Ψ(x, t) punkt zamocowania liny zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie. x (lub t)

Transkrypt

1 RUCH FALOWY 1

2 Fale sejsmiczne Fale morskie Kamerton Interferencja

3 RÓWNANIE FALI Fala rozchodzenie się zaburzeń w ośrodku materialnym lub próżni: fale podłużne i poprzeczne w ciałach stałych, fale podłużne w gazach, fale elektromagnetyczne w próżni, zaburzenie, np. drgania układu cząstek (np. fala w gumowej lince) zaburzenie w funkcji położenia w określonej chwili czasu (lub zaburzenie w funkcji czasu w określonym punkcie przestrzeni): ( t ) f ( vt ) Ψ, zmienna, przestrzenny rozkład zaburzeń Ψ(, t) punkt zamocowania liny Ψ (, t ) g t zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie v (lub t) vt lub (t /v) fala w naciągniętej linie wywołana szarpnięciem w chwili t 0 F.R.S. Baden Powell ( ) Maszyna Powell'a do demonstracji ruchu falowego skonstruowana przez Elliott Bros w XIX w. 3

4 FALE HARMONICZNE Równanie fali harmonicznej π fala płaska ma równanie Ψ A sin ( vt ) A sin ( k ωt) Ψ (lub T) składowa wektora falowego k w kierunku k π π υ ω πν π T ω νk (lub t) RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE RUCHU FALOWEGO Funkcja Ψ f ( vt) spełnia równanie: Ψ 1 Ψ υ t równanie różniczkowe drugiego rzędu ta sama (matematycznie) postać równania dla wszystkich rodzajów fal: fal sprężystych fal elektromagnetycznych fal materii 4

5 FALA SPRĘŻYSTA W PRĘCIE Ψ Równanie różniczkowe fali sprężystej: gdzie: gęstość, E moduł Younga 1 υ E k, prędkość fali podłużnej: prędkość fali poprzecznej: υ II E υ k (k moduł sztywności na skręcenie) E Ψ t Materiał Przybliżone wartości modułu Younga dla różnych materiałów Guma 0,01-0,10 Poli(tereftalan etylenu) (PET), np.: butelki plastikowe Drewno dębowe 11 Stop aluminium 69 Szkło 7 Moduł Younga, GPa,0-,5 Żelazo i stal Diament FALA PODŁUŻNA W GAZIE χp υ, C χ p C V Dlaczego Indianie przykładali uszy do szyn kolejowych? Ośrodek powietrze woda Prędkość fal podłużnych ~ 340 m/s ~ 1500 m/s żelazo ~ 5100 m/s ( υ II > υ ) ~ 3000 m/s ( υ ) cynk mosiądz cyna ołów 3810 m/s 3710 m/s 730 m/s 100 m/s 5

6 TRANSPORT ENERGII W RUCHU FALOWYM s v t transport energii drgań cząsteczek ośrodka w kierunku Natężenie fali, gęstość energii E I E E p V s t E energia przypadająca na jednostkę objętości ośrodka V s sv t, t + ; t+ t s element powierzchni czoła fali np. gęstość strumienia energii fali harmonicznej s υ t E I s t υ E I natężenie fali E gęstość strumienia energii I [ ] υ E I W m E m i ( m Ei ) i 1 V miω A 1 V ω A suma energii drgań wszystkich oscylatorów harmonicznych zawartych w jednostce objętości : E V 1 ω A V I E 1 υ υ ω A 1 Zω A Z υ oporność falowa ośrodka 6

7 Moc źródła fali (szybkość emisji energii w czasie) Absorpcja energii fal zmiana natężenia fali w ośrodku następuje pochłanianie energii fali i zamiana energii na ciepło Z źródło fal o mocy M M Ir Ω r Ω r s I 0 (α) d I - di I di αid di αd I α I I e współczynnik pochłaniania dla fal sprężystych w 0 moc źródła: E M t ośrodku ciągłym: α ~ ω s r Ω E I s t E t r 1 M Ω r Ω M 4πr dla źródła kulistego lub punktowego: I I/I

