Drgania, dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Katarzyna Weron
|
|
- Dariusz Pawlik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Drgania, dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Katarzyna Weron
2 Polecana literatura Polecam też skrypt: David Morin, Waves
3 Liniowość: Oscylator harmoniczny Prawo Hooke a: F x (x) = kk F = F x, F y, F z = ( kk, 0,0) x = 0: położenie równowagi 0 x x < 0 F x = kk > 0 0 F x = kk < 0 x 0 x > 0 x x < 0: wychylenie z położenia równowagi x > 0: wychylenie z położenia równowagi
4 Ruch harmoniczny małe wychylenia Z II zasady Newtona: F x = ma x = m dv x dd = m d2 x dt 2 F = F x, F y, F z = ( kk, 0,0) m d2 x dt 2 = kk x + k m x = 0 P 2 W = F dl P 1 Jakie x t spełnia to równanie?
5 Ruch harmoniczny rozwiązanie x + k m x = 0 ( ) Spróbujmy: x t = AAAA ωω + φ x = AA sin ωω + φ, x = Aω 2 ccc ωω + φ Wstawiamy do : Aω 2 ccc ωω + φ + k m ω 2 + k m AAAA ωω + φ = 0 AAAA ωω + φ = 0
6 Ruch harmoniczny rozwiązanie x + k m x = 0 Spróbujmy: x t = AAAA ωω + φ ω 2 + k m AAAA ωω + φ = 0 Spełnione dla każdego t jeśli: ω 2 = k m ω = k m
7 Częstość kątowa x + k m x = 0, x t = AAAA ωω + φ x t + 2π ω = AAAA ω t + 2π ω + φ = AAAA ωω + 2π + φ = AAAA ωω + φ = x(t) T = 2π ω okres
8 Amplituda (A) i faza (φ) x + k m x = x + ω2 x = 0, x t = AAAA ωω + φ x 0 = AAAA 0 + φ = AAAA(φ) φ = 0 x 0 = AAAAA = A David Morin,
9 Inne formy rozwiązań x + k m x = x + ω2 x = 0, x t = AAAA ωω + φ = Asss ωω + φ = B c ccc ωω + B s sss ωω = Ce iii + C e iii B c = AAAAA, B s = AAAAA Wiesz skąd te inne formy?
10 Wzór Eulera i rozwiązanie ogólne e ii = cccc + iiiii wzór Eulera e ii = cccc iiiii Stąd: 2cccc = e ii + e ii, 2iiiiφ = e ii e ii Szukamy zwykle ogólnego rozwiązania w postaci: x t = Ce rr, x = CCe rr, x = Cr 2 e rr x + k m x = 0 Cr 2 e rr + k m Cerr = 0 r 2 + k m = 0 r = ±ii równanie charakterystyczne
11 Rozwiązanie ogólne Szukamy zwykle ogólnego rozwiązania w postaci: x t = Ce rr Otrzymaliśmy: r = ±ii Mamy dwa rozwiązania: x 1 t = C 1 e iit, x 2 t = C 2 e iii Zasada superpozycji w układach liniowych: x t = x 1 t + x 2 t = C 1 e iii + C 2 e iii
12 Rozwiązanie musi być rzeczywiste x t = x 1 t + x 2 t = C 1 e iii + C 2 e iii Żeby x t było rzeczywiste to C 1 = C 2 Czyli: C 1 = C = C 0 e ii, C 2 = C = C 0 e ii x t = C 0 e ii C 0 e iωω + C 0 e ii C 0 e iii = 2C 0 cos (ωω + φ) Czyli faktycznie tożsame formy
13 W równaniach liniowych obowiązuje zasada superpozycji x 1 t i x 2 t - rozwiązania liniowego równania różniczkowego Rozwiązaniem jest też dowolna kombinacja liniowa x t = C 1 x 1 t + C 2 x 2 (t) Liniowe jednorodnego równania różniczkowego rzędu n: n liniowo niezależnych rozwiązań. Każda kombinacja liniowa tych n rozwiązań jest rozwiązaniem. Liniowa niezależność funkcji: żadna z tych funkcji nie jest równa kombinacji liniowej pozostałych.
