Wykład 2: Od drgań do fali Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana

Transkrypt

1 Wykład 2: Od drgań do fali Katarzyna Weron WPPT, Mateatyka Stosowana

2 Drgania układów o dwóch stopniach swobody k κ k Równania Newtona: Dodaj równania: x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = k(x 1 +x 2 ) x 1 = kx 1 κ x 1 x 2 x 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Jak to rozwiązać? Dwie etody! x 1 t + x 2 t = 2A s cos ω s t + φ s, ω s = k,

3 Drgania układów o dwóch stopniach swobody k κ k Równania Newtona: x 1 = kx 1 κ x 1 x 2 x 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Jak to rozwiązać? Dwie etody! x 1 x 2 Odejij równania: (x 1 x 2 ) = (k + 2κ)(x 1 x 2 ) x 1 t x 2 t = 2A f cos ω f t + φ f, ω f = k + 2κ,

4 Drgania układów o dwóch stopniach swobody k κ k Równania Newtona: x 1 = kx 1 κ x 1 x 2 x 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Jak to rozwiązać? Dwie etody! x 1 x 2 x 1 t = A s cos ω s t + φ s + A f cos ω f t + φ f x 2 t = A s cos ω s t + φ s A f cos ω f t + φ f ω s = k, ω f = k + 2κ

5 Jak wyznaczyć stałe? k κ k x 1 t = A s cos ω s t + φ s + A f cos ω f t + φ f x 2 t = A s cos ω s t + φ s A f cos ω f t + φ f x 1 x 2 ω s = k, ω f = k + 2κ A s, A f, φ s, φ f z warunków początkowych: x 1 0, x 2 0, x 1 0, x 2(0) x 1 0 = A s cos φ s + A f cos φ f x 2 0 = A s cos φ s A f cos φ f x 1 0 = A s ω s cos φ s A f ω f cos φ f x 2 0 = A s ω s cos φ s + A f ω f cos φ f

6 Mody noralne ta saa częstość obu as k κ k x 1 t = A s cos ω s t + φ s + A f cos ω f t + φ f x 2 t = A s cos ω s t + φ s A f cos ω f t + φ f a a ω s = k, ω f = k + 2κ x 1 0 = A s cos φ s + A f cos φ f x 2 0 = A s cos φ s A f cos φ f x x 2 0 = 2A s cos φ s A s = 0 dla x 1 0 = x 2 0 x 1 t = x 2 t = A f cos ω f t + φ f x 1 0 x 2 (0) = 2A f cos φ f A f = 0 dla x 1 0 = x 2 0 x 1 t = x 2 t = A s cos ω s t + φ s

7 Drgania układów o dwóch stopniach swobody etoda ogólna x 1 = kx 1 κ x 1 x 2 x 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Postulujey rozwiązanie w postaci: x 1 = A 1 exp iωt, x 2 = A 2 exp iωt Co ożey zapisać: x 1 x 2 = A 1 A 2 exp iωt Możey też szukać rozwiązania w postaci: x 1 x 2 = A 1 A 2 exp rt

8 Drgania układów o dwóch stopniach swobody etoda ogólna x 1 = kx 1 κ x 1 x 2 x 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Postulujey rozwiązanie w postaci: x 1 = A 1 exp iωt, x 2 = A 2 exp iωt x 1 = A 1 iω exp iωt, x 2 = A 2 iω exp iωt x 1 = A 1 ω 2 exp iωt, x 2 = A 2 ω 2 exp iωt A 1 ω 2 = A 1 k κ A 1 A 2 A 2 ω 2 = A 2 k κ A 2 A 1 A 1 ω 2 + A 1 k + κa 1 κa 2 = 0 A 2 ω 2 + A 2 k + κa 2 κa 1 = 0

9 Drgania układów o dwóch stopniach swobody etoda ogólna A 1 ω 2 + A 1 k + κa 1 κa 2 = 0 A 2 ω 2 + A 2 k + κa 2 κa 1 = 0 ω 2 + k + κ κ κ ω 2 + k + κ A 1 A 2 = 0 0 Gdyby ponożyć obustronnie przez acierz odwrotną to A 1, A 2 = (0,0) Rozwiązanie trywialne A 1, A 2 = (0,0) asy nieruchoe Jeśli istnieje acierz odwrotna to jest to jedyne rozwiązanie Jeśli acierz odwrotna nie istnieje to ciekawiej Kiedy nie istnieje acierz odwrotna?