8 SUPERPOZYCJA FAL Zasada superpozycji Jeżeli w ośrodku rozchodzą się dwie lub więcej różnych fal, to wypadkowe drganie cząstek ośrodka, a zatem i wypadkowa fala jest sumą geometryczną fal składowych. np. dwie fale harmoniczne o nieznacznie różniących się długościach ψ 1 Asin(k ωt) ψ 1, ψ ψ Asin[(k + k) (ω + ω)t] (k π / ) <<, ω << ω 1 ψ ψ 1 + ψ Acos sin ( k ω t) ( k ωt) Fala wypadkowa ma zmienną w czasie amplitudę ψ 1 ω ψ Acos k t k ψ ω - prędkość fazowa υ - prędkość grupowa k υ g ω k υ g ω k ψ fala o tej samej długości i częstotliwości co fale składowe, lecz zmiennej amplitudzie; obwiednia amplitudy ma sama charakter fali poruszającej się z prędkością υ g ω k 8, tego typu zmiana amplitudy nosi nazwę dudnienia.

9 FALE RZECZYWISTE PACZKI FALOWE Fale rzeczywiste fale skończone w czasie i przestrzeni, nie są falami harmonicznymi i stanowią paczki falowe. Własności: a(ω) rozciągłość w przestrzeni ( ) i w czasie ( t) ω porusza się z prędkością grupową v g jest superpozycja fal harmonicznych o różnych częstościach ω 0 ω Gęstość widmowa amplitud a(ω) paczki falowej ψ Zasady nieoznaczoności: k π ω t π p h E t h 0 (lub T 0 ) (lub t) E hω h p h h π h stała Plancka v g t(lub t /v g ) 9

10 INERFERENCJA FAL Dla uproszczenia: dwa punktowe źródła fal Z 1 i Z o tej samej częstości i tej samej amplitudzie ( P ) Asin( ω kr + α ) + A ( ω kr α ), α 1, α początkowe fazy(drgań) źródeł ψ sin ψ r + r α ( P ) Acos k + sin ωt k + Z 1 d Z φ r r r 1 r α α α r 1 r Kierunki wzmacniania i wygaszania się fal φ P jeżeli α 1 α const(0) źródła spójne: częstość fali wypadkowej w dowolnym punkcie częstości fal składowych 1 1 amplituda ψ ( P ) Acos k + jest stała w r r α α czasie, lecz zależy od P (od r r 1 ) amplituda zmienia się od A do 0 źródła spójne <> interferencja fal zał.: α α const 0 r r n 1 1, n 0, 1,,... maksymalna amplituda fali wypadkowej wzmocnienie fali r1 n 1 + r wygaszanie się fali Jeżeli (r >> d, r 1 >> d) we wszystkich punktach kierunku określonego przez kąt φ jednakowy wynik interferencji, w szczególności: r r d sinϕ n n 1, n 0, 1,,... wzmocnienie fal r1 d sinϕ n + 1 r wn wygaszenie się fal 10

11 Zależność natężenia fali od kierunku rozchodzenia się fali (charakterystyka kierunkowa źródeł) amplituda (B) fali powstałej na skutek interferencji w punkcie P (α 1 α 0) B ( ϕ ) k Acos ( r r ) π sinϕ Acos d natężenie fali I(φ)/I ma ( ϕ ) I ~ B, B A ma 1 φ w1 φ w fale spójne (koherentne) α 1 α const; np. α 1 α 0 ω 1 ω ω φ φ 1 0 φ 1 φ 11

12 FALA STOJĄCA (np. fala powstała w rurce gumowej, rurze Quincke go) Równanie fali: ψ Asin π cosωt π sin 0 π nπ Bma A węzły fali stojącej: n strzałki fali stojącej: ( k + 1) 4 0 Rurka zamocowana z jednego końca ( 0) 0 L Rurka zamocowana z dwóch końców (np. struna) L węzeł (B 0) πl sin πl 0, mπ, L m m liczba całkowita Fala stojąca w instrumentach muzycznych. 1