14 Wahadło matematyczne układ nieliniowy F x = mmmmmm Druga zasada dynamiki: ma x = mmmmmm a x = ggggg = d2 x dt 2 Długość łuku: x = LL Równanie ruchu: nieważki pręt punktowa masa θ + g L ssss = 0 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
15 Jak to rozwiązać? θ + g L ssss = 0 ssss = θ θ3 3! + θ5 5! Jeśli założysz, że θ 0, wtedy ssss = θ θ + g L θ = 0
16 Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny: θ + g L θ = 0 x + k m x = 0 Częstość własna wahadła (kątowa): Okres nie zależy od masy ani wychylenia?! ω 0 2 = g L ω = 2π T = 2ππ T 0 = 2π ω 0 = 2π L g
17 Okres drgań prawdziwego wahadła T 0 = 2π ω 0 = 2π L g Tego się uczymy w szkole By Alessio Damato,
18 Przestrzeń konfiguracyjna dla oscylatora harmonicznego 10 5 θ, dθ/dt t
19 Przestrzeń fazowa dla oscylatora harmonicznego dθ/dt Każdy punkt w tej przestrzeni określa stan układu Przestrzeń położeń i pędów x, y, z, p x, p y, p z Dla układu wielu cząstek x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, p x1, p y1, p z1, p x2, p y2, p z2, θ
20 A jeśli interesują nas duże kąty? θ + g L ssss = 0 Jak to rozwiązać? A co jeśli jakieś dodatkowe siły? Tłumienie Wymuszanie cykliczne Wahadło może zadziwić!
21 Oscylator tłumiony i wymuszany mx + kk = 0 oscylator harmoniczny (liniowe jednorodne) mx + bx + kk = 0 tłumienie (liniowe jednorodne) mx + bx + kk = F(t) wymuszanie (liniowe niejednorodne) x + b m x + k F t x = m m = f t = f 0sin (ωω) Liniowe równania różniczkowe dla położenia klocka x Brak niespodzianek Liniowe jednorodne bardzo łatwe do rozwiązania
22 Inne równanie nieliniowe: Prawo Newtona powszechnej grawitacji Każda masa M przyciąga inną masę m z siłą: GGG r RN mr r 2 = mmm r r 2 Stała grawitacji: G = Nm 2 /kg 2 Przykład: M z m kk r z km r F F z = G M z r z 2 m, G M z r z m s 2 M
23 Czy układ słoneczny jest stabilny? 1887 król Szwecji Oscar II: nagroda H. Poincare ( ), francuski matematyk Za co? (c) Wikipedia
24 Co zrobił Poincare? Problem 3 ciał i równania dynamiki, 1890 (270 stron) Zaskakująco skomplikowane zachowanie Problem stabilności układu słonecznego nie jest rozwiązany do dziś Podwaliny teorii chaosu
25 Równanie logistyczne dynamika populacji ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n x x r x c r r x c rc c c c r c c c + = + = + = = ) ( a P. F. Verhulst (belgijski matematyk), 1845:
26 Dynamika populacji Populacja Pantofelków w labolatorium Popularny skorupiak ( pchła wodna ) Populacja fok na wyspie Świętego Pawła, Alaska
27 Iteracja równania logistycznego c t+1 = ac t (1 c t ) Przykład: a = 0.5, c 0 = 0.5 c 1 = ac 0 1 c 0 = = = 1 8 = c 2 = ac 1 1 c 1 = = = = 0.05 c 0 > c 1 > c 2 > Przykład: a = 0.5, c 0 = 1 c 1 = ac 0 1 c 0 = a 1 0 = 0 c 2 = ac 1 1 c 1 = a 0 1 = 0
28 Przykłady: c t+1 = ac t (1 c t ) < a < < a < 2 c t 0.4 c t a= t a= t c t a= t c t 2 < a < 3 3 < a < a= t
29 Co możemy otrzymać? Punkty stałe Cykle Chaos c t a= c t a= c t a= c t
30 Punkty stałe c t+1 = f c t = ac t (1 c t ) Punkt stały: c t+1 = f c t = c t = c Czyli: ac 1 c = c ac ac 2 = c c a 1 ac = 0 c = 0, c = a 1 a c t a= c t
31 Co to znaczy, że punkt stały jest stabilny? Atraktor Punkt stały niestabilny Punkt stały stabilny Układy dynamiczne Punkt stały Punkt stały stabilny Punkt stały niestabilny Fizyka Równowaga Równowaga trwała Równowaga nietrwała