10 Drgania układów o dwóch stopniach swobody etoda ogólna ω 2 + k + κ κ κ ω 2 + k + κ A 1 A 2 = 0 0 Kiedy nie istnieje acierz odwrotna? Wyznacznik równy zero: ω 2 + k + κ κ κ ω 2 + k + κ = 0 ω 2 + k + κ 2 κ 2 = 0 ω 2 + k + κ = ±κ ω 2 = k lub k + 2κ ω2 =

11 Drgania układów o dwóch stopniach swobody etoda ogólna ω 2 + k + κ κ Pierwsze rozwiązanie: κ ω 2 + k + κ A 1 A 2 = 0 0 ω 2 = k = ω s 1 1 A κ 1 = A 2 0 A 1 = A 2 Drugie rozwiązanie: ω 2 k + 2κ = = ω f 1 1 A κ 1 = A 2 0 A 1 = A 2 Zgadza się z poprzednią etodą oczywiście!

12 Ogólne rozwiązanie x 1 (t) x 2 (t) = C eiωst 1 + C 2 1 e iωst 1 + C 3 1 eiωft 1 + C 4 1 e iω ft Paiętaj, że x 1 (t) i x 2 (t) uszą być rzeczywiste dla każdego t To narzuca warunek na stałe C 1, C 2, C 3, C 4 : C 1 = C 2 (A s /2)e iφ s C 3 = C 4 (A f /2)e iφ f x 1 (t) x 2 (t) = A s 1 1 cos (ω 1 st + φ s ) + A f 1 cos (ω ft + φ f ) Zgadza się z poprzednią etodą oczywiście!

13 Drgania układów o trzech stopniach swobody k k k k x 1 x 2 x 3 - wychylenia z położeń równowagi Równania Newtona: x 1 = kx 1 k x 1 x 2 x 2 = k x 2 x 1 k x 2 x 3 x 3 = kx 3 k x 3 x 2 Rozwiązujey etodą acierzową tak jak dla dwóch kulek

14 Drgania N kulek, N Ziana notacji: x n położenie równowagi kulki nuer n ξ n = ξ(x n ) wychylenie z równowagi kulki nuer n Δx = x n+1 x n odległości iędzy kulkai Wobec tego równie dobrze ożey użyć ξ n = ξ x n = ξ(x) ξ(x, t) wychylenie z równowagi kulki w chwili t, która w równowadze byłaby w pozycji x ξ n = k ξ n ξ n 1 k ξ n ξ n+1 = kξ n 1 2kξ n + kξ n+1 ξ x, t = k ξ x, t ξ(x Δx, t) k ξ x, t ξ(x + Δx, t) ξ x, t = k ξ x + Δx, t ξ x, t k ξ x, t ξ(x Δx, t)

15 Drgania N kulek, N ξ x, t = k ξ x + Δx, t ξ x, t k ξ x, t ξ(x Δx, t) skrótowo : ξ x + Δx ξ x ξ x ξ(x Δx) ξ = Δxk Δxk Δx Δx Paiętay o definicji pochodnej: ξ x = dξ(x) dx = li ξ x + Δx ξ x Δx 0 Δx ξ x, t = Δxkξ x, t Δxk ξ x Δx, t ξ x, t = Δxk ξ x, t ξ x Δx, t = Δxkξ x, t Δx Δx ρξ x, t = Eξ x, t

16 Równanie falowe Gęstość liniowa: ρ 2 ξ(x, t) t 2 = E 2 ξ(x, t) x 2 ρ = Δx Moduł Younga (sprężystości): E = kδx Rozwiązania równania falowego szukay w postaci: ξ x, t = a x exp (iωt)

17 Rozwiązanie równania falowego ρ 2 ξ(x, t) t 2 = E 2 ξ(x, t) x 2 Rozwiązania równania falowego szukay w postaci: ξ x, t = a x exp (iωt) Wstawy to do równania falowego: ω 2 ρa(x) = E 2 x 2 a(x) To wygląda jak oscylator haroniczny! a x = Aexp ±ikx, k = ω ρ E k nazyway liczbą falową (pokaż, że a wyiar 1/)

