynnik ω nazywa się częstością (kołową) drgań. Wyrażenie ( ω t + ϕ) nazywa się fazą drgań - ϕ jest fazą początkową drgań.

5 Ruch drgający -5 Położenie, prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym T ω π ω π T x(/a t/t -. v(/ v max..5 prędkość jest przesunięta w fazie o π...5. t/t -. a(/a max..5 przyspieszenie jest przesunięte w fazie o π...5. t/t -.

6 Ruch drgający -6 Ponieważ okres funkcji sinus ub cosinus wynosi π, to okres drgań T spełnia zaeżność: ω T π czyi π T π abo ω ω T W rozważanym przykładzie: T π m k

7 Ruch drgający -7 Małe drgania wokół położenia równowagi Wahadło matematyczne w położeniu równowagi masa m znajduje się pionowo pod punktem zaczepienia. Każde inne położenie nie jest trwałe. Siła jaka zawraca masę m do położenia równowagi jest wypadkową siły ciężkości i naprężenia nici. F s m g sinα - siła zawracająca F r m g cosα - równoważona napięciem nici

8 Ruch drgający -8 Jeżei ampituda drgań nie jest zbyt duża (α max, (~6 )), to możemy zapisać następujące przybiżone związki: x sin α α F mg sinα mgα s mg F s x d x mg m x d x g x mg F x d x mg m x d x g x ω T x x g π g cos ( ω x g x cos t g ω T π g W rzeczywistości okres drgań wahadła matematycznego zaeży od ampitudy.

9 Ruch drgający -9 nergia układu drgającego Na energię drgającego układu składa się energia potencjana sprężyny o współczynniku sprężystości k zaeżna od jej wydłużenia (skrócenia) oraz energia kinetyczna masy m. Jeżei rozciągamy sprężynę, to musimy wykonać pracę przeciw sie F kx, działając siłą F ' F kx W k x x kx W W k x x Wykonana praca zwiększa energię potencjaną układu drgającego, która wynosi: P kx ( x) kx cos ( ω

10 Ruch drgający - Drugim składnikiem energii całkowitej jest energia kinetyczna poruszającej się masy (przy założeniu, że sama sprężyna jest nieważka). K mv m( x ω sin( ω) mω x sin ( ω C K + P cos mω x sin ( ω + kx ( ω k ω m [ sin ( ω + cos ( ω ] m x kx C mω x ω W odosobnionym układzie drgającym energia całkowita nie zmienia się. Zachodzi ciągła wzajemna przemiana energii potencjanej w kinetyczną i kinetycznej w potencjaną. nergia całkowita jest równa maksymanej energii potencjanej w skrajnym położeniu C P max kx abo maksymanej energii kinetycznej w chwii przejścia przez położenie równowagi C K max mv max P max K max mω x Oba składniki energii całkowitej zmieniają się w taki sam sposób, są tyko przesunięte w fazie o π (ub w czasie o 4 T ). Zatem równe są też średnie wartości tych energii P K co ma istotne znaczenie w teorii ciepła właściwego ciał stałych. Uwaga! W przypadku układów drgających z tłumieniem równość występuje tyko w warunkach rezonansu.

11 Ruch drgający - Da dowonego układu stan (położenie) równowagi odpowiada minimum energii potencjanej. d P ( x ) dx warunek minimum F dp ogóny związek między siłą a energią potencjaną dx W otoczeniu minimum funkcję P (x) rozwijamy w szereg potęgowy P ( x + x) + ' x + x P " P Siła jaka pojawia się przy niewiekiej zmianie położenia dp F P" x dx ma taki sam charakter jak siła harmoniczna. +!