32 Kryterium stabilności x t = x + ε t, x t+1 = x + ε t+1, f x = x Niech odległość ε t od punktu stałego mała: x t+1 = f x t = f x + ε t f x + f x ε t = x + λε t Czyli: x t+1 = x + ε t+1 x t+1 x + λε t ε t+1 λε t, λ = f x Odległość od punktu stałego rośnie z czasem: λ > 1 Odległość od punktu stałego rośnie z czasem: λ < 1
33 Typy punktów stałych f '( x*) < 1 przyciągający (stabilny) f '( x*) > 1 < f ' 0 < f ' < 1 1 < f ' < f ' < odpychający (niestabilny) odpychający schodkowo przyciągajacy schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie
34 Typy punktów stałych równania logistycznego f = ax ( 1 x), f ( x *) a 1 x* = 0, x* = a a 1 f ' = a(1 2x), f '(0) = a, f ' = 2 a = x * 0 < a < 1 odpychający schodkowo 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie a
35 Zachowanie dla a< c t c t c t t 0 < a < 1 odpychający schodkowo 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie
36 a= c t c t t 0 < a < 1 odpychający schodkowo c t 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie
37 a= c t c t c t 0 < a < 1 odpychający schodkowo 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie t
38 a= c t c t c t t 0 < a < 1 odpychający schodkowo 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie
39 a=3.5 c t c t c t 1 < a < a 3 < a a < 1 < < t odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie
40 a=4 c t c t c t Chaos deterministyczny: mieszanie w przestrzeni fazowej Nieregularna trajektoria wrażliwość na warunki początkowe t
41 Drzewo podwajania okresu,diagram Feigenbauma, diagram bifurkacyjny c = 0, c = a 1 a 0 2 c = a 1 a 1 < a < 3 < a a < 1 a < < odp przyc przyc odp (c) 2017 Zuzanna Jędrzejewska Matematyka Stosowana
42 Okienka okresowe 3.828,3.857 (c) 2017 Dawid Szarek Matematyka Stosowana
43 Intermitencje, EX: a = 3.828, c 0 = 0.5 przełączanie pomiędzy fazami cyklicznymi i chaosem
44 Iteracja równania logistycznego koncentracja początkowa liczba iteracji function[c,t]=logist(c0,a,n) t=0:1:n; c t + 1 = ac t ( 1 c t ) c(1)=c0; for i=1:n c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i)); end
45 Diagram Feigenbauma for i=1:1000 a=0.004*i; n=500; [c,t]=log(0.1,a,n); x=ones(100,1)*a; plot(x,c(n-99:n),'.'); hold on; end function[c,t]=log(c0,a,n) t=0:1:n; c(1)=c0; for i=1:n c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i)); end
46 Opady deszczu
47 Konwekcja (c) (c) Gorące powietrze unosi się do góry chmury burzowe powstają w wyniku konwekcji 1962, Saltzman równania dla prostej konwekcji
48 Model pogody wg. Lorenza Edward Lorenz, MIT w 1961 (w wieku 44 lat) Przypadek a może lenistwo? Odkrycie małe zmiany warunków początkowych prowadzą do zupełnie innych prognoz pogody. Punkt wyjścia uproszczone równania konwekcji
49 Układ Równań Lorenza jeszcze więcej uproszczeń dx dt dy dt dz dt = σ ( y x) = α x y xz = xy β z σ α β = = = Wielkości wybrane przez Saltzmana
50 Lenistwo Lorenza i jego Królewska Pszczoła x t
51 Narysujmy to w przestrzeni
52 Cechy atraktora Lorenza Trajektorie są przyciągane przez ograniczony obszar przestrzeni fazowej Ruch jest nieregularny Wrażliwość na warunki początkowe (sekwencja pętli) Ten atraktor jest dziwny!