18 Fizyczne znaczenie liczby falowej k ρ 2 ξ(x, t) t 2 = E 2 ξ(x, t) x 2 a x = Aexp ±ikx = 2Acos(kx) kx usi nie ieć wyiaru bo w eksponencie Jeśli λ to długość fali to z własności cosinusa cos kx = cos k x + λ = cos kx + kλ = cos (kx + 2π) Czyli: Def. długości fali kλ = 2π k = 2π λ

19 Rozwiązanie równania falowego ρ 2 ξ(x, t) t 2 = E 2 ξ(x, t) x 2 Rozwiązania równania falowego szukay w postaci: ξ x, t = a x exp (iωt) a x = A exp ±ikx Ogólne rozwiązanie: ξ x, t = Aexp ±iωt exp ±ikx ξ x, t = A 1 e i(kx+ωt) + A 1 e i(kx+ωt) + A 2 e i(kx ωt) + A 2 e i(kx ωt) Przyjijy, że A 1 = B 1 2 eiφ 1, A 2 = B 2 2 eiφ 2 ξ x, t = B 1 cos kx + ωt + φ 1 + B 2 cos (kx ωt + φ 2 )

20 Mateatyczny opis fali (oże być równie dobrze sinus) faza ruchu przeieszczenie y x, t aplituda = y cos (kx ωt) liczba falowa położenie częstość kołowa czas Ruch drgający - przyponienie faza ruchu przeieszczenie w chwili t x t = Acos (ωt + φ) aplituda częstość kołowa czas faza początkowa

21 Podstawowe pojęcia Długość fali λ Aplituda y Częstość f: liczba pełnych cykli na sekundę; liczba wierzchołków, które przekraczają dany punkt w ciągu jednej sekundy f = 1 T [Hz] Okres T: czas potrzebny na wykonanie pełnego cyklu; czas na przebycie od jednego wierzchołka do następnego Prędkość: v = λ T = λf

22 Długość fali i liczba falowa raz jeszcze y x, t = y sin kx ωt y x, 0 = y sin (kx) y sin kx 1 = y sin k x 1 + λ = y sin kx 1 + kλ Ale okres funkcji sinus to 2π czyli: kλ= 2π k = 2π λ Długość fali λ Aplituda y x

23 Okres i częstość kołowa raz jeszczw y x, t = y sin kx ωt Rozpatrzy punkt x = 0: y 0, t = y sin ωt = y sin ωt y sin ωt 1 = y sin ω t 1 + T = y sin ωt 1 + ωt Okres T Aplituda y 2π ω = 2π T t

24 Prędkość fali biegnącej y x, t = y sin kx ωt Śledziy punkty w tej saej fazie (np. szczyt): kx ωt = const Wtedy fala biegnie : v = Δx dx Δt dt Δx Fala w t = 0 Fala w t = Δt y x

25 Prędkość fali biegnącej kx ωt = const d dx kx ωt = k dt dt ω = 0 v = dx dt = ω k = λ T = fλ k = 2π λ, ω = 2π T Δx Fala w t = 0 Fala w t = Δt y x

26 Fala oże biec w obu kierunkach y x, t = y sin kx ωt v = dx dt = ω k y x, t = y sin kx + ωt v = dx dt = ω k

27 Prędkość fali zależy od ośrodka W zadany ośrodku: v = λf = const Zieniay częstość co się dzieje? v = λ f v = λ f Zieniay ośrodek prędkość się zienia: Większe naprężenie większa prędkość Większa gęstość większa prędkość Prędkość dźwięku: stal /s beton /s woda /s powietrze /s

28 Prędkość i przyśpieszenie cząstek w fali prędkość fali y x, t = y sin kx ωt dy x, t v y (x, t) = = ωy dt cos kx ωt a y x, t = dy2 x, t dt 2 = ω 2 y sin kx ωt = ω 2 y x, t d 2 y x, t dx 2 = k 2 y sin kx ωt = k 2 y x, t 1/k 2 d2 y x,t dx 2 = 1/ω 2 dy2 x,t dt 2 ale v = ω k