53 atraktor Roesslera (1976) x' = ( y + z) y' = x + ay z' = b + xz cz a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7
54 Wzorzec chaosu wyrabianie ciasta rozciąganie składanie
55 Gdzie są rodzynki? Odległość rośnie wykładniczo
56 Chaos i losowość Data: Dr. C. Ting Który z tych szeregów czasowych jest chaotyczny, a który losowy?
57 Mapa powrotów prawdę ci powie: x(t+1)od x(t) Odwzorowanie Henona x n+1 = x 2 n y n y n+1 = x n Biały szum
58 Pomyśl o tym
59 Ćwiczenie: Drgania tłumione Opór powietrza, wody itd. tłumi oscylacje Załóżmy, że siła oporu: F x = bv x = b dd dd II zasada dynamiki: ma x = bv x kk m d2 x dd = b dt2 dd kk mx + bx + kk = 0 x + b m x + k m x = 0 x + 2βx + ω 0 2 x = 0
60 Ćwiczenie: Drgania tłumione Rozwiąż równanie: mx + 2βx + ω 0 2 x = 0 Rozwiązania szukaj w postaci: x t = e αα Otrzymasz rozwiązanie: x t = C 1 e α 1t + C 2 e α 2t, gdzie α 1,2 = β ± β 2 ω 0 2 x t = e ββ C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t
61 Ćwiczenie: Drgania tłumione x t = e ββ C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t Drgania nietłumione: β = 0 x t = C 1 e ω 0 2 t + C2 e ω 0 2 t = C 1 e i ω 0 2 t + C2 e i ω 0 2 t = C1 e iω 0t + C 2 e iω 0t
62 Ćwiczenie: Drgania tłumione x t = e ββ C 1 e β2 ω 2 0 t + C2 e β2 ω 2 0 t Drgania słabo tłumione β < ω 0 β 2 ω 2 0 < 0 x t = e ββ C 1 e i ω 0 2 β 2 t + C2 e i ω 0 2 β 2 t x t = e ββ C 1 e iω1t + C 2 e iω1t, ω 1 = ω 2 0 β 2 Drgania krytyczne β = ω 0 x t = C 1 e ββ + C 2 te ββ
63 W zależności od tłumienia β/ω 0 x t = e ββ C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t Małe tłumienie (a) Krytyczne tłumienie (b) Silne tłumienie (c)
64 Drgania wymuszone mx + bx + kx = F t x + 2βx + ω 0 x = f t Siła okresowa wymuszająca: f t = f 0 cos ωω Rachunek bardziej skomplikowany patrz Taylor Częstość drgań własnych ω 0 = k m Częstość z tłumieniem ω 1 = ω 0 2 β 2 Częstość rezonansowa ω = ω 2 = ω 0 2 2β 2 ω 0
65 Drgania wymuszone i rezonans Drgania swobodne przykłady? Drgania wymuszone Amplituda drgań małe tłumienie Częstość siły wymuszającej/częstość własna
66 Równania różniczkowe rzędu pierwszego Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego dd dd + p x y = f(x), p x, f(x) funkcje ciągłe na przedziale a, b : jednorodne: f x = 0 niejednorodne: f x 0 Rozwiązanie równania jednorodnego dd dd dd + p x y = 0 = p x y = p x dd dd dd y ln y = P x + lll y = Cexp( P(x)) P x - funkcja pierwotna p x
67 Dlaczego ω to częstość? x 0 = A, v 0 = 0 x t = Acos (ωω) x t = x t + T, T to okres cos ωω = cos ω t + T z własności cosinusa: cos ωω = cos (ωω + 2π) cos ωω + 2π = cos( ωω + ωω) 2π = ωω ω = 2π T = 2ππ Częstość (liczba okresów w 1s) oznaczana: f lub ν
68 Wahadło matematyczne i sprężyna: okres, położenie, prędkość i energia Restnik Halliday Walker
Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Fizyka układów złożonych
Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Fizyka układów złożonych Wahadło matematyczne F θ = mgsinθ Druga zasada dynamiki: ma = mgsinθ a = d2 x dt 2 = gsinθ Długość łuku: x = Lθ Równanie ruchu: θ ሷ
Bardziej szczegółowoWykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana
Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoZastosowania zasad dynamiki Newtona Katarzyna Sznajd-Weron. Wykład dla Informatyki WPPT
Zastosowania zasad dynamiki Newtona Katarzyna Sznajd-Weron Wykład dla Informatyki WPPT Zasady Dynamiki Newtona skrót (inercjalne układy odniesienia) 1. F = 0 a = 0 (definicja układu inercjalnego) 2. F
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoSiła sprężystości - przypomnienie
Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni
Bardziej szczegółowoRuch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoVII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
Bardziej szczegółowoZastosowania zasad dynamiki Newtona Katarzyna Sznajd-Weron. Wykład dla Matematyki Stosowanej
Zastosowania zasad dynamiki Newtona Katarzyna Sznajd-Weron Wykład dla Matematyki Stosowanej Zasady Dynamiki Newtona skrót (inercjalne układy odniesienia) 1. σ F = 0 a = 0 (definicja układu inercjalnego)
Bardziej szczegółowoα - stałe 1 α, s F ± Ψ taka sama Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: Inna zależność siły od Ψ : - układ nieliniowy,
Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: F s s Inna zależność siły od : - układ nieliniowy, Symetryczna siła zwrotna Niech: F s ( ) s Symetryczna wartość - drgania anharmoniczne α, s F s dla α -
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne. Oscylator harmoniczny Przykłady zastosowań. dr inż.
Plan wykładu Ruch drgajacy 1 Przykłady zastosowań dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Drgania wymuszone 3 Drgania zachodzace w tym samym kierunku
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 8 017/018, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 2012/2013, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia
Bardziej szczegółowoTEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska
TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA
Bardziej szczegółowoWykład 6 Drgania. Siła harmoniczna
Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 10 015/016, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne ODE: ordinary differential equations Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNEJ ZMIENNEJ Motywacja Rozwiązania równań z 1, 2 lub
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowoWyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego
Ćwiczenie nr Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego. Wymagania do ćwiczenia 1. ynamika ruchu obrotowego.. rgania harmoniczne Literatura:. Halliday, R. Resnick,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoWykład 2: Od drgań do fali Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana
Wykład 2: Od drgań do fali Katarzyna Weron WPPT, Mateatyka Stosowana Drgania układów o dwóch stopniach swobody k κ k Równania Newtona: Dodaj równania: x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = k(x 1 +x 2 ) x 1 = kx 1 κ x
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowodr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA
NAZEWNICTWO LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH d n u a n d x + a d n 1 u n n 1 d x +... + a d 2 u n 1 2 d x + a d u 2 1 d x + a u = b( x) Powyższe równanie o niewiadomej funkcji
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoSiła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana
Bardziej szczegółowoEfekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
Bardziej szczegółowoDrgania. O. Harmoniczny
Dobrej fazy! Drgania O. Harmoniczny Położenie równowagi, 5 lipca 218 r. 1 Zadanie Zegar Małgorzata Berajter, update: 217-9-6, id: pl-ciepło-5, diff: 2 Pewien zegar, posiadający wahadło ze srebra, odmierza
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC
Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Układ RC
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 7
Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoTEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016
TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 I. KINEMATYKA RUCHU POSTE POWEGO 1. Ruch jednowymiarowy 1.1. Prędkość (a) Prędkość średnia (b) Prędkość chwilowa (prędkość) 1.2. Przyspieszenie (a) Przyspieszenie średnie
Bardziej szczegółowodrgania h armoniczne harmoniczne
ver-8..7 drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (Mechanika) Wykład II: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego
Bardziej szczegółowoWykład 3 Ruch drgający Ruch falowy
Wykład 3 Ruch drgający Ruch falowy Dr Henryk Jankowski 2010/2011 WIMIR_studia niestacjonarne Mechanika Analityczna Czasoprzestrzeń zasada składania ruchów Galileo Galilei (1564-1642) - "Dialogi" (Florencja,