29 Własności fal wróciy do tego Prostoliniowe rozchodzenie się w ośrodkach jednorodnych Odbicie po dojściu do granicy ośrodków fale zieniają kierunek poruszając się nadal w ty say ośrodku Załaanie (refrakcja) na granicy ośrodków, fala przechodząc do ośrodka, w który porusza się z inną prędkością, zienia kierunek swego biegu; Dyfrakcja uginanie się fali na krawędziach, skutkie jest: zdolność do oijania przeszkód niejszych niż długość fali powstawanie pasków dyfrakcyjnych po przejściu fali przez wąską szczelinę albo przeszkodę (np. siatkę dyfrakcyjną)

30 Interferencja fal Dwie fale sinusoidalne o takiej saej: Aplitudzie Długości Kierunku rozchodzenia Jaka będzie fala wypadkowa? Czy to od czegoś zależy? FAZA!!! y y y y x x x x

31 Interferencja fal względna faza Ta saa faza? Przeciwna faza? x y y y 1 x, t y 2 x, t = y sin kx ωt = y sin kx ωt + φ x przesunięcie fazowe

32 Superpozycja fal Fala wypadkowa: y 1 x, t = y sin kx ωt, y 2 x, t = y sin kx ωt + φ y x, t = y 1 x, t + y 2 x, t = y sin kx ωt + sin kx ωt + φ sinα + sinβ = 2sin 1 2 α + β cos 1 2 α β y x, t = 2y cos 1 2 φ sin kx ωt φ

33 Interferencja fal Wypadkowa fala: y x, t = 2y cos 1 2 φ sin kx ωt φ Dla φ = 0 ay: y x, t = 2y sin kx ωt y x

34 Interferencja fal Wypadkowa fala: y x, t = 2y cos 1 2 φ sin kx ωt φ Dla φ = π ay: y x, t = 0 y x

35 Interferencja fal Ta saa faza dwukrotna aplituda y Przeciwna faza znoszą się (brak fali) y x y 1 x, t y 2 x, t = y sin kx ωt = y sin kx ωt + φ x przesunięcie fazowe

36 Fala stojąca Dwie fale sinusoidalne o takiej saej: Aplitudzie Długości Przeciwny kierunku rozchodzenia Jaka będzie fala wypadkowa? y 1 x, t y 2 x, t = y sin kx ωt = y sin kx + ωt Superpozycja: y x, t = y sin kx ωt + sin kx + ωt = 2y sin kx cosωt

37 Fala stojąca y x, t = y sin kx ωt + sin kx + ωt = 2y sin kx cosωt Aplituda w fali biegnącej jest taka saa dla wszystkich punktów Tu aplituda zależy od położenia Zerowa aplituda dla: sin kx = 0 kx = nπ Ale: k = 2π λ x = n λ, n = 0,1,2, 2

38 Fala stojąca i węzły y x, t = 2y sin kx cosωt Zerowa aplituda dla: x = n λ, n = 0,1,2, 2 Grzbiety i doliny nie przeieszczają się Odbicie fali od granicy: fala pierwotna i odbita interferują Źródło:

39 Fala stojąca i strzałki y x, t = 2y sin kx cosωt Maksyalna aplituda dla sin kx = 1, kx = π 2, 3π 2, 5π 2,, k = 2π λ x = λ 2 n + 1 2, n = 0,1,2,

40 Fale stojące i rezonans Struna w dwóch zaciskach (gitara) Wytwarzay falę o pewnej częstości Fala odbija się od końca, itd. Interferencja wielu fal Przy pewnych częstościach

41 Rezonans Przy pewnych częstościach fala stojąca (częstości rezonansowe lub własne) Niech odległość iędzy zaciskai L Znajdź częstości rezonansowe Na końcach węzły (nie ogą drgać) 2W+1S: λ = L λ = 2L 2 3W+2S: λ = L 5W+3S: λ = 2L 3 λ = 2L n, n = 1,2,3, Restnik, Halliday, Walker, Podstawy Fizyki to 2, rozdział 17 (Fale I)

42 Częstości Rezonansowe λ = 2L n, n = 1,2,3, v = fλ f = v λ = n v 2L Najniższa częstość rezonansowa dla n=1 (pierwsza haroniczna) I krótsza struna ty większa częstość