Bardziej szczegółowoPodręcznik. Przykład 1: Wyborcy
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Iwo Białynicki-Birula Iwona Białynicka-Birula
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowover b drgania harmoniczne
ver-28.10.11 b drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne N = n=1 A n cos nω n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k jeden sopień swobody: E p -A E p A 0
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoDrgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoFizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 20, 21 i 22 Przygotowanie: Grzegorz Brona,
Fizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 0, 1 i Przygotowanie: Grzegorz Brona, 0.1.008 Seria 0 Zadanie 1 Punkt Q porusza się w płaszczyźnie XOY po okręgu o promieniu A ze stałą prędkością kątową ω.
Bardziej szczegółowoSprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej. Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15
Sprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15 =============================================== =========================
Bardziej szczegółowoCo to są równania ruchu? Jak je całkować?
Co to są równania ruchu? Jak je całkować? Maria Przybylska CA UMK 10.03.2010 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 1 / 29 Ruch ciała i jego opis Problemy co to jest ruch: zmiana położenia ciała
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoWykład 3: Jak wygląda dźwięk? Katarzyna Weron. Matematyka Stosowana
Wykład 3: Jak wygląda dźwięk? Katarzyna Weron Matematyka Stosowana Fala dźwiękowa Podłużna fala rozchodząca się w ośrodku Powietrzu Wodzie Ciele stałym (słyszycie czasem sąsiadów?) Prędkość dźwięku: stal
Bardziej szczegółowoĆ W I C Z E N I E N R M-2
INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność
Bardziej szczegółowoD103. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta).
D3. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta). Cel: Zbadanie przebiegu drgań dwóch wahadeł sprzężonych: zbadanie zależności częstości drgań wahadła prostego od jego momentu bezwładności, wyznaczenie
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoSpecjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa
Arkadiusz Neubauer IV rok, Fizyka z Informatyką. Specjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa 1 Problem fizyczny W poniższej pracy przedstawiono numeryczną metodę obliczania widma Lapunowa
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20)
Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20) 37 1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie widma drgań układu czterech wahadeł sprzężonych oraz wyznaczenie
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoChaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu
: miary i kryteria chaosu Uniwersytet Śląski w Katowicach, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 27.08.14 : miary i kryteria chaosu Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoFale mechaniczne i akustyka
Fale mechaniczne i akustyka Wstęp: siła jako element decydujący o rodzaju ruchu Na pierwszym wykładzie, dynamiki Newtona omawiając II zasadę dr d r F r,, t = m dt dt powiedzieliśmy, że o tym, jakim ruchem
Bardziej szczegółowo1.1 Oscylator harmoniczny prosty
1 Wstęp 1.1 Oscylator harmoniczny prosty Oscylator harmoniczny prosty jest to każdy układ, którego ruch opisuje funkcja będąca rozwiązaniem równania różniczkowego postaci: d x(t) dt + ω 0x(t) = 0 (1) Rysunek
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.
Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Jacek Szczytko ćwiczenia: Aneta Drabińska, Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka, Michał Karpiński Wydział
Bardziej szczegółowo